Euklidov prostor

Tačka u trodimenzionalnom euklidskom prostoru može se locirati po tri koordinate.

Euklidov prostor je fundamentalni prostor klasične geometrije čija se svojstva opisuju aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovim postulatom (aksiomom) o paralelnim pravama. Prvobitno, to jest, u Euklidovim elementima, to je bio trodimenzionalni prostor euklidske geometrije, ali u modernoj matematici postoje euklidski prostori bilo koje pozitivne celobrojne dimenzije, uključujući trodimenzionalni prostor i euklidsku ravan (dimenzija dva). Kvalifikator „euklidski“ se koristi za razlikovanje euklidskih prostora od drugih prostora koji su kasnije razmatrani u fizici i modernoj matematici.

Drevni grčki geometri su uveli euklidski prostor za modelovanje fizičkog prostora. Njihov rad je sakupio starogrčki matematičar Euklid u njegovim elementima, sa velikom inovacijom dokazivanja svih svojstava prostora kao teorema, polazeći od nekoliko osnovnih svojstava, nazvanih postulati, koji su se ili smatrali očiglednim (jer na primer, postoji tačno jedna prava linija koja prolazi kroz dve tačke), ili je izgledalo nemoguće dokazati (paralelni postulat).

Nakon uvođenja neeuklidskih geometrija krajem 19. veka, stari postulati su ponovo formalizovani da definišu euklidske prostore kroz aksiomatsku teoriju. Pokazalo se da je druga definicija euklidskih prostora pomoću vektorskih prostora i linearne algebre ekvivalentna aksiomatskoj definiciji. Upravo se ova definicija češće koristi u savremenoj matematici i detaljno je opisana u ovom članku.

Opštije rečeno, Euklidov prostor se naziva m-dimenzionalni metrički prostor, u kojem je moguće uvesti Dekartov koordinatni sistem i tada se metrika definiše na sledeći način: rastojanje između tačke M sa koordinatama $(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ i tačke M'$(x_{1}',x_{2}',...,x_{m}')$ izračunava se po formuli:

$\rho ={\overline {MM'}}={\sqrt {(x_{1}-x_{1}')^{2}+(x_{2}-x_{2}')^{2}}}.$

Definicija

Istorija definicije

Euklidski prostor su uveli stari Grci kao apstrakciju našeg fizičkog prostora. Njihova velika inovacija, koja se pojavila u Euklidovim elementima, bila je da izgrade i dokažu svu geometriju polazeći od nekoliko veoma osnovnih osobina, koje su apstrahovane iz fizičkog sveta, i koje se ne mogu matematički dokazati zbog nedostatka osnovnih alata. Ova svojstva se nazivaju postulati, ili aksiomi u modernom jeziku. Ovaj način definisanja euklidskog prostora i dalje je u upotrebi pod nazivom sintetička geometrija.

Godine 1637, Rene Dekart je uveo kartezijanske koordinate i pokazao da to omogućava svođenje geometrijskih problema na algebarska izračunavanja sa brojevima. Ovo svođenje geometrije na algebru bila je velika promena gledišta, pošto su do tada realni brojevi definisani u smislu dužina i rastojanja.

Euklidska geometrija nije primenjivana u prostorima dimenzija većih od tri sve do 19. veka. Ludvig Šlafli je generalizovao euklidsku geometriju na prostore dimenzije n, koristeći i sintetičke i algebarske metode, i otkrio sve regularne politope (višedimenzionalni analozi Platonovih tela) koji postoje u euklidskim prostorima bilo koje dimenzije.

Uprkos širokoj upotrebi Dekartovog pristupa, koji se zvao analitička geometrija, definicija euklidskog prostora ostala je nepromenjena do kraja 19. veka. Uvođenje apstraktnih vektorskih prostora omogućilo je njihovu upotrebu u definisanju euklidskih prostora sa čisto algebarskom definicijom. Pokazalo se da je ova nova definicija ekvivalentna klasičnoj definiciji u smislu geometrijskih aksioma. Upravo ova algebarska definicija se sada najčešće koristi za uvođenje euklidskih prostora.

Motivacija savremene definicije

Jedan od načina da se razmišlja o euklidskoj ravni je kao skup tačaka koje zadovoljavaju određene odnose, koji se mogu izraziti u smislu udaljenosti i uglova. Na primer, postoje dve osnovne operacije (koje se nazivaju pokreti) na ravni. Jedna je translacija, što znači pomeranje ravni tako da se svaka tačka pomera u istom pravcu i za istu udaljenost. Druga je rotacija oko fiksne tačke u ravni, u kojoj se sve tačke u ravni okreću oko te fiksne tačke pod istim uglom. Jedno od osnovnih načela euklidske geometrije je da dve figure (koje se obično smatraju podskupovima) ravni treba smatrati ekvivalentnim (kongruentnim) ako se jedna može transformisati u drugu nekim nizom translacija, rotacija i refleksija (pogledajte ispod).

Da bi sve ovo bilo matematički precizno, teorija mora jasno definisati šta je euklidski prostor i povezane pojmove udaljenosti, ugla, translacije i rotacije. Čak i kada se koristi u fizičkim teorijama, euklidski prostor je apstrakcija odvojena od stvarnih fizičkih lokacija, specifičnih referentnih okvira, mernih instrumenata i tako dalje. Čisto matematička definicija euklidskog prostora takođe ignoriše pitanja jedinica dužine i drugih fizičkih dimenzija: rastojanje u „matematičkom“ prostoru je broj, a ne nešto izraženo u inčima ili metrima.

Standardni način da se matematički definiše euklidski prostor, kao što je sprovedeno u nastavku ovog članka, je definisanje euklidskog prostora kao skupa tačaka na kojima deluje realni vektorski prostor, prostor translacija koji je opremljen unutrašnjim proizvodom. Delovanje translacija čini prostor afinim prostorom, a to omogućava definisanje pravih, ravni, podprostora, dimenzija i paralelizma. Unutrašnji proizvod omogućava definisanje rastojanja i uglova.

Skup $\mathbb {R} ^{n}$ od n-tuplova realnih brojeva opremljenih skalarnim proizvodom je euklidski prostor dimenzije n. Nasuprot tome, izbor tačke koja se zove ishodište i ortonormalne osnove prostora translacija je ekvivalentan definisanju izomorfizma između euklidskog prostora dimenzije n i $\mathbb {R} ^{n}$ posmatrano kao euklidski prostor.

Iz toga sledi da se sve što se može reći o euklidskom prostoru može reći i o $\mathbb {R} ^{n}.$ Stoga mnogi autori, posebno na osnovnom nivou, nazivaju $\mathbb {R} ^{n}$ standardnim euklidskim prostorom dimenzije n, ili jednostavno euklidskim prostor omdimenzije n.

Razlog za uvođenje takve apstraktne definicije euklidskih prostora i za rad sa njom umesto $\mathbb {R} ^{n}$ je taj što je često poželjno raditi na način bez koordinata i ishodišta (to jest, bez biranja željene osnove i željenog porekla). Drugi razlog je taj što nema porekla niti bilo kakve osnove u fizičkom svetu.

Vidi još

• Prostor
• Geometrija

Literatura

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th izd.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., str. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518 
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0. 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
• Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd izd.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."” 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Euclidean space”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Berger, Marcel (1984), „Affine spaces”, Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4 
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd izd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930 
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001. 
• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3 
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 izd.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3 
• Reventós Tarrida, Agustí (2011), „Affine spaces”, Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9 
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry,page 7, Krieger, New York.
• Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry, Academic Press, ISBN 978-0-12-672025-9 
  From original Stanford Ph.D. dissertation, Primitives for Computational Geometry, available as DEC SRC Research Report 36 Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. oktobar 2021).
• Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, str. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7 
• Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (6th izd.), Cengage Learning, str. 698, ISBN 978-0-534-40212-9 
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th izd.), Cengage Learning, str. 17, ISBN 978-1-111-80864-8 
• Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), „3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to ... Z (2nd izd.), Birkhäuser, str. 57—58, ISBN 978-0-8176-8415-0 
• Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, str. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0 
• Ó Searcóid, Mícheál (2006), „2.7 Distances from Sets to Sets”, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, str. 29—30, ISBN 978-1-84628-627-8 
• Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (april 1952), „Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242—243, JSTOR 2306514, doi:10.2307/2306514 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Bell, Robert J. T. (1914), „49. The shortest distance between two lines”, An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (2nd izd.), Macmillan, str. 57—61 
• Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, str. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1 
• Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, str. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0 
• Adam, John A. (2017), „Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays”, Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, str. 26—27, ISBN 978-1-4008-8540-4, doi:10.1515/9781400885404-004 
• Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, str. xi, ISBN 978-3-319-60792-4 <
• Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, str. 116, ISBN 978-0-19-976404-4 
• Csiszár, I. (1975), „I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems”, Annals of Probability, 3: 146—158, JSTOR 2959270, MR 365798, doi:10.1214/aop/1176996454 
• Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), „Replacing Square Roots by Pythagorean Sums” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577—581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , doi:10.1147/rd.276.0577 
• Spencer, Neil H. (2013), „5.4.5 Squared Euclidean Distances”, Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, str. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2 
• Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), „Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, Ur.: Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr., Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, str. 7—27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2 
• Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, str. 61, ISBN 978-1-118-03104-9 
• Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, str. 51, ISBN 978-3-319-97846-8 

Spoljašnje veze

• Mediji vezani za članak Euklidov prostor na Vikimedijinoj ostavi