Teselacija

Teselirana ravan na pločniku.

Teselacija ili popločavanje ravni je postupak postavljanja geometrijskih oblika u ravni, bez preklapanja i zazora, odnosno praznina. Može se govoriti i o teselaciji delova ravni ili drugih površi. Moguća su i uopštenja na više dimenzija. Teselaciju se često javlja u umetnosti Morisa Eshera. Zastupljena je u celoj istoriji umetnosti, od antičke arhitekture do modernog stvaralaštva.

U latinskom jeziku, tessella označava mali komad gline, kamena ili stakla koji je korišćen za pravljenje mozaika. Reč tessella deminutiv je grčke reči τέσσερα koja znači četiri, pa tako ukazuje na četvorougaonik, kao stranu prizme, a standardni elementi mozaika bili su, i do sad ostali, najčešće, male prizme, „ciglice“. Mada se, dakako, koriste i prirodni obluci lepih boja.

Postoje teselacije euklidske, sferne i hiperboličke ravni.

Teselacije se mogu pronaći svuda oko nas, struktura košnice, oklop kornjače, različite šare na koži zmija i guštera, u građevinarstvu na popločanim trgovima, u umetnosti počev od antičke arhitekture (mozaici Sumera nastali oko 4000 godine p. n. e, mozaici starih Grka, šare i ornamenti Arapa) do modernog stvaralaštva, u kompjuterskoj grafici, optici, kristalografiji, društvenim igrama i igrama na računarima.

Reč teselacija potiče od jonske verzije grčke reči tesseres što znači četiri, prve teselacije su bile kvadratnim pločicama. Prvi matematičar koji se bavio slaganjem poligona bez šupljina i preklapanja i time postavio osnove za razvijanje ideja i principa teselacija je Arhimed (287-212g.p.n.e). Po njemu su nazvana Arhimedova tela, koja predstavljaju polupravilne poliedre nastale teselacijama sfere. Poslednja otkrića vezana za teselacije, su britanskog fizičara Rodžer Penrouz, koji je konstruisao aperiodično popločavanje koristeći najpre šest vrsta pločica, da bi 1984 smanjio taj broj na dva. Aperiodične pločice prekrivaju ravan tako da se nijednom nigde ne ponovi ista šara, ponavljaju se iste pločice ali nikad na isti način, primer su popločavanja ravni u obliku spirale.

Primer teselacije

Osnovni pojmovi i vrste teselacija

Teselacije se mogu posmatrati u Euklidskoj ($E^{2}$), hiperboličkoj ravni ($H^{2}$) ili na sferi ($S^{2}$). Sve tri površi zovemo - ravan Π. Teselacija τ u ravni Π se definiše na sledeći način:

Definicija: Teselacija u ravni Π je prebrojiva kolekcija τ={Ti ∶iϵ{1,n} ┤} zatvorenih topoloških diskova koji prekrivaju ravan Π i imaju disjunktne unutrašnjosti, a presek diskova iz bilo kog podskupa od τ je povezan ili prazan skup. Te diskove zovemo pljosnima teselacije τ. Svaki presek tri ili više pljosni sadrži najviše jednu tačku, jer pljosni imaju disjunktne unutrašnjosti. Ako postoje, takve presečne tačke nazivamo temena teselacije τ. Temena razlažu granice pljosni u više disjunktivnih krivih, od kojih je svaka, zajedno sa dva temena na krajevima, presek dve susednih pljosni. Svaki od tih preseka je ubica teselacija τ. Pljosan zovemo n-tougao ako na svojoj granici ima n ivica i n temena. Pri tome ivice ne moraju biti duži.

Definicija: Grupa svih izometrija ravni Π koje preslikavaju τ na samu sebe, se zove grupa simetrija (ili simetrijska grupa) teselacije τ i ozačava se Symτ.

Svaka izometrija iz grupe Symτ preslikava temena, ivice i pljosni teselacije τ respektivno, na temena ivice i pljosni te iste teselacije. Kako svaka ivica ima dva temena i pripada dvema pljosnima, sledi da za proizvoljne dve ivice postoje najviše četiri izometrije koje preslikavaju jednu ivicu na drugu. Slično, za svake dve pljosni postoji najviše konačno mnogo izometrija koje preslikavaju jednu pljosan na drugu, jer svaka pljosan ima konačan broj temena i ivica.

Teselacije se mogu formirati uz pomoć tri operacije: rotacije, translacije i refleksija. Teselacija euklidske i hiperboličke ravni je beskonačna odnosno postoji beskonačno mnogo pločica koje formiraju teselaciju dok je teselacija sfere ograničena površinom te sfere. Teselacije u odnosu na vrstu pločica se dele na: pravilne, polu-pravilne i nepravilne

Primena teselacija u umetnosti

Kako bi kreirali svoja umetnička dela, mnogi umetnici su koristili teselacije, sa pravinim i nepravilnim poligonima. Medju njima svojim radovima se najviše ističe holandski umetnik Maurtius Kornelis Esher (1898—1972). Inspiraciju je dobio posmatrajući šare na Murskim hramovima tokom njegovog boravka u Španiji. Zanimljivo je to što je Moris Esher radio zajedno sa matimatičarom H.S.M. Koksetom, koji se smatra jednim od najvećih stručnjaka za geometriju tog vremena. Njih dvojica su uspeli da naprave spoj teselacija euklidske i hiperboličke ravni i umetnosti.

Primena teselacija u arhitekturi

Još od davnina, kineske, hindu i egipatske kulture koristile su teselacije čime su postizale neobičan i jedinstven izgled građevina. Danas, teselacije možemo spoznati, od pločica na podu, preko zidova od cigli, pa čak i do same celokupne konstrukcije građevine koja je napravljena ređanjem nekih pravlinih poliedara. Primer takve gradjevine je Skver federacije u Melburnu, konstruisanređanjem pravouglih trouglova, veoma je kompleksne strukture i sačinjen od različitih materijala. Sledeći primer je Londonski siti hol napravljen primenom dvodimenzionih teselacija u obliku prstena, koji su pomalo „razmešteni“ što daje jedinstven oblik.

Literatura

• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes, Section IV : Tessellations and Honeycombs. Dover. ISBN 978-0-486-61480-9. 
• Escher, M. C. (1974). J. L. Locher, ur. The World of M. C. Escher (New Concise NAL izd.). Abrams. ISBN 978-0-451-79961-6. 
• Gardner, Martin (1989). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-521-8. 
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. 
• Gullberg, Jan (1997). Mathematics From the Birth of Numbers. Norton. ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Magnus, Wilhelm (1974). Noneuclidean Tesselations and Their Groups. Academic Press. ISBN 978-0-12-465450-1. 
• Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake?. Weidenfeld and Nicolson. ISBN 978-0-297-60723-6. 

Spoljašnje veze

• Wolfram MathWorld: Tessellation (good bibliography, drawings of regular, semiregular and demiregular tessellations)
• Tilings Encyclopedia (extensive information on substitution tilings, including drawings, people, and references)
• Tessellations.org (how-to guides, Escher tessellation gallery, galleries of tessellations by other artists, lesson plans, history)
• Eppstein, David. „The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling”.  (list of web resources including articles and galleries)