Механика континуума

Механика континуума је грана механике која се бави механичким понашањем моделованих материјала као контиуналне масе пре него дискретних честица. Френцуски математичар Огистен Луј Коши је први формулисао такве моделе у 19. веку.

Модел континуума претпоставља да супстанца објекта у потпуности испуњава простор који заузима. Ово занемарује чињеницу да је материја направљена од атома, међутим даје довољно тачан опис материје на скалама дужине које су много веће од међуатомских растојања. Концепт непрекидног медијума омогућава интуитивну анализу обимне материје коришћењем диференцијалних једначина које описују понашање такве материје у складу са [Цонсерватион лаwс[|физичким законима]], као што су очување масе, очување количине кретања и очување енергије. Информација о конкретном материјалу изражена је у конститутивним односима.

Механика континуума бави се физичким својствима чврстих тела и флуида која су независна од било ког одређеног координатног система у којем се посматрају. Ова својства се затим представљају тензорима, који су математички објекти са својством да су независни од координатних система. Ово дозвољава дефинисање физичких својстава у било којој тачки континуума, према математички погодним континуираним функцијама. Теорије еластичности, пластичности и механике флуида заснивају се на концептима механике континуума.

Објашњење

Моделовање објекта као континуума подразумева да супстанца датог предмета у потпуности испуњава простор који заузима. Моделовање објеката на овај начин занемарује чињеницу да је материја сачињена од атома, и да стога није непрекидна; међутим, при размерама дужине много већим од међуатомских растојања, такви модели су врло тачни. Фундаментални физички закони као што су очување масе, очување момента и очување енергије могу се применити на ове моделе, како би се добиле диференцијалне једначине које описују понашање објеката, а неке информације о проучаваном материјалу додају се путем конститутивних односа.

Механика континуума бави се физичким својствима чврстих материја и течности која су независна о било ког датог координатном систему у коме се посматрају. Ова физичка својства се затим представљају тензорима, математичким објектима који имају тражено својство да су независни од координатног система. Тензори се могу изразити у координатним системима ради лакшег рачунања.

Концепт континуума

Материјали, попут чврсте материје, течности и гасова, састоје се од молекула раздвојених простором. На микроскопском нивоу, материјали имају пукотине и дисконтинуитете. Међутим, одређени физички феномени могу се моделовати уз претпоставку да материјали постоје као континуум, што значи да је материја у телу непрекидно дистрибуирана и да испуњава целокупно подручје простора који заузима. Континуум је тело које се може непрестано делити у инфинитезималне елементе са својствима која су карактеристична за целокупни материјал.

Валидност претпоставке о континууму може се потврдити теоријском анализом, којом се било идентификује нека јасна периодичност или постоје статистичка хомогеност и ергодичност микроструктуре. Тачније, хипотеза/претпоставка о континууму зависи од концепата репрезентативне елементарне запремине и сепарације скала засноване на услову Хил-Мандела. Овај услов пружа везу између експерименталног и теоретског гледишта на конститутивне једначине (линеарна и нелинеарна еластична/нееластична или упарена поља), као и начина просторног и статистичког усредњавања микроструктуре.

Када раздвајање скала не постоји, или када се жели да се успостави континуум финије резолуције од величине репрезентативног запреминског елемента (енгл. representative volume element - RVE), користи се статистички запремински елемент енгл. (statistical volume element - SVE), што доводи до рандомних поља континуума. Потоња затим пружају микромеханичку основу за стохастичке коначне елементе (енгл. stochastic finite element - SFE). Нивои СВЕ и РВЕ везују механику континуума са статистичком механиком. РВЕ се може проценити само на ограничен начин путем експерименталног тестирања: када конститутивни респонс постане просторно хомоген.

Конкретно за флуиде, Кнудсенов број се користи за процену у којој се мери може постићи приближна вредност континуитета.

Саобраћај аутомобила као уводни пример

Ако се узме у обзир промет аутомобила на аутопуту, са само једном траком ради једноставности, помало изненађујуће, и у знак признања својој ефикасности, механика континуума ефикасно моделује кретање аутомобила. То остварује путем једначина парцијалних диференцијала (ПДЕ) за густину аутомобила. Познавање ове ситуације оснажује могућност да се разуму дихотомије континуума и дискретности која је у основи моделовања континуума генерално.

За почетак моделовања дефинише се да: $x$ мери удаљеност (у км) дуж аутоцесте; $t$ је време (у минутама); $\rho (x,t)$ је густина аутомобила на аутопуту (у аутомобилима/км у траци); а $u(x,t)$ је брзина протока (просечна брзина) тих аутомобила 'на' положају $x$.

Конзервација извођења ПДЈ

Аутомобили се арбитрарно појављују па нестају. Размотримо било коју групу аутомобила: од одређеног аутомобила на стражњем делу групе који се налази на $x=a(t)$ до одређеног аутомобила на предњој страни који се налази на $x=a(t)$ до одређеног аутомобила спреда који се налази на $x=b(t)$. Т, укупан број аутомобила у овој групи је $N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx$. Будући да су аутомобили заштићени (ако постоји претицање, тада „аутомобил спреда\ страга” може постати различити аутомобил)

$dN/dt=0$.

Међутим путем Лајбнизовог интегралног правила:

${\begin{aligned}{}{\frac {dN}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\end{aligned}}$

Овај интеграл, као нула, вреди за све групе, односно за све интервале $[a,b]$. Једини начин на који интеграл може бити нула за све интервале је ако је интегсан за свако $x$. Као последица тога, конзервација даје нелинеарно конзервирање првог реда ПДЕ

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0$

за све позиције на аутопуту.

Ова заштитни ПДЕ односи се, не само на аутомобилски промет, већ и на течности, чврсте материје, гужву, животиње, биљке, пожаре, финансијски промет итд.

Проматрање затвара проблем

Када вреди скала раздвајња или када се жели успоставити континуитет финије резолуције од оне репрезентативне величине волуменског елемента (РВЕ), користи се „статистички запремински елемент“ (СВЕ), који у окрет, доводи до случајних поља континуума. Потоњи тада пружају микромеханичку основу за стохастичке коначне елементе (СФЕ). Нивои СВЕ и РВЕ повезују механику континуума са статистичком механиком. РВЕ се може проценити само ограничено путем експерименталних испитивања: када конститутивни одговор постане просторно хомоген.

Конкретно, за флуиде, користи се Кнудсенов број за процену у којој се мери може извршити апроксимација континуитета.

Литература

• Атанацковиц, Теодор M.; Гуран, Ардесхир (16. 6. 2000). Тхеорy оф Еластицитy фор Сциентистс анд Енгинеерс. Довер боокс он пхyсицс (на језику: енглески). Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-0-8176-4072-9. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Цхадwицк, Петер (1. 1. 1999). Цонтинуум Мецханицс: Цонцисе Тхеорy анд Проблемс (на језику: енглески). Цоуриер Цорпоратион. ИСБН 978-0-486-40180-5. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Диенес, Ј. К.; Солем, Ј. C. (1999). „Нонлинеар бехавиор оф соме хyдростатицаллy стрессед исотропиц еластомериц фоамс”. Ацта Мецханица. 138 (3–4): 155—162. С2ЦИД 120320672. дои:10.1007/БФ01291841. 
• Иргенс, Фридтјов (10. 1. 2008). Цонтинуум Мецханицс (на језику: енглески). Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-3-540-74298-2. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Лиу, I-Схих (28. 5. 2002). Цонтинуум Мецханицс (на језику: енглески). Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-3-540-43019-3. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Спенцер, А. Ј. M. (1980). Цонтинуум Мецханицс. Лонгман Гроуп Лимитед (Лондон). стр. 83. ИСБН 978-0-582-44282-5. 

• Робертс, А. Ј. (1994). А Оне-Дименсионал Интродуцтион то Цонтинуум Мецханицс. Wорлд Сциентифиц. 

• Смитх, Доналд Р. (1993). „2”. Ан интродуцтион то цонтинуум мецханицс-афтер Труесделл анд Нолл. Солидс мецханицс анд итс апплицатионс. 22. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-90-481-4314-6. 
• Wу, Хан-Цхин (20. 12. 2004). Цонтинуум Мецханицс анд Пластицитy (на језику: енглески). Таyлор & Францис. ИСБН 978-1-58488-363-0. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Батра, Р. C. (2006). Елементс оф Цонтинуум Мецханицс. Рестон, ВА: АИАА. 
• Бертрам, Албрецхт (2012). Еластицитy анд Пластицитy оф Ларге Деформатионс - Ан Интродуцтион (Тхирд изд.). Спрингер. ИСБН 978-3-642-24615-9. дои:10.1007/978-3-642-24615-9. 

• Цхандрамоули, П.Н (2014). Цонтинуум Мецханицс. Yес Дее Публисхинг Пвт Лтд. ИСБН 9789380381398. Архивирано из оригинала 04. 08. 2018. г. Приступљено 28. 08. 2019. 

• Еринген, А. Цемал (1980). Мецханицс оф Цонтинуа (2нд изд.). Криегер Пуб Цо. ИСБН 978-0-88275-663-9. 

• Цхен, Yоупинг; Јамес D. Лее; Азим Ескандариан (2009). Месхлесс Метходс ин Солид Мецханицс (Фирст изд.). Спрингер Неw Yорк. ИСБН 978-1-4419-2148-2. 

• Дилл, Еллис Харолд (2006). Цонтинуум Мецханицс: Еластицитy, Пластицитy, Висцоеластицитy. Германy: ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-9779-0. 

• Димитриенко, Yуриy (2011). Нонлинеар Цонтинуум Мецханицс анд Ларге Инеластиц Деформатионс. Германy: Спрингер. ИСБН 978-94-007-0033-8. 

• Хуттер, Колумбан; Клаус Јöхнк (2004). Цонтинуум Метходс оф Пхyсицал Моделинг. Германy: Спрингер. ИСБН 978-3-540-20619-4. 

• Фунг, Y. C. (1977). А Фирст Цоурсе ин Цонтинуум Мецханицс (2нд изд.). Прентице-Халл, Инц. ИСБН 978-0-13-318311-5. 

• Гуртин, M. Е. (1981). Ан Интродуцтион то Цонтинуум Мецханицс. Неw Yорк: Ацадемиц Пресс. 
• Лаи, W. Мицхаел; Давид Рубин; Ерхард Кремпл (1996). Интродуцтион то Цонтинуум Мецханицс (3рд изд.). Елсевиер, Инц. ИСБН 978-0-7506-2894-5. Архивирано из оригинала 2009-02-06. г. 

• Лубарда, Владо А. (2001). Еластопластицитy Тхеорy. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-1138-3. 

• Лублинер, Јацоб (2008). Пластицитy Тхеорy (Ревисед Едитион) (ПДФ). Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-46290-5. Архивирано из оригинала (ПДФ) 2010-03-31. г. 

• Малверн, Лаwренце Е. (1969). Интродуцтион то тхе мецханицс оф а цонтинуоус медиум. Неw Јерсеy: Прентице-Халл, Инц. 

• Масе, Георге Е. (1970). Цонтинуум Мецханицс. МцГраw-Хилл Профессионал. ИСБН 978-0-07-040663-6. 

• Масе, Г. Тхомас; Георге Е. Масе (1999). Цонтинуум Мецханицс фор Енгинеерс (Сецонд изд.). ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-1855-9. 

• Маугин, Г. А. (1999). Тхе Тхермомецханицс оф Нонлинеар Ирреверсибле Бехавиорс: Ан Интродуцтион. Сингапоре: Wорлд Сциентифиц. 
• Немат-Нассер, Сиа (2006). Пластицитy: А Треатисе он Фините Деформатион оф Хетерогенеоус Инеластиц Материалс. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-83979-2. 

• Остоја-Старзеwски, Мартин (2008). Мицроструцтурал Рандомнесс анд Сцалинг ин Мецханицс оф Материалс. Боца Ратон, ФЛ: Цхапман & Халл/ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-1-58488-417-0. 

• Реес, Давид (2006). Басиц Енгинееринг Пластицитy - Ан Интродуцтион wитх Енгинееринг анд Мануфацтуринг Апплицатионс. Буттерwортх-Хеинеманн. ИСБН 978-0-7506-8025-7. 

• Wригхт, Т. W. (2002). Тхе Пхyсицс анд Матхематицс оф Адиабатиц Схеар Бандс. Цамбридге, УК: Цамбридге Университy Пресс. 

Спољашње везе

• Continuum mechanics
• "Објецтивитy ин цлассицал цонтинуум мецханицс: Мотионс, Еулериан анд Лагрангиан фунцтионс; Деформатион градиент; Лие деривативес; Велоцитy-аддитион формула, Цориолис; Објецтивитy" бy Гиллес Леборгне, Април 7, 2021: "Парт IV Велоцитy-аддитион формула анд Објецтивитy"