Tangentni četvorougao

Tangentni četvorougao je svaki četvorougao za koga važi da postoji kružnica koja dodiruje sve njegove stranice. Naziv tangentni potiče od osobine da svaka stranica četvorougla jeste tangentna duž na krug.

kvadrat

Jedna od osnovnih osobina tangentnog četvorougla:

Četvorougao je tangentan ako i samo ako se simetrale njegovih unutrašnjih uglova seku u jednoj tački.

Ova osobina definiše način za konstrukciju centra upisane kružnice. Konstruišu se simetrale uglova i one se seku u centru upisane kružnice.

Važi takođe i jedna važna osobina koja je vezana za dužine stranica:

Četvorougao ABCD je tangentan ako je $|{\overline {AB}}|+|{\overline {CD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {BC}}|$. Važi i obrnuto - ako je četvorougao tangentan, tada je zbir naspramnih stranica međusobno jednak.

Posledica je sledeća. Ako se stranice označe sa a, b, c, d tada je

$a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s$

gde je s poluobim.

Ako su stranice tangentnog četvorougla a, b, c, d, i r je poluprečnik upisane kružnice, tada je njegova površina data formulom

$P={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot r$

Četvorouglovi u koje se istovremeno može upisati krug i opisati krug se zovu bicentrični četvorouglovi ili tetivno-tangentni četvorouglovi.

Primeri

Primeri tangentnih četvorouglova su: kvadrat, romb i deltoid.

Četvorouglovi za koje sigurno znamo da se u njih ne mogu upisati krugovi (nisu tangentni) su paralelogram i pravougaonik. Kod jednakokrakog trapeza postoji specijalan slučaj kada se krug može upisati.

Neke osobine tangentnog četvorougla

Neka je tangentni četvorougao $ABCD\,$ trapez (${\overline {AB}}\,||\,{\overline {CD}}$), čije se dijagonale seku u tački $O\,$.

Ako su $r_{1}\,$, $r_{2}\,$, $r_{3}\,$ i $r_{4}\,$ poluprečnici kružnica upisanih u trouglove $\Delta ABO\,$, $\Delta BCO\,$, $\Delta CDO\,$ i $\Delta DAO\,$, tada je

${\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}$

I takođe ako su $s_{1}\,$,$s_{2}\,$,$s_{3}\,$ i $s_{4}\,$ poluobimi trouglova $\Delta ABO\,$, $\Delta BCO\,$, $\Delta CDO\,$ i $\Delta DAO\,$, tada je

$\ s_{1}+s_{3}=s_{2}+s_{4}$

Vidi još

• Tetivni četvorougao
• Tetivno-tangentni četvorougao

Literatura

• Vladimir Stojanović, Tetive i tangente, Matematiskop. . Београд. 2004. ISBN 978-86-7076-023-3.