Gaus-Krigerova projekcija

Poprečna Merkatorova projekcija, opšti slučaj

Gaus-Krigerova ili poprečna Merkatorova projekcija je vrsta kartografske projekcije, koja je u stvari adaptacija standardne Merkatorove projekcije . Poprečna verzija ove projekcije se široko koristi u nacionalnim i međunarodnim sistemima za katriranje širom svijeta, uključujući UTM . Kada se upari sa odgovarajućim geodetskim datumom, poprečna Merkatorova projekcija pruža visoku tačnost u zonama manjim od nekoliko stepeni na istoku-zapadu.

Ovdje je potrebno definisati i razgraničiti ova dva pojma. Poprečna Merkatorova projekcija u širem smislu gdje poprečna projekcija se razlikuje od opšte samo u smjeru preslikavanja. Gaus-Krigerova projekcija je poprečna Merkatorova projekcija u užem smislu, gdje je definisana površ preslikavanja (sjekući cilindar), te i kako se formiraju karte iz zoni preslikavanja.

Opšta i poprečna projekcija

Poprečna Merkatorova projekcija je poprečni oblik standardne (ili Normalne ) Merkatorove projekcije. Obe projekcije dijele istu matematičku osnovu konstrukcije i shodno tome poprečna projekcija nasljeđuje mnoge osobine iz opštog modela projekcije:

• Obe navedene projekcije su cilindrične: za Merkatorovu projekciju, osa valjka se poklapa sa polarnom osom, a linija tangentiranja sa ekvatorom. Za poprečnu Merkatorovu projekciju, osa cilindra leži u ekvatorijalnoj ravni, a l tangentna linija predstavlja bilo koji izabrani meridijan, čime je označen centralni meridijan .
• Obe projekcije mogu se modifikovati u sekundarne forme, što znači da je reazmjera smanjena tako da cilindar prolazi kroz globus modela.
• Obe projekcije koriste za površ preslikavanja sferu ili elipsoid
• Obe projekcije su konformne, tako da razmjera ne zavisi od smjera, a oblici preslikavanja su dobro očuvani, tj. oblici država će biti očuvani, ali njihovi relativni odnosi neće;
• Obe projekcije imaju konstantnu skalu na liniji tangentiranja (ekvator za normalni Merkator i centralni meridijan za poprečni).

Budući da se centralni meridijan poprečne Merkatorove projekcije može izabrati po volji, on se može koristiti za izradu visoko tačnih karata (uske širine) bilo gdje na Zemaljskoj kugli. Sekundarni, elipsoidni oblik poprečnog Merkatora je najšire primjenjivan od svih projekcija za tačne karte sitnih razjmera. Upravo se to odnosi na Gaus-Krigerovu projekciju.

Sferna poprečna Merkatorova projekcija

Pri konstruisanju karte na bilo kojoj projekciji, sfera se obično bira za modelovanje Zemlje kada obim mapiranog područja premaši dužinu od nekoliko stotina kilometara u obe dimenzije. Za kartiranje manjih područja potrebno je izabrati elipsoid kao projekcionu površ gdje je potrebna veća tačnost. Sferna forma poprečne Merkatorove projekcije bila je jedna od sedam novih projekcija, koje je 1772. predstavio Johan Hajnrih Lambert . Lambert nije imenovao te svoje projekcije; naziv poprečna Merkatorova projekcija potiče iz druge polovine devetnaestog veka. Ovde su predstavljena glavna svojstva poprečne projekcije u poređenju sa svojstvima normalne ili opšte projekcije.

Normalna i poprečna sferna projekcija

	Opšta Merkatorova projekcija			Poprečna Merkatorova projekcija
	Sferna opšta Merkatorova projekcija (ekvatorijalna) Merkatorova projekcija ( u = ± π, što odgovara približno 85 stepeni).			Sferna poprečna Merkatorova projekcija (  x =  ± π u jedinicama radijusa Zemlje).
•	Centralni meridijan se projektuje na pravu h   =   0. Ostali meridijani projektuju se kao prave linije sa x konstantnim razmakom.		•	Centralni meridijan se projektuje na pravu h   =   0. Meridijani, koji su 90 stepeni istočno i zapadno od centralnog meridijana projekcije, projektuje se kroz projektovane polove. Svi ostali meridijani projektuju se na komplikovane krive.
•	Ekvator se projektuje na pravu liniju y  = 0 i paralelni krugovi projektuju se na prave linije sa razmakom konstante  y.		•	Ekvator se projektuje na pravu liniju y  = 0, ali sve ostale paralele su složene zatvorene krive.
•	Projektovani meridijani i paralele sijeku se pod pravim uglom.		•	Projektovani meridijani i paralele sijeku se pod pravim uglom.
•	Projekcija je neograničen u pravcu y-ose. Polovi leže u beskonačnosti.		•	Projekcija je neograničena u x-pravcu. Tačke na ekvatoru na devedeset stepeni od centralnog meridijana projektovane su u beskonačnosti.
•	Projekcija je konformna. Oblici malih elemenata su dobro očuvani.		•	Projekcija je konformna. Oblici malih elemenata su dobro očuvani.
•	Deformacija se povećavaju u smjeru y-ose. Projekcija nije pogodna za svjetske karte. Deformacije su male u blizini ekvatora i projekcija (naročito u svom elipsoidnom obliku) pogodna je za tačno kartiranje ekvatorijalnih regiona.		•	Izobličenja se povećavaju u smjeru h-ose. Projekcija nije pogodna za svjetske karte. Deformacije su mal u blizini centralnog meridijana, a projekcija (naročito u svom elipsoidnom obliku) pogodna je za tačno kartiranje uskih regiona.
•	Grenland je velik gotovo kao Afrika u ovoj projekciji; stvarna površina je oko jedne četrnaestine površine Afrike.		•	Grenland i Afrika su blizu centralnog meridijana; njihovi su oblici dobro očuvani, a odnos površina dobar je i približan je stvarnim vrijednostima.
•	Razmjera ne zavisi od smjera. To je funkcija  y-ose na projekciji. (Na sferi zavisi samo od geografske širine. ) Razmjera je tačna na ekvatoru.		•	Razmjera ne zavisi od smera. To je funkcija h-ose na projekciji. (Na sferi zavisi i od geografske širine i dužine. ) Razmjera je tačna na centralnom meridijanu.
•	Projekcija je prilično tačna u blizini ekvatora. Razmjera na ugaonom rastojanju od 5° (u širini) od ekvatora manja je za 0,4% od razmjere na ekvatoru, a veća je za oko 1,54% na ugaonom rastojanju od 10°.		•	Projekcija je relativno tačna u blizini centralnog meridijana. Razmjera na ugaonoj udaljenosti od 5° (u geografskoj dužini) od centralnog meridijana manja je za 0,4% od razmjere na centralnom meridijanu, a iznosi oko 1,54% na ugaonoj udaljenosti od   10°.
•	U verziji sekanta razmjera je smanjena na ekvatoru i tačna je na dve linije paralelne projektovanom ekvatoru (i odgovaraju dvema paralelnim kružnicama na sferi).		•	U verziji sekanta razmjera je smanjena na centralnom meridijanu i tačna je na dve linije paralelne sa projektovanim centralnim meridijanom. (Dve linije nisu meridijani. )
•	Konvergencija (ugao između projektovanih meridijana i linija mreže sa h konstantom) je identična nuli. Sjever mreže i pravi sjever se podudaraju.		•	Konvergencija je nula na ekvatoru i nije nula svuda drugdje. Povećava se približavanjem polova. Sjever mreže i pravi sjever se ne poklapaju.
•	Loksodrome (linije konstantnog azimuta na sferi) projektuju se kao prave linije.

Gaus-Krigerova projekcija

Elipsoidnu formu poprečne Merkatorove projekcije razvio je Karl Fridrh Gaus 1825. godine , a dalje ju je analizirao Johan Hajnrih Luis Kriger 1912. Projekcija je poznata pod nekoliko imena: Gausova konformna projekcija ili Gaus-Krigerova projekcija u Evropi; poprečna Merkatorova projekcija u SAD; ili Gaus-Krigerova poprečna Merkatorova projekcija generalno. Projekcija je konformna sa konstantnom razmjerom na centralnom meridijanu. (Postoje i druge konformne generalizacije poprečne Merkatorove projekcije od sfere do elipsoida, ali samo Gaus-Krigerova projekcija ima konstantnu razmjeru na centralnom meridijanu.) Tokom dvadesetog vijeka mnoge države (i međunarodna tijela) su, u jednom ili drugom obliku, usvajale Gaus-Krigerovu projekciju; koja pored toga pruža osnovu za UTM (eng. Universal Transverse Mercator) . Gauss-Krigerova projekcija je sada najčešće korišćena projekcija u tačnom kartiranju krupnih razmjera.Projekcija, koju su razvili Gaus i Kriger, izražena je u članovima matematičkih redova početnih članova za koje se pretpostavljalo da se razilaze u pravcu istok-zapad, tačno kao i u sfernoj verziji. To je pokazao neistinitim britanski kartograf E. H. Tompson, čija je neobjavljena tačna (zatvorena forma) verzija projekcije, koju je L.P. Li objavio 1976. godine, dokazala je, da je elipsoidna projekcija konačna (slika dolje). Ovo je najupečatljivija razlika između sferne i elipsoidne verzije poprečne Merkatorove projekcije: Gaus – Krigerova projekcija daje razumnu projekciju cijelog elipsoida na ravan, iako je njegova glavna primjena tačno kartiranje krupnih razjmera „blizu“ centralnog meridijana.

Elipsoidna poprečna Merkatorova projekcija: konačna projekcija.

Karakteristike

• Blizu centralnog meridijana projektovanja (Grinič na gore navedenoj slici), projekcija ima male deformacije i oblici Afrike, zapadne Evrope, Britanskih ostrva, Grenlanda i Antarktike povoljno se upoređuju sa oblicima na Zemaljskoj kugli.
• Centralni regioni poprečnih projekcija na sferi i elipsoidu se ne mogu razlikovati na ovde prikazanim malim projekcijama.
• Meridijani na 90° istočno i zapadno od izabranog centralnog meridijana projektuju se kao vodoravne linije koje prolaze kroz polove. Hemisfere nisu predstavljene vjerodostojno, te je jedna od njih projektovana iznad sjevernog pola i ispod južnog pola.
• Ekvator razdvaja Afriku, prolazi kroz Južnu Ameriku i zatim nastavlja ka kompletnoj spoljnoj granici projekcije; gornja i donja ivica i desna i lijeva ivica moraju biti identifikovane (tj. predstavljaju iste linije na globusu). (Indonezija je podijeljena na dva dijela. )
• Deformacije se povećavaju prema desnoj i lijevoj granici projekcije, ali se ne povećava do beskonačnosti. Treba se obratiti pažnja na ostrva Galapagos gdje se meridijan od 90° zapadno susreće sa ekvatorom u donjem lijevom uglu.
• Mapa je konformna, što znači da su uglovi u preslikavanju na kartu očuvani. Linije koje se sijeku pod bilo kojim navedenim uglom na projektivnoj ravni elipsoida, će se sjeći i u linijama pod istim uglom na projekciji. Konkretno paralele i meridijani se ijseku pod uglom od 90°.
• Linearna razmjera nezavisna je od pravca u bilo kojoj tački, tako da je oblik malog regiona prilično dobro očuvan. Neophodni uslov je da se veličina razmjere ne smije previše razlikovati u dotičnom regionu. Treba imati na umu da je, iako je Južna Amerika izazito deformisana, ostrvo Cejlon je dovoljno malo da bi se moglo razumno oblikovati, iako je daleko od centralnog meridijana projekcije.
• Izbor centralnog meridijana u velikoj mjeri utiče na izgled projekcije. Ako se odabere 90° W, onda je razumljiva cijela Amerika. Ako se odabere 145° E, Daleki istok je dobar, a Australija je orijentisana prema sjeveru.

U većini primjena Gaus-Krigerov koordinatni sistem primjenjuje se na usku zonu u blizini centralnih meridijana projekicje, gdje su razlike između sferne i elipsoidne verzije male, ali bez obzira na to važne za tačno i precizno kartiranje. Direktni redovi za razmjeru, konvergenciju i deformacije su funkcije ekscentričnosti i geografske širine i dužine na elipsoidu: inverzne serije su funkcije ekscentričnosti u smjeru x ili y-ose na projekciji. U verziji sekant linije, prave koje se projektuju bez deformacija na projekciji više nisu paralelne sa centralnim meridijanom; lagano se krive. Ugao konvergencije između projektovanih meridijana i sa h-osom konstantnih linija mreže više nije nula (osim na ekvatoru), tako da se mora ispraviti direkcioni ugao mreže da bi se dobio azimut pravog sjevera. Razlika je mala, ali nije zanemarljiva, posebno sa povećavanjem vrijednosti geografskih širina.

Implementacije Gaus-Krigerove projekcije

U svom radu iz 1912. godine Kriger je predstavio dva različita rješenja koja se ovde razlikuju po parametru proširenja redova:

• Kriger - n (paragrafi 5 do 8): Formule za direktnu projekciju, dajući koordinate x i y, su proširenja četvrtog reda u smislu trećeg spljoštavanja, n (odnos razlike i zbira velike i male ose elipsoid). Koeficijenti su izraženi u geografskoj širini ( φ ), dužini ( λ ), velikoj osi ( a ) i ekscentričnosti ( e ). Inverzne formule za φ i λ su takođe proširenja četvrtog reda u n, ali sa koeficijentima izraženim u članovima reda x, y, a i e .
• Kriger– λ (paragrafi 13 i 14): Formule koje daju koordinate projekcije x i y su proširenja (koje su 5. odnosno 4. reda) u smislu geografske dužine λ, izražene u radijanima: koeficijenti su izraženi u članovima reda φ, a i e . Inverzna projekcija za φ i λ su proširenja šestog reda u smislu odnosa x / a, sa koeficijentima izraženim u y, a i e.

Matematički redovi Kriger – λ bili su prvi redovi koji su primjenjeni, vjerovatno zato što ih je bilo mnogo lakše izračunati na ručnim kalkulatorima sredinom dvadesetog vijeka.

• Li – Redfern – OSGB : 1945, L.P. Li potvrdio je λ proširenja Krigera i predložio da ih OSGB usvoji ali Redfern (1948) je istakao da oni nisu tačni zbog (a) relativno visoke geografske širine Velike Britanije i (b) velike širine kartografskog područja, preko 10 stepeni geografske dužine. Redfern je proširio redove na osmi stepen reda i ispitao koji su uslovi neophodni za postizanje tačnosti od 1 milimetra (mjerenje tla). Redfernov red je i dalje osnova projekcija OSGB karata.
• Tomas – UTM : λ proširenja Krigera potvrdio je i Paul Tomas 1952: lako su dostupni u Snider-u. Njegove formule za projekcije, potpuno ekvivalentne onima koje je predstavio Redfern, usvojila je Agencija za kartiranje odbrane Sjedinjenih Američkih Država kao osnovu za UTM . Takođe su ugrađeni u konvertor koordinata Geotrans , koji je stavila na raspolaganje Nacionalna geoprostorno-obavještajna agencija Sjedinjenih Država [1] Arhivirano na sajtu Wayback Machine (15. mart 2014) .
• Ostale zemlje : Redfernov red osnova je za geodetsko kartiranje u mnogim zemljama: Australiji, Njemačkoj, Kanadi, Južnoj Africi, da nabrojimo samo neke. (Spisak je dat u Dodatku A.1 iz Stuifbergena 2009. )
• Predložene su mnoge varijante Redfernovog reda, ali od značaja su samo one koje su usvojile državne kartografske službe. Postoje mnoge modifkacije koje se ne korsite u državne svrhe. Sve takve modifikacije se danal lako računaju pomoću snage procesiranja savremenih računara i razvojem n- redova navedenim u nastavku. Precizni Redfernovi redovi, iako niskog reda, ne mogu se zanemariti jer su i dalje sadržani u kvazi-pravnim definicijama OSGB-a i UTM-a, itd.

Sljedeće države su primjenile matematički Kriger–n red (do četvrtog reda u broju stepena sa n ).

• Francuska
• Finska
• Švedska
• Japan

Verzije višeg reda Kriger-n reda implementirane su u sedmi stepen od strane Ensadžer-a i Poder-a i za deseti stepen od strane Kavasea. Osim proširenja redova za transformaciju između geografske širine i konformne geografske širine, Karnej je implementirao red do tridesetog stepena.

Tačna Gaus–Krigerova projekcija i tačnost skraćenih redova

Tačno rješenje Tompsona opisao je Li. Kod ovog matematičkog rješenja , red je konstruisan u smislu eliptičnih funkcija (definisanih u poglavljima 19 i 22 priručnika NIST ) koje se mogu izračunati do proizvoljne tačnosti pomoću algebarskih računarskih sistema kao što je Maksima. Takvu primjenu tačnog rješenja opisuje Karnej (2011).

Tačno rješenje dragoceno je sredstvo za procjenu tačnosti skraćenih reodva n i λ. Na primjer, originalni Kriger-n red iz 1912. godine veoma povoljno se poredi sa tačnim vrijednostima: razlikuju se za manje od 0,31   μm u okviru od 1000 km vrijednosti centralnog meridijana i za manje od 1 mm na 6000 km. S druge strane, razlika u Redfernovom redu koju koristi Geotrans i tačno rješenje je manje od 1 milimetra na razliku u geografskoj dužini od 3 stepena, što odgovara udaljenosti od 334  km od centralnog meridijana na ekvatoru, ali samo 35 km na sjevernoj granici UTM zone. Stoga su Kriger-n redovi mnogo bolji od Redfernovog λ reda.

Redfernov red postaje mnogo netačniji kako se zona širi. Karnej govori o Grenlandu kao poučnom primjeru. Duga tanka kopnena masa usredsređena je na 42 stepena geografske dužine zapadno od Griniča, i, u svom najširem položaju, nije veća od 750 km od tog meridijana, dok raspon geografske dužine dostiže skoro 50 stepeni. Kriger-n red je tačan sa tačnošću 1   mm, ali Redfern verzija Kriger–λ reda ima maksimalnu grešku od jednog kilometra.

Karneijev red 8. stepena (u n ) je tačna do 5 nm u rasponu od 3900  km od centralnog meridijana.

Formule za sfernu poprečnu Merkatorovu projekciju

Sferna normalna Merkatorova projekcija

Normalni aspekt tangente cilindrične projekcije na sferi

Normalne cilindrične projekcije su opisane u odnosu na tangencijalni ili dodirujući cilindar na ekvatoru sa osom duž polarne ose sfere. Cilindrične projekcije su konstruisane tako da se sve tačke na meridijanu projektuju na tačke sa  x = aλ i y, sa predviđenom funkcijom u φ . Za tangentnu normalnu Merkatorovu projekciju (jedinstvene) formule koje garantuju konformnost su:

$x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].$

Konformnost podrazumeva da je linerna razmjera, k, nezavisna od smjera: ona je funkcija samo geografske širine:

$k(\varphi )=\sec \varphi .\,$

Za sekant verziju projekcije postoji faktor k₀ na desnoj strani svih ovih jednačina: ovo osigurava da je razmjera jednaka k₀ na ekvatoru.

Normalne i poprečne mreže projekcije

Poprečne Merkatorove mreže projekcije

Slika lijevo pokazuje kako je poprečni cilindar povezan sa konvencionalnom mrežom na sferi. Tangencijalan je za neki proizvoljno izabrani meridijan i njegova osa je okomita na osu sfere. Ose x - i y definisane na slici povezane su sa ekvatorom i centralnim meridijanom tačno onako kako su i za normalnu projekciju. Na slici desno rotirana mreža projekcije je povezana sa poprečnim cilindrom na isti način na koji je normalni cilindar povezan sa standardnom mrežom,tj. linijama preslikavanja. „Ekvator“, „polovi“ (E i W) i „meridijani“ rotirane mreže identifikuju se sa izabranim centralnim meridijanom, tačkama na ekvatoru 90 stepeni istočno i zapadno od centralnog meridijana, i velikim krugovima kroz te tačke.

geometrija poprečne Merkatorove projekcije

Položaj proizvoljne tačke ( φ, λ ) na standardnoj mreži preslikavanja takođe se može identifikovati u vidu uglova na rotiranoj mreži: φ ′ (ugao M′CP) je efektivna širina i - λ ′ (ugao M′CO) postaje efektivna geografska dužina projekcije. (Znak minus je neophodan da bi ( φ ′, λ ′ ) bili povezani sa rotiranom mrežom na isti način kao što su ( φ, λ ) povezani sa standardnom mrežom meridijana i paralela). Kartezijeve ose ( x ′, y ′ ) povezane su sa rotiranom mrežom na isti način kao što su ose ( x, y ) osi povezane sa standardnom mrežom koordinatnih linija.

Tangentna poprečna Merkatorova projekcija definiše koordinate ( x ′, y ′ ) u članovima - λ ′ i φ ′ formulama transformacije tangentne normalne Merkatorove projekcije:

$x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].$

Ova transformacija projektuje centralni meridijan kao pravu liniju konačne dužine i istovremeno projektuje velike krugove meridijana (koji uključuju ekvator) na beskonačne ravne linije okomite na centralni meridijan. Prave paralele i meridijani (osim ekvatora i centralnog meridijana) nemaju jednostavan odnos sa rotiranom mrežom i projektuju se na komplikovane krive.

Odnos između osa projektovane mreže

Uglovi između dvaju osa i njima odgovarajućih linija mreže povezani su korišćenjem sferne trigonometrije na sfernom trouglu NM′P definisanom pravim meridijanom kroz ishodište, OM′N, pravim meridijanom kroz proizvoljnu tačku, MPN i velikim krugom WM′PE. Rezultati su:

${\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}$

Formule direktne transformacije

Direktne formule koje daju kartezijanske koordinate (x , y) sljede odmah iz gore navedenog. Postavljanjem x  = y ′ i y = - x ′ (i obnavljanje faktora od k ₀ da bi se prilagodile sekundarnim verzijama)

${\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}$

Gornji izrazi dati su od Lamberta a takođe (bez izvoda) od Snajdera, Malinga i Osborna (sa svim detaljima).

Formule inverzne transformacije

Invertovanje gornjih jednačina daje

${\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}$

Linearna razmjera

U smislu koordinata u odnosu na rotiranu mrežu, faktor linearne razmjere dat je sa k = sec φ ′ : ovo se može izraziti ili geografskim koordinatama ili koordinatama projekcije:

${\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}$

Drugi izraz pokazuje da je faktor razmjere jednostavno ništa drugo do funkcija udaljenosti od centralnog meridijana projekcije. Tipična vrijednost linearne razmjere je k ₀   =   0,9996, tako da je k   =   1 kada je k približno 180 km. Kada je k približno 255  km i k ₀  =  1.0004: faktor razmjere je unutar 0,04% od jedinice na zoni preslikavanja od oko 510 km širine.

Konvergencija

Ugao konvergencije

Ugao konvergencije γ u tački na projekciji definisan je uglom izmjerenim od projektovanog meridijana, koji se definiše pravi sjever, do linije mreže konstante x, koja definiše sjever projektovane mreže. Prema tome, γ je pozitivan u kvadrantu sjeverno od ekvatora i istočno od centralnog meridijana, a takođe i u kvadrantu južno od ekvatora i zapadno od centralnog meridijana. Konvergencija se mora dodati Državnoj koordinatnoj mreži da bi se dobio direkcioni ugao, koji se poklapa sa pravim sjeverom. Za sekundarnu poprečnu Merkatorovu projekciju, konvergencija se može izraziti bilo geografskim koordinatama bilo koordinatama projekcije:

${\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}$

Formule za elipsoidnu poprečnu Merkatorovu projekciju

Detalji stvarnih prijmena

• Gaus-Krigerov red po dužini: poprečna Merkatorova projekcija: Redfernova serija
• Gaus-Krigerova serija u n (treće spljoštavanje): poprečna Merkatorova projekcija: redovi izravnavanja
• Tačna (zatvorena forma) poprečne Merkatorove projekcije: poprečna Merkatorova projekcija: tačno rješenje
• Redfernov red četvrtog stepena prema sažetim formulama (primer): poprečna Merkatorova projekcija:vBovringov red

Koordinate, mreže, istoci i severi

Koordinate projekcija proističu iz različitih razvoja elipsoidne poprečne Merkatorove projekcije, koje su kartezijanskog karaktera, tako da centralni meridijan odgovara x osi i Ekvatoru odgovara y osa. I x i y su definisani za sve vrijednosti λ i ϕ . Projekcija ne definiše mrežu: mreža je nezavisna konstrukcija koja se može proizvoljno definisati. U praksi državnih koordinatnih sistema i UTM koriste mreže poravnate sa kartezijanskim osima projekcije, ali su konačnog obima, ishodištima koja se ne moraju poklapati sa presjekom centralnog meridijana sa ekvatorom.

Pravo ishodište mreže uvijek se uzima na centralnom meridijanu, tako da će koordinate mreže biti negativne zapadno od centralnog meridijana. Da bi se izbjegle ovakve negativne koordinate vrijednosti, standardna praksa definiše lažno ishodište na zapadu (i eventualno sjever ili jug) od ishodišta mreže: koordinate u odnosu na lažno ishodište definišu koordinate DKS-a (Državnog Koordinatnog Sistema) koje će uvijek biti pozitivne. U engleskoj literaturi baratuje se pojmovi lažni istok, E ₀, koje je udaljenost pravog ishodišta mreže istočno od lažnog ishodišta. Lažni sjever, N ₀, je udaljenost pravog ishodišta mreže sjeverno od lažnog centra. Ako je pravo ishodište mreže na geografskoj širini φ ₀ na centralnom meridijanu, a faktor razmjere na centralnom meridijanu je k ₀, ove definicije daju istoke i sjevere prema formuli:

${\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}$

Izrazi „istoci“ i „sjeveri“ ne znače stroge pravce istoka i sjevera. Mrežne linije poprečne projekcije, osim osa x i y, ne vode sjever-jug ili istok-zapad kako su definisane paralelama i meridijanima. To je vidljivo iz gore prikazanih globalnih projekcija. U blizini centralnog meridijana razlike su male, ali mjerljive. Razlika između linija mreže sjever-jug i pravih meridijana je ugao konvergencije .

Vidi još

• Merkatorova projekcija
• Razmjera (karta)