Podudarnost

Objekti koji se mogu transformisati jedni u druge pomoću krutih transformacija i ogledanja (ali ne i skaliranja) su podudarni. Stoga je objekat podudaran sa svojom slikom u ogledalu (čak i ako nije simetričan), ali ne i za skalarnu verziju. Dva podudarna objekta uvek imaju ili isti oblik ili isti oblik sa svojom slikom u ogledalu.

Homeomorfizam

Fleksibilnija definicija oblika uzima u obzir činjenicu da se realni oblici često deformišu, npr. osoba u različitim položajima, drvo koji se savija na vetru ili ruka sa različitim položajem prstiju. Jedan od načina za modeliranje pokreta koji nije ukrućen jeste homeomorfizam. Grubo govoreći, homeomorfizam je kontinuirano istezanje i savijanje objekta u novi oblik. Dakle, kvadrat i krug su međusobno homeomorfni, ali sfera i krofna nisu. Često ponavljana  matematički šala je da topolozi ne razlikuju svoju šoljicu za kafu od krofne,jer dovoljno elastična krofna može se preoblikovati u šolju kafe stvaranjem rupica i progresivno uvećavajući, uz očuvanje krofne u dršci šoljice.

Analiza oblika

Navedene matematičke definicije krutog i neregularnog oblika nastale su u polju statističke analize oblika. Posebno prokrust analizi, koja je tehnika koja se koristi za upoređivanje oblika sličnih objekata (npr. kostiju različitih životinja), ili merenje deformacije nekog objekta koji se može deformisati. Druge metode su dizajnirane da rade sa ne savitljivim predmetima npr za nezavisno pronalaženje oblika držanja (pogledajte primer analizu oblika spektra).

Klase sličnosti

Svi slični trouglovi imaju isti oblik.Ovi oblici se mogu klasifikovati koristeći složene brojeve u metodi J.A Lestera i Rafael Artzija.Na primer, jednakostranični  trougao može se izraziti kompleksnim brojevima 0, 1, (1 + i √ 3) / 2 koji predstavljaju svoje vertikale. Lester i Artzi nazivaju odnos

$S(u,v,w)=\left({\frac {u-w}{u-v}}\right)$ oblika trougla (u, v, w). Onda je oblik jednakostaraničnog trougla jednak

(0-(1+ √ 3)/2)/(0-1) = (1+i √ 2)/2 = cos(60°) = exp(i π/3).

Za svaku afinsku transformaciju kompleksne ravni,$z\mapsto az+b,a\neq 0$ , trougao se transformiše, ali ne menja svoj oblik. Otuda je oblik invarijanta afinske geometrije. Oblik p = S(u,v,w) zavisi od reda argumenata funkcije S,ali

permutacije dovode do povezanih vrednosti.Na primer,

$1-p=1-(u-w)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(v,u,w)$. Takođe $p^{-1}=S(u,w,v)$.

Kombinovanje ovih permutacija daje $S(u,w,v)=(1-p)^{-1}$. Osim toga,

${\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).}p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u).$ Ovi odnosi su "pravila konverzije" za oblik trougla.

Oblik četverougla povezan je sa dva složena broja p, q. Ako četvorougao ima tačke u,v,w,x, onda p = S(u,v,w) i q = S(v,w,x).Artzi dokazuje ove tvrdnje o četverouglim oblicima:

1. Ako je ${\displaystyle p=(1-q)^{-1}}$, onda je četvorougao paralelogram.
2. Ako paralelogram ima |arg p| = |arg q|, onda je to romb.
3. Kada je p = 1 + i and q = (1 + i)/2,četvoeougao je kvadrat.
4. Ako je $p=r(1-q^{-1})$ i sgn r = sgn(Im p), onda je četvorugao trapez.

Geometrijski oblik $(z_{1},z_{2}...z_{n})$ ima oblik definisan n-2 kompleksnim brojevima${\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1...,n-2.}S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1...,n-2.$Granice geometrijskog oblika ograničava

konveksni skup, kada sve ove komponente oblika imaju imaginarne komponente istog znaka.

Reference

1. Marr, D., & Nishihara, H. (1978). Representation and recognition of the spatial organization of three-dimensional shapes. Proceedings of the Royal Society of London, 200, 269-294.
2. Kendall, D.G. (1984). „Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces”. Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (2): 81—121. doi:10.1112/blms/16.2.81. .
3. Here, scale means only uniform scaling, as non-uniform scaling would change the shape of the object (e.g., it would turn a square into a rectangle).
4. Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. pp. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
5. J.A. Lester (1996) "Triangles I: Shapes", Aequationes Mathematicae 52:30–54
6. Rafael Artzy (1994) "Shapes of Polygons", Journal of Geometry 50(1–2):11–15