Hipoteza kontinuuma

U matematici, hipoteza kontinuuma je hipoteza o mogućim veličinama beskonačnih skupova. Georg Kantor je uveo koncept kardinalnosti, kako bi upoređivao veličine beskonačnih skupova, i pokazao je da je skup celih brojeva strogo manji od skupa realnih brojeva. Hipoteza kontinuuma tvrdi sledeće:

Ne postoji skup čija je veličina strogo između veličine skupa celih brojeva i veličine skupa realnih brojeva.

Ili matematički rečeno, ako uzmemo da je kardinalnost skupa celih brojeva $|\mathbb {Z} |$ jednaka $\aleph _{0}$ (alef-nula) a kardinalnost realnih brojeva $|\mathbb {R} |$ jednaka $2^{\aleph _{0}}$, hipoteza kontinuuma glasi:

$\nexists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.$

Ovo je ekvivalentno sa:

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$

Realni brojevi se takođe nazivaju kontinuumom, pa otuda dolazi ime. Postoji i generalizovana hipoteza kontinuuma, koja glasi:

Za sve ordinale $\alpha$, $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$

Veličina skupa

Glavni članak: Kardinalni broj

Da bismo formalno izrazili hipotezu, potrebna nam je definicija: kažemo da dva skupa S i T imaju istu kardinalnost ili kardinalni broj ako postoji bijekcija $S\leftrightarrow T$. Intuitivno, ovo znači da je moguće da se upare elementi iz S sa elementima skupa T tako da je svaki element iz S uparen sa tačno jednim elementom iz T, i obratno. Znači skup {banana, jabuka, šljiva} ima istu kardinalnost kao i skup {Mika, Pera, Laza}.

Kad su u pitanju beskonačni skupovi, kao što su skupovi celih brojeva ili racionalnih brojeva, ovakve stvari je malo komplikovanije pokazati. Uzmimo skup svih racionalnih brojeva. Očigledna (i pogrešna) pretpostavka bi mogla da bude da racionalnih brojeva ima više od celih brojeva, a da realnih brojeva ima više nego racionalnih, što bi oborilo hipotezu kontinuuma. Međutim, pokazuje se da je kardinalnost racionalnih brojeva jednaka kardinalnosti celih brojeva, i da su oba prebrojivi skupovi. Kantorov dijagonalni postupak pokazuje da celi brojevi i realni brojevi nemaju istu kardinalnost.

Hipoteza kontinuuma tvrdi da svaki podskup kontinuuma (skupa realnih brojeva), koji sadrži cele brojeve ima ili istu kardinalnost kao skup celih brojeva ili istu kardinalnost kao skup realnih brojeva.

Nemogućnost dokazivanja ili opovrgavanja

Kantor je verovao da je hipoteza kontinuuma tačna, i godinama je pokušavao da je dokaže, ali bez uspeha. Ovo je postalo prvo na spisku važnih otvorenih pitanja koje je David Hilbert predstavio na Međunarodnom matematičkom kongresu 1900. u Parizu.

Kurt Gedel je 1940. pokazao da hipoteza kontinuuma ne može biti opovrgnuta standardnom Zermelo-Frenkel teorijom skupova, čak i ako se usvoji aksioma izbora. Pol Koen je 1963. pokazao da uz iste ove aksiome hipoteza kontinuuma ne može biti ni dokazana. Stoga, hipoteza kontinuuma je nezavisna od Zermelo-Frenkel teorije skupova sa aksiomom izbora. Oba ova rezultata pretpostavljaju da same Zermelo-Frenkel aksiome ne sadrže kontradikciju; ova pretpostavka je široko prihvaćena kao tačna.

Hipoteza kontinuuma nije bila prvi iskaz nezavisan od Zermelo-Frenkel teorije skupova sa aksiomom izbora. Direktna posledica Gedelove teoreme nepotpunosti, objavljene 1931, je da postoji formalni iskaz koji izražava konzistentnost Zermelo-Frenkel teorije skupova sa aksiomom izbora, koji je nezavisan od nje. Ovaj iskaz o konzistentnosti je metamatematičke prirode, pre nego čisto matematičke. Hipoteza kontinuuma i aksioma izbora su bile među prvim matematičkim iskazima, za koje je pokazano da su nezavisni od ZF teorije skupova.

Hipoteza kontinuuma je u bliskoj vezi sa mnogim iskazima iz raznih matematičkih oblasti. Kao rezultat njene nezavisnosti, za mnoge značajne konjekture iz ovih oblasti je kasnije pokazano da su takođe nezavisne.

Argumenti za i protiv

Gedel je čvrsto verovao da je hipoteza kontinuuma pogrešna. Po njemu, dokaz konzistentnosti je samo opkazivao da je rasprostranjeni skup aksioma manjkav. Gedel je bio platonista, i stoga nije imao problema sa tvrdnjama o tačnosti ili pogrešnosti iskaza u zavisnosti od njihove dokazivosti. Koen, iako formalista, je takođe naginjao ka odbacivanju hipoteze kontinuuma.

Istorijski, matematičari koji su bili pristalice bogatog i velikog univerzuma skupova su bili protiv hipoteze kontinuuma, dok su oni koji su se zalagali za uredan i kontrolisan univerzum, zalagali za nju.

Kris Frajling je 1986. predstavio argument protiv hipoteze kontinuuma, nazvan Frajlingova aksioma simetrije: pokazao je da je negacija hipoteze kontinuuma ekvivalentna iskazu o verovatnoći koju je okarakterisao kao intuitivno tačnu, ali drugi se nisu složili.

Generalizovana hipoteza kontinuuma

Generalizovana hipoteza kontinuuma tvrdi da ako kardinalnost beskonačnog skupa leži između kardinalnosti beskonačnog skupa S i kardinalnosti skupa partitivnog skupa od S, tada taj skup ima ili kardinalnost skupa S ili skupa partitivnog skupa od S. To jest, za svaki beskonačan kardinal $\lambda$ ne postoji kardinal $\kappa$, takav da $\lambda <\kappa <2^{\lambda }.$ Ekvivalentan uslov je da $\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}$ za svaki ordinal $\alpha .$ Bet broj pruža alternativnu notaciju za ovaj uslov: $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ za svaki ordinal $\alpha .$

Ovo je generalizacija hipoteze kontinuuma, jer kontinuum ima istu kardinalnost kao partitivni skup celih brojeva. Kao i hipoteza kontinuuma, i generalizovana hipoteza kontinuuma je nezavisna od ZF teorije skupova sa aksiomom izbora, ali Vaclav Sjerpinjski je dokazao da ZF teorija skupova i generalizovana hipoteza kontinuuma impliciraju aksiomu izbora, tako da izbor i generalizovana hipoteza kontinuuma nisu nezavisne u ZF; ne postoje modeli u ZF u kojima generalizovana hipoteza kontinuuma stoji, a aksioma izbora ne stoji.

Kurt Gedel je pokazao da je generalizovana hipoteza kontinuuma posledica ZF + V=L (aksioma da je svaki skup konstruktibilan u odnosu na ordinale).

Implikacije generalizovane hipoteze kontinuuma za kardinalnu eksponencijaciju

Generalizovana hipoteza kontinuuma generalno fiksira vrednosti kardinalne eksponencijacije. Vrednost $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}$ je:

$\aleph _{\beta +1}$ kada α ≤ β+1;

$\aleph _{\alpha }$ kada β+1 < α i eksponent je manji od konfinalnosti baze; i

$\aleph _{\alpha +1}$ kada β+1 < α i eksponent je veći ili jednak konfinalnosti baze.

Vidi još

• Alef broj
• Bet broj
• Kardinalnost

Literatura

• Cohen, P. J. (1966). Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin. 
• Cohen, Paul J. (Dec. 15, 1963). „The Independence of the Continuum Hypothesis”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143—1148. 
• Cohen, Paul J. (Jan. 15, 1964). „The Independence of the Continuum Hypothesis, II”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 51 (1): 105—110. 
• Dales, H. G.; W. H. Woodin (1987). An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge. 
• Foreman, Matt (2003). „Has the Continuum Hypothesis been Settled?” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 04. 08. 2022. g. Pristupljeno februar 25 2006. 
• Freiling, Chris (1986). „Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line”. Journal of Symbolic Logic. 51 (1): 190—200. 
• Gödel, K. (1940). The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton University Press. 
• Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
• Maddy, Penelope (jun 1988). „Believing the Axioms, I”. Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481—511. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• McGough, Nancy. „The Continuum Hypothesis”. 
• Woodin, W. Hugh (2001). „The Continuum Hypothesis, Part I” (PDF). Notices of the AMS. 48 (6): 567—576. 
• Woodin, W. Hugh (2001). „The Continuum Hypothesis, Part II” (PDF). Notices of the AMS. 48 (7): 681—690.