Dinamika fluida

Standardan aerodinamički oblik kapi. Ako viskozni medijum prolazi sleva nadesno, dijagram pokazuje distribuciju pritiska kao debljinu crne linije, dok je brzina površinskog sloja prikazana ljubičastim trouglovima. Zeleni generator vrtloga ukazuje na prelaz u turbulentni protok i sprečava povratni protok iz regiona visokog pritiska.

U fizici, dinamika fluida je oblast mehanike fluida koja se bavi protokom fluida. Ona je prirodna nauka fluida (tečnosti i gasova) u kretanju. Ona ima više podoblasti, kao što su aerodinamika (studija vazduha i drugih gasova u kretanju) i hidrodinamika (studija tečnosti u kretanju). Dinamika fluida ima širok opseg primena, uključujući proračun sila i momenata na avionu, utvrđivanje brzine protoka mase nafte kroz cevovod, predviđanje vremenskih prilika, razumevanje nebula u međuzvezdanom prostoru, kao i modelovanje detonacija fisionog oružja. Neki od njenih principa se čak koriste i u saobraćajnom inženjerstvu, pri čemu se saobraćaj tretira kao kontinualno polje.

U mehanici čvrstih tela izučava se kretanje celog tela u odnosu na referentni sistem. Kod pomeranja fluida delovi fluida se kreću jedni u odnosu na druge.

Pre dvadesetog veka, hidrodinamika je bila sinonimna sa dinamikom fluida. To se još uvek odražava u nazivima nekih tema dinamike fluida, like magnetohidrodinamika i hidrodinamička stabilnost, obe od kojih se isto tako mogu primeniti na gasove.

Jednačine

Osnovni aksiomi dinamike fluida su zakoni održanja, konkretno, očuvanje mase, očuvanje linearnog momenta i očuvanje energije (takođe poznato kao Prvi zakon termodinamike). Oni su zasnovani na klasičnoj mehanici i modifikovani su u kvantnoj mehanici i opštoj relativnosti. Oni su izraženi pomoću Rejnoldsove transportne teoreme.

Pored navedenog, pretpostavlja se da se fluidi pridržavaju pretpostavke kontinuuma. Tečnosti se sastoje od molekula koji se sudaraju jedni sa drugima i čvrstim predmetima. Međutim, pretpostavka kontinuuma pretpostavlja da su fluidi kontinuirani, a ne diskretni. Shodno tome, pretpostavlja se da su svojstva kao što su gustina, pritisak, temperatura i brzina strujanja dobro definisana u beskonačno malim tačkama u prostoru i da se kontinuirano razlikuju od jedne tačke do druge. Činjenica da se tečnost sastoji od diskretnih molekula se zanemaruje.

Za tečnosti koje su dovoljno guste da budu kontinuum, ne sadrže jonizovane vrste i imaju brzine protoka koje su male u odnosu na brzinu svetlosti, jednačine momenta za Njutnove fluide su Navier–Stokesove jednačine – što je nelinearni skup diferencijalnih jednačina koji opisuje strujanje fluida čiji napon linearno zavisi od gradijenata brzine strujanja i pritiska. Nepojednostavljene jednačine nemaju opšte rešenje zatvorenog oblika, te se prvenstveno koriste u računarskoj dinamici fluida. Jednačine se mogu pojednostaviti na nekoliko načina, što ih čini lakšim za rešavanje. Neka od pojednostavljenja omogućavaju da se neki jednostavni problemi dinamike fluida rešavaju u zatvorenom obliku.

Pored jednačina za očuvanje mase, impulsa i energije, potrebna je termodinamička jednačina stanja koja daje pritisak kao funkciju drugih termodinamičkih varijabli da bi se problem u potpunosti opisao. Primer ovoga bi bila jednačina stanja idealnog gasa:

$p={\frac {\rho R_{u}T}{M}}$

gde je p pritisak, ρ je gustina, a T je apsolutna temperatura, dok je R_u gasna konstanta, a M molarna masa za određeni gas. Konstitutivni odnos takođe može biti koristan.

Zakoni očuvanja

Tri zakona održanja se koriste za rešavanje problema dinamike fluida, i mogu se napisati u integralnom ili diferencijalnom obliku. Zakoni očuvanja mogu se primeniti na oblast toka koja se naziva kontrolna zapremina. Kontrolna zapremina je diskretna zapremina u prostoru kroz koji se pretpostavlja da teče fluid. Integralne formulacije zakona održanja koriste se za opisivanje promene mase, impulsa ili energije unutar kontrolne zapremine. Diferencijalne formulacije zakona održanja primenjuju Stoksovu teoremu da bi se dobio izraz koji se može tumačiti kao integralni oblik zakona primenjenog na beskonačno malu zapreminu (u tački) unutar toka.

Kontinuitet mase (očuvanje mase)

Brzina promene mase fluida unutar kontrolne zapremine mora biti jednaka neto stopi protoka tečnosti u zapreminu. Fizički, ova izjava zahteva da se masa ne stvara niti uništava u kontrolnoj zapremini, i da se može prevesti u integralni oblik jednačine kontinuiteta:

${\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho \,dV=-\,{}$ ${\scriptstyle S}$${}\,\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S}$

Gore, ρ je gustina tečnosti, u je vektor brzine protoka, a t je vreme. Leva strana gornjeg izraza je brzina povećanja mase unutar zapremine i sadrži trostruki integral nad kontrolnom zapreminom, dok desna strana sadrži integraciju preko površine kontrolne zapremine mase konvektovane u sistem. Protok mase u sistem se smatra pozitivnim, a pošto je vektor normale prema površini suprotan smeru protoka u sistem, termin se negira. Diferencijalni oblik jednačine kontinuiteta je, prema teoremi divergencije:

$\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

Očuvanje momenta

Vidi još: Kaučijeva jednačina momenta

Njutnov drugi zakon kretanja primenjen na kontrolnu zapreminu je izjava da će svaka promena momenta fluida unutar te kontrolne zapremine biti posledica neto protoka momenta u zapremini i dejstva spoljašnjih sila koje deluju na fluida unutar te zapremine.

${\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {u} \,dV=-\,{}$ $_{\scriptstyle S}$ $(\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )\mathbf {u} -{}$ ${\scriptstyle S}$${}\,p\,d\mathbf {S}$ $\displaystyle {}+\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {f} _{\text{body}}\,dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}$

U gornjoj integralnoj formulaciji ove jednačine, pojam sa leve strane je neto promena količine kretanja unutar zapremine. Prvi član sa desne strane je neto stopa po kojoj se moment konvektira u zapreminu. Drugi član desno je sila usled pritiska na površine zapremine. Prva dva člana sa desne strane su negirana pošto se momenat koji ulazi u sistem smatra pozitivnim, a normala je suprotna smeru brzine u i sila pritiska. Treći član sa desne strane je neto ubrzanje mase unutar zapremine usled bilo koje telesne sile (ovde predstavljeno sa f_body). Površinske sile, kao što su viskozne sile, predstavljene su sa F_surf, neto silom usled sila smicanja koje deluju na zapreminsku površinu. Balans momenta se takođe može napisati za pokretnu kontrolnu zapreminu.

Sledi diferencijalni oblik jednačine održanja momenta. Ovde je zapremina smanjena na beskonačno malu tačku, a površinske i telesne sile se uzimaju u obzir u jednoj ukupnoj sili, F. Na primer, F se može proširiti u izraz za sile trenja i gravitacione sile koje deluju u tački u toku.

$\ {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\mathbf {F} -{\frac {\nabla p}{\rho }}$

U aerodinamici se pretpostavlja da je vazduh Njutnovski fluid, što postavlja linearnu vezu između napona smicanja (zbog sila unutrašnjeg trenja) i brzine deformacije fluida. Gornja jednačina je vektorska jednačina u trodimenzionalnom toku, ali se može izraziti kao tri skalarne jednačine u tri koordinatna pravca. Jednačine održanja momenta za kompresibilno, viskozno tečenje se nazivaju Navije-Stoksovim jednačinama.

Očuvanje energije

Vidi još: Prvi zakon termodinamike (mehanika fluida)

Iako se energija može pretvoriti iz jednog oblika u drugi, ukupna energija u zatvorenom sistemu ostaje konstantna.

$\ \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)+\Phi$

Gore, h je specifična entalpija, k je toplotna provodljivost fluida, T je temperatura, a Φ je funkcija viskozne disipacije. Funkcija viskozne disipacije upravlja brzinom kojom se mehanička energija strujanja pretvara u toplotu. Drugi zakon termodinamike zahteva da je termin disipacije uvek pozitivan: viskozitet ne može da stvori energiju unutar kontrolne zapremine. Izraz na levoj strani je materijalni derivat.

Kretanje fluida

Laminarno i turbulentno kretanje

Strujne linije

Strujne linije (strujnice) su zamišljene linije duž kojih se kreću čestice fluida. Strujnice možemo tačnije definisati kao krive linije kod kojih je tangenta u svakoj tački fluida kolinearna sa vektorom brzine. Strujnice u stvari služe za opisivanje trenutnog rasporeda brzina delića fluida.

Stacionarno strujanje

Protok fluida oko avionskog krila.

Turbulentno strujanje

Stacionarno strujanje je strujanje kada se svaka čestica fluida koja se nađe u nekoj strujnoj liniji nastavlja da se kreće u pravcu strujnice kao i prethodna čestica, tj. ako se slika strujnica u toku vremena ne menja. Kod stacionarnog strujanja, strujnice se ne menjaju u toku vremena i poklapaju se sa putanjom čestica fluida. Ako postoji stacionarni tok, to ne znači da se brzina jedne čestice fluida neće promeniti u različitim tačkama strujnice. Upravo zakrivljene linije opisuju te promene.

Bilo koji fluid može proticati (strujati) stacionarno ako su ispunjeni opšti uslovi:

1. brzina je dovoljno mala i
2. prepreke su takve da ne uzrokuju previše nagle promene brzine

Ukoliko ovi uslovi nisu ispunjeni, proticanje fluida znatno je složenije i to strujanje nazivamo turbulentno.

Oblik strujnih linija zavisi od toga kog je telo oblika, tako da to dovodi do toga da će strujne linije imati najpravilniji oblik kod tela u obliku ribe/avionskog krila, dok kod tela u obliku lopte strujnice imaju potpuno drugačiji oblik. Naime, iza tela nastaju turbulencije (vrtlozi,) tako da to čini da strujnice više nisu paralelne. Najveći vrtlozi nastaju kod kretanja ravne ploče.

Strujna cev

Strujna cev je deo fluida koji je ograničen strujnicama. Iz toga sledi da čestice fluida nisu u mogućnosti da prolaze kroz omotač strujne cevi tako da se broj delića u cevi ne menja (ostaje stalan).

Idealni fluid

Glavni članak: Idealni fluid

Idealni fluid je najjednostavniji model idealizacije u mnogim problemima dinamike fluida. Idealni fluid se definiše kao neprekidna, neuništiva sredina koja se kreće se bez unutrašnjeg trenja. Kod idealnog fluida, zapreminska masa se takođe ne menja, tj. ostaje stalna. U najužem smislu reči, to je neprekidna sredina koja poseduje sledeća svojstva: ne postoji unutrašnje trenje među slojevima (viskoznost) i nestišljiva je.

Pojam idealnog fluida se razlikuje od pojma idealnog gasa. Model idealnog gasa izražava diskontinualnost, čestičnu strukturu gasa. Njime se gas predstavlja kao skup ogromnog broja molekula, koji se zamišljaju kao idealno elastične čestice koje uzajamno deluju samo u direktnim međusobnim sudarima i udarima o zidove suda.

Kretanje idealnog fluida

Kretanje idealnog fluida karakterišu četiri osnovna makroskopska parametra: gustina, pritisak, temperatura i brzina delića fluida. U ovom slučaju pod pojmom „delić“ podrazumeva se deo supstancije obuhvaćene elementarnom zapreminom, čije se dimenzije u određenim odnosima mogu zanemariti.

Stacionarno proticanje je najjednostavniji oblik kretanja fluida. Kod stacionarnog proticanja nema nagomilavanja delića fluida, niti njihovog vrtložnog kretanja.

Stanje stacionarnog strujanja je stanje u kojem se idealan fluid nalazi ako se u nekoj tački prostora (unutar cevi kroz koju protiče idealan fluid) brzine čestice ne menjaju u toku vremena. Kad je strujanje idealnog fluida u pitanju, ono je uvek stacionarno jer je unutrašnje trenje tog strujanja važan preduslov za stvaranje vrtloga. Pri tome, brzina kretanja čestice može biti različita od tačke do tačke duž njene putanje. Međutim, u bilo kojoj tački prostora brzine svih čestica koje prođu kroz tu tačku su jednake. Ako se, pak, ovi parametri menjaju u toku vremena u datoj tački, onda je kretanje fluida nestacionarno.

Realni fluid

U realnim fluidima uvek postoji unutrašnje trenje koje je posledica međumolekularnih privlačnih sila. Delovanje ovog trenja na zakonitost kretanja zavisi od vrste fluida kao i od ostalih uslova kretanja. Po pravilu: sa povećanjem brzine kretanja, povećaće se i efekat trenja neuništivog fluida.

Jednačina kontinuiteta

Glavni članak: Jednačina kontinuiteta

Fluid koji se ispituje mora biti nestišljiv, odnosno gustina mora biti nezavisna od vrednosti pritiska u fluidu, a brzina fluida u datoj tački prostora mora biti ista za sve čestice fluida koje kroz nju prolaze. Na taj način, fluid je idealan, a stanje u kom se on nalazi je stacionarno strujanje. Linije duž kojih se čestice fluida kreću nazivaju se strujne linije. Deo fluida ograničen dvema strujnim linijama naziva se strujna cev. Kao što je prikazano na slici 1, postoji strujna cev i u dvema tačkama (1 i 2) po jedan poprečni presek površine S1 i S2. ν1 i ν2 su brzine na osama ovih poprečnih preseka. Ako je gustina fluida u svakoj tački ista, onda će kroz oba preseka strujne cevi za isto vreme proteći ista količina fluida. Na taj način se obezbeđuje da je masa fluida koji protekne kroz S1 jednaka masi fluida koji protekne kroz S2. Za vreme ∆τ kroz presek S1 prostruji fluid mase ∆m, a za isto vreme kroz presek S2 prostruji fluid iste mase ∆m. Pošto je ∆m=ρSνΔτ (gde je ρ – gustina fluida), kada se mase u ova dva preseka uporede, dobija se: ρS1ν1Δτ=ρS2ν2Δτ, a posle skraćivanja: S1ν1=S2ν2. Iz ove jednačine se izvodi njen drugačiji oblik: ν1/ν2=S2/S1. Odatle je jasno da je odnos brzina proticanja fluida kroz dva različita preseka obrnuto srazmeran odnosu površina tih preseka.

Bernulijeva jednačina

Glavni članak: Bernulijeva jednačina

Na slici broj 2 prikazana je strujna cev koja je pod uticajem Zemljine teže, a krajevi cevi su na različitim visinama i imaju različite vrednosti površina poprečnih preseka. Na fluid mase Δm utiče pritisak p1 i pritisak p2. Pošto je p1>p2, fluid će se kretati u pravcu delovanja pritiska p1 i to u tački 1 sa poprečnim presekom S1, brzinom ν1, a u tački 2 sa poprečnim presekom S2, brzinom ν2. Po ovim vrednostima, rad sile pritiska u tački 1 je A1=p1S1Δl1 i u tački 2 A2=p2S2Δl2, odnosno A1=p1ΔV1 i A2=p2ΔV2. Prema jednačini kontinuiteta ΔV1=ΔV2=ΔV=Δm/ρ, pa je onda A1=p1ΔV, a A2=p2ΔV. Pošto je p1>p2 onda sledi da je A1>A2.

$A_{1}-A_{2}=(p_{1}-p_{2})\Delta V$

Razlika rada sile pritisaka u tačkama 1 i 2 je jednaka promeni ukupne energije tj. razlici kinetičke i gravitacione potencijalne energije u tački 1 i 2. Pošto je izvršen neki rad da bi se fluid doveo iz tačke 1 u tačku 2, onda je jasno da je u tački 2 veća vrednost energije fluida. Zbog toga jednačina glasi ovako: (p1-p2)ΔV=1/2∆mν2^2+∆mgh2-(1/2∆mν1^2+∆mgh1) Posle sređivanja, preuređivanja članova i deljenja jednačine sa ∆V, uzimajući u obzir da je ∆m/∆V=ρ, jednačina dobija oblik: p1+1/2ρν1^2+ρgh1=p2+1/2ρν2^2+ρgh2 Iz ove jednačine se konačno dobija Bernulijeva jednačina u obliku:

$p+\rho gh+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=const.$

U Bernulijevoj jednačini postoje 3 člana: p – statički pritisak (potencijalna energija sile pritiska u jedinici zapremine) ρgh – visinski pritisak (gravitaciona potencijalna energija jedinice zapremine tečnosti) 1/2ρν^2 – dinamički pritisak (kinetička energija jedinice zapremine tečnosti)

Rečima iskazana, Bernulijeva jednačina glasi:

Pri stacionarnom proticanju idealne nestišljive tečnosti kroz strujne cevi, ukupni pritisak koji je jednak sumi statičkog, visinskog i dinamičkog pritiska, ostaje konstantan u svakom poprečnom preseku strujne cevi.

Specifičan slučaj se javlja kod ravnih, horizontalnih cevi gde je visina ∆h=0. Onda je: p+1/2ρν^2=const.

Postoji puno jednostavnih, očiglednih i zanimljivih dokaza za ovaj princip: U narodu postoji jedna poslovica: „Tiha voda breg roni.“ Tako sažeto sročena, ova rečenica zvuči besmisleno, ali posmatrano sa gledišta dinamike fluida ova tvrdnja je potpuno opravdana. Opšte je poznato da brze planinske reke imaju uska korita, dok ravničarske, koje su spore, imaju širi tok. Ta pojava je upravo i dokaz za Bernulijev princip. Reka se ponaša kao fluid i kada se za nju napiše ova jednačina, ona ima članove:

p – pritisak fluida (reke) na obale; 1/2ρν^2 – brzinu toka, pomnoženu sa polovinom gustine vode;

dok je treći član jednak nuli jer se ravničarska reka ponaša kao horizontalna cev i onda nema visinske razlike. U ovom slučaju jednačina ima oblik: p+1/2ρν^2=const. Pošto je gustina ρ konstantna vrednost, moguće je menjati samo pritisak p i brzinu ν i to na taj način da, ako je brzina povećana, pritisak je umanjen, a ako je visoka vrednost pritiska, onda je brzina mala. Tako, ravničarska reka teče sporo, ali snažno pritiska obale koje vremenom popuštaju pod statičkim pritiskom.

Vidi još

• Aerodinamika
• Mehanika fluida
• Bernulijeva jednačina
• Jednačina kontinuiteta

Literatura

• Jevrem Janjić, Ištvan Bikit, Nikola Cindro: Opšti kurs fizike - I deo (4 izdanje); Beograd - Naučna knjiga; 1989.
• Momčilo M. Pejović: Opšti kurs fizike - Mehanika, molekularna fizika, termodinamika; II izdanje; Niš, Univerzitet u Nišu; 2001.
• Acheson, D. J. (1990). Elementary Fluid Dynamics. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859679-0. 
• Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0. 
• Chanson, H. (2009). Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages. ISBN 978-0-415-49271-3. 
• Clancy, L. J. (1975). Aerodynamics. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 978-0-273-01120-0. 
• Eckert, Michael (2006). The Dawn of Fluid Dynamics: A Discipline Between Science and Technology. Wiley. str. ix. ISBN 978-3-527-40513-8. 
• Falkovich, G. (2011). Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4. 
• Lamb, Horace (1994). Hydrodynamics (6th izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics (2nd izd.). Pergamon Press. ISBN 978-0-7506-2767-2. 
• Milne-Thompson, L. M. (1968). Theoretical Hydrodynamics (5th izd.). Macmillan.  Originally published in 1938.
• Pope, Stephen B. (2000). Turbulent Flows. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59886-6. 
• Shinbrot, M. (1973). Lectures on Fluid Mechanics. Gordon and Breach. ISBN 978-0-677-01710-5. 
• Raspopović Milan, Šetrajčić Jovan, Raspopović Zoran, Fizika za drugi razred gimnazije prirodno-matematičkog smera, Drugo izdanje, Zavod za udžbenike, Beograd, 2008.
• Drazin, P.G. (2002), Introduction to hydrodynamic stability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00965-2 
• Chandrasekhar, S. (1961), Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Dover, ISBN 978-0-486-64071-6 
• Charru, F. (2011), Hydrodynamic instabilities, Cambridge University Press, ISBN 978-1139500548 
• Godreche, C.; Manneville, P., ur. (1998), Hydrodynamics and nonlinear instabilities, Cambridge University Press, ISBN 978-0521455039 
• Lin, C.C. (1966), The theory of hydrodynamic stability (corrected izd.), Cambridge University Press, OCLC 952854 
• Swinney, H.L.; Gollub, J.P. (1985), Hydrodynamic instabilities and the transition to turbulence (2nd izd.), Springer, ISBN 978-3-540-13319-3 
• Happel, J.; Brenner, H. (2009), Low Reynolds number hydrodynamics (2nd izd.), ISBN 978-9024728770 
• Foias, C.; Manley, O.; Rosa, R.; Teman, R. (2001), Navier–Stokes equations and turbulence, Cambridge University Press, ISBN 978-8126509430 
• Panton, R.L. (2006), Incompressible Flow (3rd izd.), Wiley India, ISBN 978-8126509430 
• Johnson, Jay R.; Wing, Simon; Delamere, Peter A. (2014), „Kelvin–Helmholtz instability in planetary magnetospheres”, Space Science Reviews, 184 (1–4): 1—31, Bibcode:2014SSRv..184....1J, doi:10.1007/s11214-014-0085-z 

Spoljašnje veze

• eFluids
• List of Fluid Dynamics books
• National Committee for Fluid Mechanics Films (NCFMF), containing films on several subjects in fluid dynamics (in RealMedia format)
• Gallery of fluid motion, "a visual record of the aesthetic and science of contemporary fluid mechanics," from the American Physical Society
• List of Fluid Dynamics books