Borelov skup

U matematici, Borelov skup je bilo koji skup u topološkom prostoru koji se može formirati iz otvorenih skupova (ili, ekvivalentno, iz zatvorenih skupova) kroz operacije prebrojive unije, prebrojivog preseka i relativnog komplementa. Borelov skup je dobilo naziv po Emilu Borelu.

Za topološki prostor X, skup svih Borelovih skupova na X formira sigma-algebru, poznatu kao Borelova algebra ili Borelova σ-algebra . Borelova algebra na X je najmanja σ-algebra koja sadrži sve otvorene skupove (ili, ekvivalentno, sve zatvorene skupove).

Borelovi skupovi i su važni u teoriji mijera, jer svaka mijera definisana na otvorenim skupovima prostora ili na zatvorenim skupovima prostora, mora se definisati i na svim Borelovim skupovima tog prostora. Svaka mijera definisana na Borelovim skupovima naziva se Borelova mijera. Borelovi skupovi i pridružena Borelova hijerarhija takođe igraju fundamentalnu ulogu u deskriptivnoj teoriji skupova .

U nekim kontekstima, Borelovi skupovi su definisani tako da ih generišu kompaktni skupovi topološkog prostora, a ne otvoreni skupovi. Dvije definicije su ekvivalentne za mnoge dobro definisane prostore, uključujući sve Hausdorfove σ-kompaktne prostore, ali mogu biti različiti u više patoloških prostora.

Generisanje Borelove algebre

U slučaju da je X metrički prostor, Borelova algebra može se opisati generativno kao što sledi.

Za kolekciju T podskupova od X (to jest, za bilo koji podskup partitivnog skupa P(X) od X), neka je:

• $T_{\sigma }$ sve prebrojive unije od elementa T
• $T_{\delta }$ svi prebrojivi presjeci od elementa T
• $T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.$

Sada definišemo transkonačnu indukciju sekvence G^m, gde je m redni broj, na sledeći način:

• Za osnovni slučaj definicije, neka $G^{0}$ je kolekcija otvorenih podskupova od X.
• Ako i nije granični ordinal, onda i ima neposredno prethodni redni broj i − 1. Neka

  $G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.$

• Ako je i granični ordinal, onda je

  $G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$

Tvrdnja je da je Borelova algebra G^ω₁, gde je ω₁ prvi nebrojivi redni broj. To jest, Borelova algebra se može generisati iz klase otvorenih skupova ponavljanjem operacije.

$G\mapsto G_{\delta \sigma }.$

do provog nebrojivog ordinala.

Da bi dokazali ovu tvrdnju, imajte na umu da je svaki otvoreni skup u metričkom prostoru unija rastuće sekvence zatvorenih skupova. Konkretno, komplementarnost skupova mapira G^m u samu sebe za bilo koji granični ordinal m; čak, ako je m nebrojivi granični ordinal, G^m je zatvoren po brojnim unijama.

Imajte na umu da za svaki Borel skup B postoji neki prebrojivi ordinal α_B takav da se B može dobiti ponavljanjem operacije po α_B. Međutim, kako se B mijenja u svim Borelovim skupovima, α_B će se mijenjati u svim brojivim ordinalima, tako da je prvi redni broj na kojem se dobijaju svi Borelovi skupovi ω₁, prvi nebrojivi ordinal.

Primjer

Važan primer, posebno u teoriji verovatnoće, je Borelova algebra na skupu realnih brojeva. To je algebra na kojoj je definisana Borelova mijera. S obzirom na realnu slučajnu varijablu definisanu na prostoru verovatnoća, njena raspodjela je po definiciji i mijera u Borelovoj algebri.

Borelova algebra na realnim brojevima je najmanja σ-algebra na R koja sadrži sve [[Interval (matematika)|]intervale].

Konstrukcijom koristeći transkonačnu indukciju, može se pokazati da je u svakom koraku broj skupova niji viši od kardinalnosti kontinuuma. Dakle, ukupan broj Borelovih skupova je manji ili jednak

$\aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}$.

Zapravo, kardinalnost kolekcije Borelovih skupova je jednaka onoj kontinuuma (uporedi sa brojem Lebesgovih merljivih skupova koji postoje, što je strogo veće i jednako je $2^{2^{\aleph _{0}}}$).

Standardni Borelovi prostori i teorema Kuratovskog

Neka je X topološki prostor. Borelov prostor povezan sa X je par (X,B), gde je {B}- σ-algebra Borelovih skupova od X.

Džordž Meki je definisao Borelov prostor nešto drugačije, pišući da je to "skup zajedno sa istaknutim σ-poljem podskupova koji se nazivaju Borelovi skupovi". Međutim, moderna upotreba je da se elementi ove pod-algebre nazivaju mjerljivi skupovi i takvi prostori mjerljivi prostori. Razlog za ovu razliku je da su Borelovi skupovi σ-algebra generisani otvorenim skupovima (topološkog prostora), dok se Mekijeva definicija odnosi na skup opremljen proizvoljnom σ-algebru. Postoje mjerljivi prostori koji nisu Borelovi prostori, za bilo koji izbor topologije na temeljnom prostoru.

Merljivi prostori formiraju kategoriju u kojoj su morfizmi merljive funkcije između merljivih prostora. Funkcija $f:X\rightarrow Y$ je merljiva ako povlači merljive skupove, tj. za sve merljive skupove B u Y, $f^{-1}(B)$ je merljivi skup u X.

Teorema. Neka je X Poljski prostor, to jest, topološki prostor tako da postoji metrika d na X koja definiše topologiju X i koja čini X kompletnim razdvojivim metričkim prostorom. Onda je X kao Borelov prostor izomorfan jednom od

1. R,
2. Z,
3. konačnom prostoru.

(Ovaj rezultat podsjeća na Maharamovu teoremu.)

Smatra se Borelovim prostorima, stvarna linija R-}, унија *{R sa prebrojivim skupom, i Rⁿ su izomorfni.

Standardni Borelov prostor je Borelov prostor povezan sa Poljskim prostorom. Standardni Borelov prostor karakteriše kardinalnost do izomorfizma, a bilo koji neprebrojivi standardni Borelov prostor ima kardinalnost kontinuuma.

Za podskupove Poljskih prostora, Borelovi skupovi se mogu okarakterisati kao oni skupovi koji su rasponi kontinuiranih injektivnih mapa definiranih na Poljskim prostorima. Obratite pažnju, međutim, da opseg kontinualne neinjektivne mape možda neće biti Borel. Vidi analitički skup.

Svaka mera verovatnoće na standardnom Borelovom prostoru pretvara je u standardni prostor verovatnoće .

Skupovi koji nisu Borelovi

Primer podskupa realnih brojeva koji nije Borelov, zbog Nikolaja Lusina (vidi odjeljak 62, stranice 76-78), opisan je u nastavku. Nasuprot tome, primer nemerljivog skupa se ne može prikazati, iako se njegovo postojanje može dokazati.

Svaki iracionalni broj ima jedinstvenu reprezentaciju beskonačnom kontinuiranom razlomkom

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$

gde $a_{0}$ je neki cijeli broj i svi ostali brojevi $a_{k}$ su pozitivni cijeli brojevi. Neka je $A$ skup svih iracionalnih brojeva koji odgovaraju nizovima $(a_{0},a_{1},\dots )$ takvi da: postoji beskonačna podniz $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )$ takav da je svaki element djelilac sledećeg elementa. Ovaj skup $A$ nije Borel. Zapravo, on je analitički i potpun u klasi analitičkih skupova. Za više detalja pogledajte deskriptivnu teoriju skupova i knjigu Aleksandra S. Kekrisa, posebno vježbu (27.2) na stranici 209, definiciju (22.9) na stranici 169, i vježbu (3.4) (ii) na strani 14.

Drugi skup koji nije Borelov je inverzna slika $f^{-1}[0]$ beskonačne funkcije pariteta $f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}$. Međutim, ovo je dokaz postojanja (preko aksioma izbora), a ne eksplicitan primer.

Alternativne ne-ekvivalentna definicie

Prema Paulu Halmosu, podskup lokalno kompaktnog Hausdorfovog topološkog prostora naziva se Borelov skup ako pripada najmanjem σ-prstenu koji sadrži sve kompaktne skupove.

Norberg i Vervat redefinišu Borelovu algebru topološkog prostora $X$ kao $\sigma$-algebra generisana svojim otvorenim podskupovima i kompaktnim zasićenim podskupovima. Ova definicija je prikladna za primjene u slučaju kada $X$ nije Hausdorf. Podudara se sa uobičajenom definicijom ako je $X$ drugi prebrojivi prostor ili ako je svaki kompaktni zasićeni podskup zatvoren (što je posebno slučaj ako $X$ je Hausdorf).

Pogledajte još

• Mjerljivi prostor

Literatura

• William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981. (See Chapter 3 for an excellent exposition of Polish topology)
• Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Measure theory. D. van Nostrand Co.  See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
• Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)

Spoljašnje vezee

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Borel set”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Formalna definija Borelovog skupa u Mizarovom sistemz i lista teorema Arhivirano na sajtu Wayback Machine (1. jun 2020) koje to formalno dokazuju.
• Weisstein, Eric W. „Borel Set”. MathWorld.