Стоксова теорема
У математици и физици, Стоксова теорема или Келвин-Стоксова теорема, названа по Џорџу Габријелу Стоксу и Лорду Келвину је генерализација Гринове теореме у вишим димензијама. Позната је и као основна теорема ротације, а једна је од битнијих теорема у векторској анализи. Она повезује криволинијски интеграл око просте затворене криве C и двоструки интеграл над области С ограниченом са C, а такође повезује и дефиницију екстериорних извода са тополошким контурама у случају њене генерализације.
Теорема у тродимензионалном Р3 омотачу гласи:
Нека је С позитивно оријентисана, део по део, глатка површина ограничена једноставном, затвореном кривом C= ∂С и нека је Ф векторско поље које припада тој површини, онда је:
За позитивну оријентацију криве сматра се орјентација у смеру супротном смеру казаљки на сату. Некада се црта кружић на симболу интеграла да се означи да је крива C затворена крива.
Интуиција доказа[уреди | уреди извор]
Као универзалнији приступ Гриновој теореми, интуиција иза Стоксове теореме говори да је укупна закривљеност над једним простором једнака закривљености на његовој граници.
Примена[уреди | уреди извор]
Стоксова теорема има бројних примена у физици, то јест механици флуида, иротационим векторским пољима, електромагнетизму, топологији,... Овде се разматра примена на Максвелове једначине, најбитније једначине електромагнетизма.
Максвелове једначине[уреди | уреди извор]
У електромагнетизму, Стоксова теорема омогућава проверу једнакости диференцијалних форми у Максвел-Фарадејевом и Максвел-Амперовом закону. Ако се примени на електрично поље Е у Фарадејевом закону гласи:
У Амперовом закону применљива је на магнетно поље Б:
Генерализација[уреди | уреди извор]
Генерализација Стоксове теореме на вишедимензионалне омотаче пружа математичко схватање контура и показује примену екстериорних извода (генерализује изводе на више димензије). Она гласи:
У нотацији ∂т означава контуру, а дФ екстериорни извод. Теорема показује супротност између контура и извода. Показује и да су диференцијални и инфинтезимални рачун у једној, две и три димензије, као и основна теорема диференцијалног и инфинтезималног рачуна само њени специјални случајеви.
Види још[уреди | уреди извор]
Референце[уреди | уреди извор]
2. ^ Wолфрам Матхwорлд
3. ^Цалцулус III, Ламар Институте
4.^МИТ 18.02СЦ
5.^Стеwарт, Јамес (2012). Цалцулус - Еарлy Трансценденталс
6.^Максикмовић, Тамара (2012). Тензорска поља и диференцијалне форме на глатким многострукостима