Теодорова спирала

У геометрији, Теодорова спирала (која се назива и спирала квадратног корена, Ајнштајнова спирала, Питагорина спирала или Питагорин пуж)^[1] је спирала састављена од правоуглих троуглова, постављених од ивице до ивице. Добила је име по Теодору из Кирене.

Конструкција[уреди | уреди извор]

Спирала почиње са једнакокраким правоуглим троуглом, при чему сваки крак има јединичну дужину . Формира се још један правоугли троугао, аутомедијални правоугли троугао са једним краком који је хипотенуза претходног троугла (са дужином квадратним кореном од 2 ), а други крак има дужину од 1; дужина хипотенузе овог другог троугла је квадратни корен од 3 . Процес се затим понавља; $n$ троугао у низу је правоугли троугао са дужинама страница ${\sqrt {n}}$ и 1, и са хипотенузом ${\sqrt {n+1}}$ . На пример, 16. троугао има странице које се мере $4={\sqrt {16}}$ , 1 и хипотенуза од ${\sqrt {17}}$ .

Историја и употреба[уреди | уреди извор]

Иако је сав Теодоров рад изгубљен, Платон је Теодора ставио у свој дијалог Тетет, који говори о његовом делу. Претпоставља се да је Теодор Теодорове спирале доказао да су сви квадратни корени неквадратних целих бројева од 3 до 17 ирационални.

Платон не приписује Теодору ирационалност квадратног корена из 2, јер је то било добро познато пре њега. Теодор и Тетет су поделили рационалне и ирационалне бројеве у различите категорије.

Хипотенуза[уреди | уреди извор]

Хипотенузе сваке од троуглова $h_{n}$ даје квадратни корен одговарајућег природног броја, са $h_{1}={\sqrt {2}}$ .

Платон, кога је Теодор подучавао, питао се зашто се Теодор зауставио ${\sqrt {17}}$ . Обично се верује да је разлог то што ${\sqrt {17}}$ хипотенуза припада последњем троуглу који не преклапа фигуру.

Преклапање[уреди | уреди извор]

Године 1958. Калеб Вилијамс је доказао да се две хипотенузе никада неће поклопити, без обзира на то колико се спирала наставља. Такође, ако су странице јединичне дужине продужене у праву, оне никада неће проћи ни кроз један од других врхова укупне фигуре.

Продужетак[уреди | уреди извор]

Теодор је зауставио спиралу у троуглу са хипотенузом од ${\sqrt {17}}$ . Ако се спирала настави на бесконачно много троуглова, наћи ће се много интересантнијих карактеристика.

Брзина раста[уреди | уреди извор]

Угао[уреди | уреди извор]

Ако $\varphi _{n}$ је угао $n$ троугао (или спирални сегмент), онда:

\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.

Дакле, раст угла $\varphi _{n}$ следећег троугла $n$ је:

\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).

Збир углова првог

k

троуглова се назива укупни угао

\varphi (k)

за

k

тх троугао. Расте пропорционално квадратном корену од

k

, са ограниченим термином корекције

c_{2}

:^[1]

\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)

где

\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots

Полупречник[уреди | уреди извор]

Раст полупречника спирале у одређеном троуглу $n$ је

\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.

Архимедова спирала[уреди | уреди извор]

Теодорова спирала се приближава Архимедовој спирали.^[1] Као што је растојање између два намотаја Архимедове спирале једнако математичкој константи $\pi$ , како се број окрета Теодорове спирале приближава бесконачности, растојање између два узастопна намотаја се брзо приближава $\pi$ . Следи табела која приказује два намотаја спирале која се приближавају пи:

Број намотаја:	Израчунато просечно растојање намотаја	Тачност просечне удаљености намотаја у поређењу са π
2	3.1592037	99,44255%
3	3.1443455	99,91245%
4	3.14428	99,91453%
5	3.142395	99,97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

Као што је приказано, након само петог намотаја, удаљеност је 99,97% тачна апроксимација $\pi$ .^[1]

Непрекидна крива[уреди | уреди извор]

Питање како интерполирати дискретне тачке Теодорове спирале глатком кривом предложено је и на које је одговорено Davis 2001 по аналогији са Ојлеровом формулом за гама функцију као интерполантом за факторијалну функцију. Давис је пронашао функцију

T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )

коју су даље проучавали његов ученик Лидер и Изерлес (у додатку Davis 2001). Аксиоматска карактеризација ове функције је дата у Gronau 2004 као јединствене функције која задовољава функционалну једначину

f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),

почетно стање

f(0)=1,

и монотоност и аргумента и модула; алтернативни услови и слабљења се такође проучавају у њему. Алтернативни извод је дат у Heuvers, Moak & Boursaw 2000.

Аналитички наставак Дејвисовог континуираног облика Теодорове спирале који се протеже у супротном смеру од почетка дат је у Waldvogel 2009. На слици су чворови оригиналне (дискретне) Теодорове спирале приказани као мали зелени кругови. Плави су они, додани у супротном смеру од спирале. Само чворови $n$ са целобројном вредношћу поларног радијуса $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ су нумерисани на слици. Испрекидани круг у координатном почетку $O$ је круг закривљености на $O$ .

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

^ ^а ^б ^в ^г Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.

Додатна литература[уреди | уреди извор]

Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
Gronau, Detlef (март 2004), „The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230—237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130
Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), „The functional equation of the square root spiral”, Ур.: T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, стр. 111—117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)

[:0-1] а ^б ^в ^г Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.

[1]