Normalan broj

U matematici, normalan broj je realan broj čiji je beskonačan niz cifara u bilo kojoj pozitivnoj celobrojnoj brojevnoj osnovi b distribuiran uniformno u smislu da svaka od b cifara ima istu asimptotsku gustinu 1/b. To takođe znači da se svih mogućih b² parova cifara javlja sa jednakom verovatnoćom gustine b⁻², svih b³ trojki cifara se javlja sa jednakom verovatnoćom gustine b⁻³, i tako dalje.

Intuitivno, ovo znači da se nijedna cifra, ili (konačna) kombinacija cifara, ne pojavljuje češće nego bilo koja druga, i ovo važi bilo da je broj zapisan u osnovi 10, binarnoj osnovi ili bilo kojoj drugoj. Normalan broj se može posmatrati kao beskonačan niz bacanja novčića (binarno) ili beskonačan niz bacanja kockice (osnova 6). Iako će postojati nizovi dužine 10, 100 pa i više uzastopnih pisama (binarno) ili četvorki (osnova 6), ili čak 10, 100 ili više ponavljanja nizova kao što su glava-pismo (u dva uzastopna bacanja novčića), ili 6-1 (u dva uzastopna bacanja kocke), postojaće i podjednak broj svih drugih nizova jednake dužine. Nijedna cifra ili niz nije „favorizovan“.

Iako je moguće dati opšti dokaz da su gotovo svi realni brojevi normalni (u smislu da skup izuzetaka ima meru Lebega nula), ovaj dokaz nije konstruktivan, i za vrlo mali broj konkretnih brojeva je pokazano da su normalni. Na primer, Čajtinova konstanta je normalna (i neizračunljiva). Široko je rasprostranjeno uverenje da su (izračunljivi) brojevi √2, π, and e normalni, ali dokaz još uvek nije nađen.

Reference

• Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010), „8. Transcendence and diophantine approximation”, Ur.: Berthé, Valérie; Rigo, Michael, Combinatorics, automata, and number theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 135, Cambridge: Cambridge University Press, str. 410—451, ISBN 978-0-521-51597-9, Zbl 1271.11073 
• Agafonov, V. N. (1968), „Normal sequences and finite automata”, Soviet Mathematics - Doklady, 9: 324—325, Zbl 0242.94040 .
• Bailey, D. H.; Crandall, R. E. (2001), „On the random character of fundamental constant expansions” (PDF), Experimental Mathematics, 10: 175—190, doi:10.1080/10586458.2001.10504441, Arhivirano iz originala (PDF) 2008-11-23. g. .
• Bailey, D. H.; Crandall, R. E. (2002), „Random generators and normal numbers” (PDF), Experimental Mathematics, 11 (4): 527—546, doi:10.1080/10586458.2002.10504704 .
• Bailey, D. H.; Misiurewicz, M. (2006), „A strong hot spot theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 134 (9): 2495—2501, doi:10.1090/S0002-9939-06-08551-0 .
• Becher, V.; Figueira, S. (2002), „An example of a computable absolutely normal number” (PDF), Theoretical Computer Science, 270: 947—958, doi:10.1016/S0304-3975(01)00170-0 .
• Besicovitch, A. S. (1935), „The asymptotic distribution of the numerals in the decimal representation of the squares of the natural numbers”, Mathematische Zeitschrift, 39: 146—156, doi:10.1007/BF01201350 .
• Borel, E. (1909), „Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27: 247—271, doi:10.1007/BF03019651 .
• Bourke, C.; Hitchcock, J. M.; Vinodchandran, N. V. (2005), „Entropy rates and finite-state dimension”, Theoretical Computer Science, 349 (3): 392—406, doi:10.1016/j.tcs.2005.09.040 .
• Bugeaud, Yann (2012), Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics, 193, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260.11001 
• Calude, C. (1994), „Borel normality and algorithmic randomness”, Ur.: Rozenberg, G.; Salomaa, Arto, Developments in Language Theory: At the Crossroads of Mathematics, Computer Science and Biology, World Scientific, Singapore, str. 113—119 .
• Calude, C.S.; Zamfirescu, T. (1999), „Most numbers obey no probability laws”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 54 (Supplement): 619—623 .
• Cassels, J. W. S. (1959), „On a problem of Steinhaus about normal numbers”, Colloquium Mathematicum, 7: 95—101 .
• Champernowne, D. G. (1933), „The construction of decimals normal in the scale of ten”, Journal of the London Mathematical Society, 8 (4): 254—260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254 .
• Copeland, A. H.; Erdős, P. (1946), „Note on normal numbers”, Bulletin of the American Mathematical Society, 52 (10): 857—860, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08657-7 .
• Dajani, Karma; Kraaikamp, Cor (2002), Ergodic theory of numbers, Carus Mathematical Monographs, 29, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-034-3, Zbl 1033.11040 .
• Davenport, H.; Erdős, P. (1952), „Note on normal decimals”, Canadian Journal of Mathematics, 4: 58—63, doi:10.4153/CJM-1952-005-3 .
• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003), Recurrence sequences, Mathematical Surveys and Monographs, 104, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3387-2, Zbl 1033.11006 .
• Khoshnevisan, Davar (2006), „Normal numbers are normal” (PDF), Clay Mathematics Institute Annual Report 2006: 15, continued pp. 27—31 .
• Long, C. T. (1957), „Note on normal numbers”, Pacific Journal of Mathematics, 7 (2): 1163—1165, Zbl 0080.03604, doi:10.2140/pjm.1957.7.1163 .
• Martin, Greg (2001), „Absolutely abnormal numbers”, American Mathematical Monthly, 108: 746—754, Zbl 1036.11035, arXiv:math/0006089 , doi:10.2307/2695618 
• Murty, Maruti Ram (2007), Problems in analytic number theory (2 izd.), Springer, ISBN 978-0-387-72349-5 .
• Nakai, Y.; Shiokawa, I. (1992), „Discrepancy estimates for a class of normal numbers”, Acta Arithmetica, 62 (3): 271—284 .
• Schmidt, W. (1960), „On normal numbers”, Pacific Journal of Mathematics, 10: 661—672, doi:10.2140/pjm.1960.10.661 .
• Schnorr, C. P.; Stimm, H. (1972), „Endliche Automaten und Zufallsfolgen”, Acta Informatica, 1 (4): 345—359, doi:10.1007/BF00289514 .
• Sierpiński, W. (1917), „Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 45: 125—132 .
• Wall, D. D. (1949), Normal Numbers, Ph.D. thesis, Berkeley, California: University of California .
• Ziv, J.; Lempel, A. (1978), „Compression of individual sequences via variable-rate coding”, IEEE Transactions on Information Theory, 24 (5): 530—536, doi:10.1109/TIT.1978.1055934 .

Dalja literatura

• Harman, Glyn (2002), „One hundred years of normal numbers”, Ur.: Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W., Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory, Natick, MA: A K Peters, str. 57—74, ISBN 978-1-56881-162-8, Zbl 1062.11052 
• Quéfflec, Martine (2006), „Old and new results on normality”, Ur.: Denteneer, Dee; den Hollander, F.; Verbitskiy, E., Dynamics & Stochastics: Festschrift in honor of M. S. Keane, IMS Lecture Notes – Monograph Series, 48, Beachwood, Ohio: Institute of Mathematical Statistics, str. 225—236, ISBN 978-0-940600-64-5, Zbl 1130.11041, arXiv:math.DS/0608249 , doi:10.1214/074921706000000248 

Spoljašnje veze

• Mi smo u ciframa broja Pi i živimo večno, Kliford A. Pikover
• Weisstein, Eric W. „Normal number”. MathWorld.