Канторов став о равномерној непрекидности

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ која је непрекидна на интервалу $[a,b]$ , равномерно је непрекидна на њему.

Доказ

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ непрекидна на интервалу $[a,b]$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку $x$ из тог сегмента постоји нека околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за све тачке $x_{1}\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$ .

Изаберимо 2 тачке, $x_{1},x_{2}\in U(x)$ . Тада је:

|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$ . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента $[a,b]$ , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент $[a,b]$ , па скуп тих интервала чини покривач сегмента $[a,b]$ . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ тако да њихове околине $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ образују подпокривач сегмента $[a,b]$ . Како тачака $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ и означимо га са $\delta$ .

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку $x'$ из интервала $[a,b]$ која припада неком од интервала $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ , што записујемо: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ .

Изаберимо и тачку $x''$ из интервала $[a,b]$ која се налази у $\delta$ -околини тачке $x'$ , тј. $|x'-x''|<\delta$ . То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$ , онда је сигурно и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ .

Сада, из $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ имамо да је:

|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},

тј. обе тачке, и $x'$ и $x''$ , припадају $\delta _{i}$ -околини тачке $x_{i}$ , односно, обе се налазе унутар неке околине $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$ , па из Дела 1: имамо да је онда $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ , што је и требало доказати.

Напомена

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још

Литература

Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.