Риманова хипотеза

Из Википедије, слободне енциклопедије
Реални део (у црвеној) и имагинарни део (у плавој боји) Риманове зета-функције на критичној линији Re(s) = 1/2. Првих неколико имагинарних нула се може видети за вредности Im(s) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Риманова хипотеза је претпоставка о дистрибуцији нетривијалних нула Риманове зета-фунције \zeta(s)\,. Први пут је формулисана у раду Бернарда Римана из 1859: О броју простих бројева испод задате величине (нем. Über der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe). Од тада, и поред огромних напора, овај проблем и даље остаје нерешен.

Риманова зета-функција је дефинисана за све комплексне бројеве s ≠ 1, и има тривијалне нуле у парним негативним целим бројевима (s = −2, s = −4, s = −6, ...). Риманова хипотеза каже да се све нетривијалне нуле налазе на једној правој у комплексној равни, конкретно:

Реални део било које нетривијалне нуле Риманове зета-фунције је ½, односно све нетривијалне нуле се налазе на критичној линији ½ + it.

Историјат[уреди]

Рад из 1859. је Риманов једини оглед у теорији бројева, али је хипотеза изнета у њему један од најзначајнијих нерешених проблема у савременој математици, пре свега зато што се доста важних резултата ослања на важење ове хипотезе (рецимо у криптографији, факторизацији целих бројева и полинома).

Легенда каже да се копија сакупљених Риманових радова у Хурвицовој (енгл. Adolf Hurwitz) библиотеци након његове смрти сама отварала на страни на којој се налазио исказ Риманове хипотезе.

Давид Хилберт је на Другом међународном конгресу математичара у Паризу, 8. августа 1900. године поставио проблем Риманове хипотезе као један од двадесеттри Хилбертова проблема (проблем број осам). За Хилберта је Риманова хипотеза имала посебан значај, када су га питали шта би најпре урадио након 500-годишњег сна, Хилберт је одговорио да би прво питао да ли је Риманова хипотеза доказана.

Годфри Харолд Харди (енгл. Godfrey Harold Hardy) је 1914. године доказао да се на критичној линији ½ + it налази бесконачно много нула.

Риманова хипотеза је један од седам Миленијумских проблема Математичког института Клеј.

Покушаји доказивања[уреди]

Риманова хипотеза је као и Последња Фермаова теорема била инспирација за небројене покушаје доказивања, где су подједнако неуспешни били и врхунски и математичари аматери. Када је 1995. године енглески математичар Ендру Вајлс извео доказ Фермаове последње теореме - фокус математичке заједнице је преусмерен на Риманову хипотезу, најистакнутији нерешени проблем у математици данас. Овде су набројани значајни науспешни покушаји у новом миленијуму.

Мати Питканен (Matti Pitkanen) у септембру 2001, повукао доказ због грешке у новембру исте године.[1]

Карлос Кастро (Carlos Castro), и Хорге Махеха (Jorge Mahecha) су у серији радова од 2001. до 2006. године пробали да изграде теорију (користећи суперсиметрије и квантномеханички приступ) која би омогућила доказивање Риманове хипотезе. Њихов приступ је одбачен.[2]

Каида Ши (Kaida Shi) у јулу 2003. године, доказ садржавао грешку.[3]

Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia) у јулу 2004. године, нађен контрапример.[4] Аутор је касније објавио Извињење за доказ Риманове Хипотезе.[5]

Јинжу Хан (Jinzhu Han) у јуну 2007. године, доказ садржавао грешку.[6]

Андреј Мадрецки (Andrzej Madrecki) у јулу 2007. године, доказ садржавао грешку.[7]

Лев Аизенберг (Lev Aizenberg) у децембру 2007. године, повукао доказ због грешке у јануару 2008. године.[8]

Ксиан-Јин Ли (Xian-Jin Li) у јулу 2008. године, неколико дана касније је повукао доказ због грешке (на страни 29).[9]

Потрага за нулама Риманове зета-функције[уреди]

Дуго се веровало да је Риманова хипотеза резултат дубоке интуиције и осећаја за проблем. Карл Лудвиг Сигел (Carl Ludwig Siegel) је, међутим, у тридесетим годинама прошлог века анализирајући Риманове рукописе пронашао рачун за првих неколико нула на критичној правој, на неколико децималних цифара тачности.

Риманова хипотеза је нумерички проверена за првих 1013 нула (за вредности t на критичној линији до 2,4·1012). Овај резултат су 2004. године добили Хавиер Гордон (Xavier Gourdon) и Патрик Демишел (Patrick Demichel) користећи Одлизко-Шонаге (Odlyzko-Schönhage) алгоритам[10] из 1988. године.

Све познате вредности t за нуле на критичној линији су по свему судећи ирационални бројеви.

Све познате нуле су првог реда. Иако постојење нула вишег реда не би оповргло Риманову хипотезу - изазвало би озбиљне проблеме за доста савремених рачунских техника.

Референце[уреди]

  1. ^ Мати Питканен (Matti Pitkanen), Корак ближе доказу Риманове хипотезе, Приступљено 24. 4. 2013.
  2. ^ Карлос Кастро (Carlos Castro) и Хорге Махеха (Jorge Mahecha), Последњи кораци ка доказу Риманове хипотезе, Приступљено 24. 4. 2013.
  3. ^ Каида Ши (Kaida Shi), Геометријски доказ уопштене Риманове хипотезе, Приступљено 24. 4. 2013.
  4. ^ Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia), Риманова зета-функција, Приступљено 24. 4. 2013.
  5. ^ Луј д'Бранж (Louis de Branges de Bourcia), Извињење за доказ Риманове хипотезе, Приступљено 24. 4. 2013.
  6. ^ Јинжу Хан (Jinzhu Han), Истраживање осмог Хилбертовог проблема, Приступљено 24. 4. 2013.
  7. ^ Андреј Мадрецки (Andrzej Madrecki), Кратак доказ Риманове хипотезе преко Брауновог кретања, Приступљено 24. 4. 2013.
  8. ^ Лев Аизенберг (Lev Aizenberg), Линделофова хипотеза је тачна док Риманова није, Приступљено 24. 4. 2013.
  9. ^ Ксиан-Јин Ли (Xian-Jin Li), Доказ Риманове Хипотезе, Приступљено 24. 4. 2013.
  10. ^ Ендру Одлизко (Andrew Odlyzko) и Арнолд Шонаге (Arnold Schönhage), Брзи алгоритми за оцену Риманове зета-функције, Приступљено 24. 4. 2013.

Популарне референце[уреди]