Korisnik:Trancelestial/sandbox

Eliptični hiperboloid

Hiperboloid je površ drugog reda, obično zadata u prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ i može biti jednograni, zadat jednačinom ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

ili dvograni

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$

Kada je $a\neq b$, ovakve površi se nazivaju još i eliptični hiperboloidi. Ako i samo ako je $a=b$, hiperboloid je rotaciona površ. Jednograni rotacioni hiperboloid se može dobiti rotacijom hiperbole oko simetrale duži koja spaja žiže, dok dvograni rotacioni hiperboloid rotacijom hiperbole oko prave koja prolazi kroz istu duž.

Kanonska jednačina

Jednograni hiperboloid

Jednograni hiperboloid

Ako se za direktrise uzmu hiperbole određene jednačinama

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$,

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$,

onda je skup svih tačaka na elipsi zadatih jednačinama čija su temena presečne tačke ravni $z=\gamma$ sa zadatim hiperbolama, jednograni hiperboloid. Ove hiperbole se nazivaju direktrisama, a promenljive elipse generatrisama jednogranog hiperboloida. Za tačke generišućih elipsi

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=z-\gamma =0$,

${\frac {\alpha ^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$ i

${\frac {\beta ^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$

eliminacijom parametara $\alpha ,\beta ,\gamma$ dobija se kanonska jednačina jednogranog hiperboloida

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Dvograni hiperboloid

Dvograni hiperboloid

Ako za direktrise uzmu hiperbole određene jednačinama

${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$

${\frac {z^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$

i iste elipse kao za jednograni hiperboloid, analognim postupkom dobija se kanonska jednačina dvogranog hiperboloida

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$.

Parametarske jednačine

Jednograni hiperboloid

Jednograni hiperboloid dobijen rotacijom hiperbole

Jednograni hiperboloid dobijen rotacijom prave

Ako se kao parametri uzmu $u\in [0,2\pi )$ i $v\in \mathbb {R}$ onda se jednograni eliptični hiperboloid može parametrizovati na više načina:

$x(u,v)=a{\sqrt {1+v^{2}}}\cos u$,

$y(u,v)=b{\sqrt {1+v^{2}}}\sin u$,

$z(u,v)=cu$ ili

$x(u,v)=a\cosh v\cos u$,

$y(u,v)=b\cosh v\sin u$,

$z(u,v)=c\sinh v$ ili

$x(u,v)=a(\cos u\mp v\sin u)$,

$y(u,v)=b(\sin u\pm v\cos u$,

$z(u,v)=\pm cu$

U slučaju kad je $a=b$ drugi navedeni način parametrizacije realizuje jednograni hiperboloid rotacijom hiperbole, a treći prave oko $z$ ose.

Dvograni hiperboloid

Dvograni eliptični hiperboloid usmeren duž $z$ ose ima parametarsku jednačinu:

$x(u,v)=a\sinh v\cos u$,

$y(u,v)=b\sinh v\sin u$,

$z(u,v)=\pm c\sinh v$, gde $u\in [0,pi)$ i $v\in \mathbb {R}$.

Uopštenje kanonske jednačine

Hiperboloid sa centrom u $\mathbf {c}$, proizvonjne orijentacije, definiše se jednačinom

$(\mathbf {x} -\mathbf {c} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {c} )=1$,

gde su $\mathbf {x}$ i $\mathbf {c}$ vektori dimenzije 3x1, a A je matrica 3x3.

Sopstveni vektori matrice A definišu usmerenje hiperboloida, a sopstvene vrednosti A su recipročne vrednosti kvadrata polu-osa:${\tfrac {1}{a^{2}}}{\tfrac {1}{b^{2}}}{\tfrac {1}{c^{2}}}$.

Osobine

Kružni jednograni hiperboloid je rotaciona površ i može se dobiti rotacijom hiperbole oko sporedne polu-ose. Rotacijom hiperbole oko glavne polu-ose se dobija dvograni hiperboloid, koji se još može opisati kao skup tačaka P takvih da je AP-BP konstantno, gde su A i B žiže hiperboloida.

Kružni jednograni hiperboloid se takođe može dobiti i rotacijom prave oko polu-ose što znači da je on pravolinijska površ, odnosno da se kroz svaku tačku na njemu može naći prava koja u potpunosti pripada hiperboloidu. Štaviše, kroz svaku tačku na hiperboloidu se mogu naći dve ovakve prave.

Gausovo zakrivljenje jednogranog hiperboloida implicitno je dato formulom

$K(x,y,z)=-{\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}+a^{2}c^{4}y^{2}-b^{2}c^{4}y^{2}+a^{2}b^{4}z^{2}+b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

a Gausovo zakrivljenje dvogranog hiperboloida

$K(x,y,z)={\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}-a^{2}c^{4}y^{2}+b^{2}c^{4}y^{2}-a^{2}b^{4}z^{2}-b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

gde su a, b i c polu-ose.

Iako je Gausovo zakrivljenje dvogranog hiperboloida pozitivno, odabirom pogodne metrike on može biti model hiperboličke geometrije.

Hiperboloid u prostoru $\mathbb {R} ^{n},n>3$

U matematici viših dimenzija se često pominju imaginarni hiperboloidi. Ako se posmatra pseudo-Euklidski prostor i polinom

$p(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})-((x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))$, za k<n, deo prostora

$\{x|p(x)=c\}$,

gde je c konstanta, naziva se hiperboloid.

Takođe se ovakvi hiperboloidi nazivaju i kvazi-sfere zbog sličnosti između sfere i hiperboloida.

Primena u građevini

Toranj u gradu Kobe, Japan

Zbog osobine da je jednograni hiperboloid pravolinijska površ, moguće je napraviti građevinu ovog oblika pomoću ravnih metalnih šipki, dok je za većinu građevina koje imaju zakrivljenu strukturu potrebno praviti zakrivljene gradivne elemente što je daleko komplikovanije u smislu preciznosti. Ovo svojstvo zajedno sa negativnim Gausovim zakrivljenjem omogućavaju hiperboloidnim građevinama da budu stabilnije i otpornije u odnosu na ravne građevine.

Ovakva struktura ima dosta neiskoristivog prostora pa se zato uglavnom koristi za konstrukciju tornjeva za hlađenje, vodenih tornjeva, građevina koje treba da drže veliku masu ili radi estetike.

Toranj u gradu Kobe, Japan

Toranj u gradu Kobe, Japan

Spoljašnje veze

• Hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Jednograni hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Dvograni hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Eliptični hiperboloid na sajtu MathWorld
• Jednograni hiperboloid na sajtu mathinsight
• Dvograni hiperboloid na sajtu mathinsight