Polarni koordinatni sistem

Polarni koordinatni sistem je sistem koordinata gde je pozicija tačke T određena njenom udaljenošću od jedne fiksne tačke R, ishodišta, zajedno sa uglom koji duž RT formira sa jednom fiksnom polupravom. Ishodište R se naziva pol, rastojanje RT naziva se radijus vektor (r), fiksna poluprava naziva se polarna osa (x-osa), na slici desno. Referentna tačka (analogno koordinatnom početku Dekartovog koordinatnog sistema) naziva se pol, a zrak od pola u referentnom pravcu je polarna osa. Udaljenost od pola se naziva radijalna koordinata, radijalna udaljenost ili jednostavno radijus, a ugao se naziva ugaona koordinata, polarni ugao ili azimut.^[1] Uglovi u polarnoj notaciji se generalno izražavaju u stepenima ili radijanima (2 $π$ je jednako 360°).

Ugao φ između polarne ose i radijus vektora naziva se vektorski ugao, ili polarni ugao, azimut, amplituda, pa i anomalija. Pozitivan smer ugla φ je obrnut smeru kazaljke na satu, negativna vrednost je u smeru kazaljke na satu. Koordinate tačke T su uređen par brojeva (r,φ). Polarne koordinate u ravni su korisne za sisteme sa centralnom simetrijom.

Polarni koordinatni sistem je specijalni oblik Cilindričnog koordinatnog sistema kad se ne posmatra vertikalna koordinata z.

Istorija[uredi | uredi izvor]

Koncepte ugla i poluprečnika koristili su već drevni narodi prvog milenijuma pre nove ere. Grčki astronom i astrolog Hiparh (190–120. p. n. e.) napravio je tabelu sa funkcijama tetive dajući dužinu tetive za svaki ugao, a postoje reference da je koristio polarne koordinate u određivanju položaja zvezda.^[2] U O spiralama, Arhimed opisuje Arhimedovu spiralu, funkciju čiji poluprečnik zavisi od ugla. Grčki rad se, međutim, nije proširio na potpuni koordinatni sistem.

Od 8. veka nove ere, astronomi su razvili metode za aproksimaciju i izračunavanje pravca do Meke (kibla), i njene udaljenosti, od bilo koje lokacije na Zemlji.^[3] Od 9. veka pa nadalje, koristili su sfernu trigonometriju i metode projekcije mapa da bi tačno odredili ove veličine. Proračun je u suštini konverzija ekvatorijalnih polarnih koordinata Meke (tj. njene geografske dužine i širine) u njene polarne koordinate (tj. njenu kiblu i rastojanje) u odnosu na sistem čiji je referentni meridijan veliki krug kroz datu lokaciju i Zemljine polove, a čija je polarna osa prava kroz lokaciju i njenu antipodnu tačku.^[4]

Postoje različiti prikazi uvođenja polarnih koordinata kao dela formalnog koordinatnog sistema. Potpuna istorija ovog predmeta opisana je u knjizi Poreklo polarnih koordinata Harvardskog profesora Džulijana Louela Kulidža.^[5] Gregoar de Sant-Vinsent i Bonaventura Kavalijeri su nezavisno uveli koncepte sredinom sedamnaestog veka. Sant-Vinsent je pisao o njima privatno 1625. i objavio svoj rad 1647. godine, dok je Kavalijeri objavio svoje doprinose 1635. sa ispravljenom verzijom koja se pojavila 1653. Kavalijeri je prvi koristio polarne koordinate da reši problem koji se odnosi na oblast unutar Arhimedove spirale. Blez Paskal je kasnije koristio polarne koordinate za izračunavanje dužine paraboličkih lukova.

U Metodu fluksija (delu napisanom 1671, objavljenom 1736), ser Isak Njutn je ispitivao transformacije između polarnih koordinata, koje je nazvao „sedmi način; za spirale“, i devet drugih koordinatnih sistema.^[6] U časopisu Acta Eruditorum (1691), Jakob Bernuli je koristio sistem sa tačkom na pravoj, nazvanom pol i polarna osa. Koordinate su određene rastojanjem od pola i uglom od polarne ose. Bernulijev rad se proširio na pronalaženje poluprečnika krivine krivih izraženih u ovim koordinatama.

Sam termin polarne koordinate pripisuje se Gregoriju Fontani i koristili su ga italijanski pisci iz 18. veka. Termin se pojavio na engleskom u prevodu Lakrojovog Diferencijalnog i integralnog računa Džordža Pikoka iz 1816. godine.^[7]^[8] Aleksis Kler je prvi koji je osmislio polarne koordinate u tri dimenzije, a Leonhard Ojler je prvi koji ih je dalje razvio.^[5]

Konvencije[uredi | uredi izvor]

Radijalna koordinata se često označava sa r ili ρ, a ugaona sa φ, θ, ili t. Ugaona koordinata je navedena kao φ prema ISO standardu 31-11. Međutim, u matematičkoj literaturi ugao se često označava sa θ umesto toga.

Uglovi u polarnoj notaciji se generalno izražavaju u stepenima ili radijanima (2 $π$ rad je jednako 360°). Stepeni se tradicionalno koriste u navigaciji, geodetstvu i mnogim primenjenim disciplinama, dok su radijani češći u matematici i matematičkoj fizici.^[9]

Ugao φ je definisan da počinje od 0° iz referentnog smera i da se povećava za rotacije u smeru kazaljke na satu ili suprotnom smeru kazaljke na satu. Na primer, u matematici, referentni pravac se obično crta kao zrak od pola horizontalno udesno, a polarni ugao se povećava na pozitivne uglove za rotacije u smeru smera desno, dok se u navigaciji (omer, kurs) crta od 0° vertikalno naviše i ugao se povećava za rotacije u smeru kazaljki na satu. Polarni uglovi se smanjuju ka negativnim vrednostima za rotacije u suprotnim orijentacijama.

Jedinstvenost polarnih koordinata[uredi | uredi izvor]

Dodavanje bilo kog broja punih okreta (360°) ugaonoj koordinati ne menja odgovarajući pravac. Slično tome, bilo koja polarna koordinata je identična koordinati sa negativnom radijalnom komponentom i suprotnim smerom (dodajući 180° polarnom uglu). Dakle, ista tačka (r, φ) se može izraziti sa beskonačnim brojem različitih polarnih koordinata (r, φ + n × 360°) i (−r, φ + 180° + n × 360°) = (−r, φ + (2n + 1) × 180°), gde je n proizvoljan ceo broj.^[10] Štaviše, sam pol se može izraziti kao (0, φ) za bilo koji ugao φ.^[11]

Tamo gde je potrebna jedinstvena reprezentacija za bilo koju tačku osim pola, uobičajeno je da se r ograniči na pozitivne brojeve (r > 0), a φ na interval [0, 360°) ili na interval (−180°, 180°], koji su u radijanima [0, 2π) or (−π, π].^[12] Još jedna konvencija, u vezi sa uobičajenim kodomenom funkcije arctan, je da se dozvole proizvoljne realne vrednosti radijalne komponente različite od nule i ograniči vrednost polarnog ugla na (−90°, 90°]. U svim slučajevima mora se izabrati jedinstveni azimut za pol (r = 0), npr. φ = 0.

Transformacije[uredi | uredi izvor]

(P-D) Polarni u Dekartov. Kada pol postavimo u ishodište Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, polarnu osu na h-osu, kao na slici, tada sledeći sistem jednačina transformiše polarne u Dekartove koordinate:

x=r\cos \phi ,\;y=r\sin \phi .

Na primer, tačka T(2,30°) je u polarnom koordinatnom sistemu; udaljena je 2 od pola R, njen radijus vektor položaja naget je pod uglom 30° prema polarnoj osi. Prema navedenim jednačinama, transformišemo njene koordinate u Dekartov sistem i dobijamo $x={\sqrt {3}},\;y=1,$ tj. njen položaj u Dekartovom pravouglom sistemu koordinata je $T'({\sqrt {3}},1).$

Dekartove koordinate x i y mogu se pretvoriti u polarne koordinate r i φ sa r ≥ 0 i φ u intervalu (− $π$ , $π$ ] pomoću:^[13]

{\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\operatorname {hypot} (x,y)\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}

gde je hypot Pitagorin zbir, a atan2 je uobičajena varijacija arctangent funkcije definisane kao

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}

Ako se r prvo izračuna kao gore, onda se ova formula za φ može jednostavnije izraziti koristeći arccosine funkciju:

\varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}

Kompleksni brojevi[uredi | uredi izvor]

Ilustracija kompleksnog broja z ucrtanog na kompleksnu ravan

Svaki kompleksni broj se može predstaviti kao tačka u kompleksnoj ravni, i stoga se može izraziti specificiranjem ili Dekartovih koordinata tačke (koje se nazivaju pravougaoni ili Dekartov oblik) ili polarnih koordinata tačke (koje se nazivaju polarni oblik). Kompleksni broj z se može predstaviti u pravougaonom obliku kao

z=x+iy

gde je i imaginarna jedinica, ili se alternativno može napisati u polarnom obliku kao

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

i odatle, pomoću Ojlerove formule,^[14] kao

z=re^{i\varphi }=r\exp i\varphi .

gde je e Ojlerov broj, i φ, izraženo u radijanima je glavna vrednost funkcije kompleksnog broja arg primenjena na x + iy. Za konverziju između pravougaonog i polarnog oblika kompleksnog broja, mogu se koristiti gore navedene formule za konverziju. Ekvivalentne su oznake

cis

i ugaona notacija:

z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .

Za operacije množenja, deljenja, stepenovanja i vađenja korena kompleksnih brojeva, generalno je mnogo jednostavnije raditi sa kompleksnim brojevima izraženim u polarnom, a ne u pravougaonom obliku. Iz zakona eksponencijalnosti sledi:

Množenje: $r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}$
Deljenje: ${\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}$
Eksponencijacija (Moavrova formula): $\left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }$
Vađenje korena (glavni koren): ${\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}$

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ur. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
^ Friendly, Michael (24. 8. 2009). „Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 26. 9. 2018. g. Pristupljeno 23. 7. 2016. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ King, David A. (2005). „The Sacred Geography of Islam”. Ur.: Koetsier, Teun; Luc, Bergmans. Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. str. 162—78. ISBN 0-444-50328-5.
^ King (2005, p. 169). The calculations were as accurate as could be achieved under the limitations imposed by their assumption that the Earth was a perfect sphere.
^ ^a ^b Coolidge, Julian (1952). „The Origin of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 59 (2): 78—85. JSTOR 2307104. doi:10.2307/2307104.
^ Boyer, C. B. (1949). „Newton as an Originator of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 56 (2): 73—78. JSTOR 2306162. doi:10.2307/2306162.
^ Miller, Jeff. „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics”. Pristupljeno 2006-09-10.
^ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. str. 324.
^ Serway, Raymond A.; Jewett Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.
^ „Polar Coordinates and Graphing” (PDF). 2006-04-13. Arhivirano iz originala (PDF) 22. 8. 2016. g. Pristupljeno 2006-09-22. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Lee, Theodore; David Cohen; David Sklar (2005). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Fourth izd.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40230-5.
^ Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4.
^ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59461-8.
^ Smith, Julius O. (2003). „Euler's Identity”. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Arhivirano iz originala 2006-09-15. g. Pristupljeno 2006-09-22.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Adams, Robert; Christopher Essex (2013). Calculus: a complete course (Eighth izd.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
Anton, Howard; Irl Bivens; Stephen Davis (2002). Calculus (Seventh izd.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (jun 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version izd.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Polar coordinates”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Graphing Software na sajtu Curlie
Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
Polar Coordinate System Dynamic Demo

[brown-1] Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ur. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.

[2] Friendly, Michael (24. 8. 2009). „Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 26. 9. 2018. g. Pristupljeno 23. 7. 2016. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[3] King, David A. (2005). „The Sacred Geography of Islam”. Ur.: Koetsier, Teun; Luc, Bergmans. Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. str. 162—78. ISBN 0-444-50328-5.

[4] King (2005, p. 169). The calculations were as accurate as could be achieved under the limitations imposed by their assumption that the Earth was a perfect sphere.

[coolidge-5] Coolidge, Julian (1952). „The Origin of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 59 (2): 78—85. JSTOR 2307104. doi:10.2307/2307104.

[6] Boyer, C. B. (1949). „Newton as an Originator of Polar Coordinates”. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 56 (2): 73—78. JSTOR 2306162. doi:10.2307/2306162.

[7] Miller, Jeff. „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics”. Pristupljeno 2006-09-10.

[8] Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. str. 324.

[9] Serway, Raymond A.; Jewett Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.

[10] „Polar Coordinates and Graphing” (PDF). 2006-04-13. Arhivirano iz originala (PDF) 22. 8. 2016. g. Pristupljeno 2006-09-22. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[11] Lee, Theodore; David Cohen; David Sklar (2005). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Fourth izd.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40230-5.

[12] Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4.

[13] Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59461-8.

[14] Smith, Julius O. (2003). „Euler's Identity”. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Arhivirano iz originala 2006-09-15. g. Pristupljeno 2006-09-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Normativna kontrola
Državne	Nemačka
Ostale	Enciklopedija Britanika