Гама-функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Гама-функција на интервалу

У математици, гама-функција је функција која проширује појам факторијелa на све комплексне бројеве.

Дефиниција[уреди]

Гама-функција \Gamma(z)\, дефинисана је за комплексне бројеве z\, за које је \Re(z)>0 несвојственим интегралом

\Gamma(z)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt.

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције e^{-t}\,. Парцијалним интеграљењем се лако показује следеће њено основно својство

\,\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

Како је према дефиницији \Gamma(1)=1\,, ова релација дакле повлачи да је

\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot\Gamma(1)=n!

за све природне бројеве n.

Са друге стране, у облику

\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z\,,

она даје аналитичко продужење \Gamma\,-функције до полуравни \Re(z)>-1, са полом у z=0\,, затим до полуравни \Re(z)>-2, са још једним полом у z=-1\,, итд. Тако се \Gamma\,-функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве z\, осим полова у непозитивним целим бројевима z=0,-1,-2,\ldots\,. Под \Gamma\,-функцијом подразумева се по правилу овако дефинисано продужење.

Основна својства[уреди]

Гама-функција није елементарна, али су њена својства веома добро истражена. Међу најважнијима су функционална једначина

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}

и Лежандрова дупликациона формула

\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right).

Гама-функција нема нула. У тачкама z=-n\,, где је n\, ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком (-1)^n/n!\,; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике |z|\,, вредности \Gamma(z)\, даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

\Gamma(z)=z^{z-1/2}e^{-z}\sqrt{2\pi}\left(1+\frac1{12z}+\frac1{288z^2}+\mathrm{O}\left(\frac1{z^3}\right)\right)

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента
\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n},

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције 1/\Gamma(z)\,, која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика

\Gamma(z)=\frac1z\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1+\frac1k\right)^z}{1+\frac zk}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.


Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}, што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi},

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за \Gamma(1/n)\, (n>2\,). За \Gamma(1/3)\, и \Gamma(1/4)\, је познато да су трансцендентни, као и \Gamma(1/2)\,. Такође, \Gamma'(1)=-\gamma\,.

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\, и \pi(z)=1/\Pi(z)\,. Тако је \Pi(n)=n!\,, док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac1n\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}n\right).

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Историјат[уреди]

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку \Gamma(z)\, је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

Уопштења и везе са другим функцијама[уреди]

У интегралу којим се дефинише \Gamma\,-функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.


Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева {\mathbb R} са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Гама-функција