Аналитичка геометрија — разлика између измена
Ред 25: | Ред 25: | ||
====Ротација==== |
====Ротација==== |
||
{{rut}} |
|||
Ако се угао ротирања <math>\alpha</math> |
Ако се угао ротирања <math>\alpha</math> сматра позитивним (угао којим се позитивна ''x''-оса треба померати да би се подударила с позитивном ''y''-осом) онда су формуле за трансформацију: |
||
:<math>x'=x\cos\alpha + y\sin\alpha \quad x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\,</math> |
:<math>x'=x\cos\alpha + y\sin\alpha \quad x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\,</math> |
||
:<math>y'=y\cos\alpha - x\sin\alpha \quad y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\,</math> |
:<math>y'=y\cos\alpha - x\sin\alpha \quad y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\,</math> |
||
===Удаљеност између две тачке=== |
|||
===Udaljenost između dve tačke=== |
|||
Удаљеност између тачака (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) и (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) је: |
|||
:<math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,</math> |
:<math>\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,</math> |
||
===Површина троугла=== |
|||
===Površina trokuta=== |
|||
Ако врхови троугла имају координате (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), |
|||
(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) |
(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) и |
||
(''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>), |
(''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>), њихова површина је |
||
:<math> |
:<math> |
||
\pm T = \frac{1}{2} |
\pm T = \frac{1}{2} |
||
Ред 47: | Ред 47: | ||
=</math> |
=</math> |
||
:<math>= \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\,</math> |
:<math>= \frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]\,</math> |
||
Да би -{''T''}- било позитивно, морају тачке (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>), |
|||
(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) |
(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) и |
||
(''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>) |
(''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>) следити једна другу у позитивном правцу , тј. супротно смеру кретања казаљки на сату. |
||
===Дељење удаљености=== |
|||
===Dijeljenje udaljenosti=== |
|||
Ако се удаљеност између тачака (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) и (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>), дели у односу на -{''m/n''}- координате ће бити: |
|||
:<math> x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\,</math> |
:<math> x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}\,</math> |
||
===Коефицијент угла правца === |
|||
===Koeficijent kuta pravca === |
|||
Нека <math>\alpha</math> је угао који правац затвара с ''x''-осом. Ако правац пролази кроз тачке (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) и (''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>) онда је коефицијент угла правца: |
|||
:<math> \tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\quad x_1 \ne x_2\,</math> |
:<math> \tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1};\quad x_1 \ne x_2\,</math> |
||
===Једначина правца=== |
|||
===Jednadžba pravca=== |
|||
Једначина правца је једначина првог реда по ''x'' и ''y'' и општа формула је |
|||
Jednadžba pravca je jednadžba prvog reda po ''x'' i ''y'' i opća formula je |
|||
:<math>Ax+By+C=0\,</math> |
:<math>Ax+By+C=0\,</math> |
||
Свака једначина првог реда представља правац. |
|||
Svaka jednadžba prvog reda predstavlja pravca. |
|||
:<math>x=a\,</math> |
:<math>x=a\,</math> |
||
значи правац паралелан с ''y''-осом и |
|||
znači pravac paralelan s ''y''-osom i |
|||
:<math>y=b\,</math> |
:<math>y=b\,</math> |
||
працац паралелан с ''x''-осом. |
|||
pracac paralelan s |
|||
är en linje parallell med ''x''-osom. |
|||
:<math>y=k\,x\,</math> |
:<math>y=k\,x\,</math> |
||
је правац кроз координатни почетак. |
|||
je pracac kroz koordinatni početak. |
|||
==== |
====к-формула==== |
||
Правац се може написати и у облику |
|||
Pravac se može napisati i u obliku |
|||
:<math>y=k\,x+m\,</math> |
:<math>y=k\,x+m\,</math> |
||
ако је правац паралелан с ''y''-осом, тј. -{''B''}- је различито од нуле. Овдје је ''к'' коефицијент угла правца |
|||
ako je pravac paralelan s ''y''-osom, tj. ''B'' är različit od nule. Ovdje je ''k'' koeficijent kuta pravca |
|||
:<math>k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\,</math> |
:<math>k = -\frac{A}{B},\quad m = -\frac{C}{B}\,</math> |
||
и -{''m''}- ''y''-координате додира правца с ''y''-осом. |
|||
[[File:Intercept-form.svg|right|180px]] |
[[File:Intercept-form.svg|right|180px]] |
||
==== |
====Пресек==== |
||
Параметри пресецања су тачке пресека праваца ''x''-осе и y-осе и пишу се |
|||
Parametri presecanja su točke presjeka pravaca ''x''-ose i y-ose i pišu se |
|||
:<math> \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1</math> |
:<math> \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1</math> |
||
где је -{''a''}- ''x''-координата за тачку пресека правца с ''x''-осом а -{''b''}- је ''y''-координата за тачку пресека правца с ''y''-осом или |
|||
:<math>a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\,</math> |
:<math>a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B}\,</math> |
||
==== |
====Стандардни облик==== |
||
[[File:Line-normal-form.svg|right|180px]] |
[[File:Line-normal-form.svg|right|180px]] |
||
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math> |
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math> |
||
је ''стандардни облик'' правца. |
|||
je ''standardni oblik'' pravca. |
|||
<math>\alpha</math> |
<math>\alpha</math> а -{''m''}- се одређује из |
||
:<math>m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},</math> |
:<math>m=-\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}},</math> |
||
:<math>\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}</math> |
:<math>\cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\alpha=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}</math> |
||
Znak kvadratnog |
Znak kvadratnog korena se bira tako da -{''m''}- буде позитивно. |
||
''m'' |
-{''m''}- је дужина нормале из координатног почетка до правца и <math>\alpha</math> је угао те нормале с ''x''-осом. |
||
==== |
==== Удаљеност тачке од правца==== |
||
Правац написан у стандардом облику |
|||
Pravac napisan u standardom obliku |
|||
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math> |
:<math>x\cos\alpha + y\sin\alpha-m=0\,</math> |
||
Онда је удаљеност тачке -{''P''}- с координатама (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>): |
|||
:<math>p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\,</math> |
:<math>p=\pm (x_1\cos\alpha + y_1\sin\alpha-m)\,</math> |
||
где се знак + бира ако координатни почетак и -{''P''}- леже на различитим странама правца. |
|||
gdje se znak + bira ako koordinatni početak i ''P'' leže na različitim stranama pravca. |
|||
====Формула правца кроз једну тачку==== |
|||
====Formula pravca kroz jednu tačku==== |
|||
Једначина за правац кроз тачку (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) с угаоним коефицијентом ''k'' је |
|||
:<math>y-y_1=k(x-x_1)\,</math> |
:<math>y-y_1=k(x-x_1)\,</math> |
||
====Формула правца кроз две тачке==== |
|||
====Formula pravca kroz dve tačke==== |
|||
Једначина за правац кроз тачке (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) и (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) је |
|||
:<math>y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,</math> |
:<math>y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,</math> |
||
==== |
====Угао између два правца==== |
||
Ако су коефицијенти угла правца ''k''<sub>1</sub> и ''k''<sub>2</sub> угао између праваца израчунава се као: |
|||
:<math>\tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\,</math> |
:<math>\tan\beta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\,</math> |
||
=== |
===Криве у равни=== |
||
Крива у ортогоналном координатном систему даје везу између координата ''x'' и ''y'' и може се написати као функција. |
|||
Krivulja u ortogonalnom koordinatnom sustavu daje vezu između koordinata ''x'' i ''y'' i može se napisati kao funkcija. |
|||
Једначина криве се може написати у ''експлицитном облику'' |
|||
Jednadžba krivulje se može napisati u ''eksplicitnom obliku'' |
|||
:<math>y=f(x)\,</math> |
:<math>y=f(x)\,</math> |
||
у ''имплицитном облику'' |
|||
u ''implicitnom obliku'' |
|||
:<math>F(x,y)=0\,</math> |
:<math>F(x,y)=0\,</math> |
||
или у ''параметарском облику'' |
|||
ili u ''parametarskom obliku'' |
|||
:<math>x=x(t),\quad y=y(t)\,</math> |
:<math>x=x(t),\quad y=y(t)\,</math> |
||
У [[поларне координате|поларним координатама]] <math>(r, \psi)</math> једначина криве је |
|||
:<math>r=f(\psi)\,</math> |
:<math>r=f(\psi)\,</math> |
||
или |
|||
ili |
|||
:<math>F(r, \psi)=0\,</math> |
:<math>F(r, \psi)=0\,</math> |
||
==== |
====Тангента==== |
||
[[File:Tangent-2D.svg|right|200px]] |
[[File:Tangent-2D.svg|right|200px]] |
||
Коефицијент угла за тенгенту једног правца у правоугаоним координатима је једнак [[Деривација|деривацији]] функције у тачки додира: |
|||
Koeficijent kuta za tengentu jednog pravca u pravokutnim koordinatima je jednak [[Derivacija|derivaciji]] funkcije u točki dodira: |
|||
:<math>k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\,</math> |
:<math>k=\frac{dy}{dx}=\frac{d\,f(x)}{dx}\,</math> |
||
:<math>k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicitan oblik)}</math> |
:<math>k=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,\quad\text{(implicitan oblik)}</math> |
||
Ред 137: | Ред 136: | ||
[[File:Asymptot.svg|right|200px]] |
[[File:Asymptot.svg|right|200px]] |
||
==== |
====Асимптоте==== |
||
С [[асимптота|асимптотом]] једне криве мисли се на правац такав да раздаљина између правца и тачке на кривој иде према нули где тачка иде у [[бесконачност]]. |
|||
S [[asimptota|asimptotom]] jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i točke na krivoj ide prema nuli gdje točka ide u [[beskonačnost]]. |
|||
Ако се асимптота криве -{''y = f(x)''}- пише помоћу једначине -{''y = kx + m''}-, онда се -{''k''}- и -{''m''}- određuju prema: |
|||
:<math>k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,</math> |
:<math>k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x},\quad m=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) - kx]\,</math> |
||
Верзија на датум 29. мај 2021. у 11:22
Аналитичка геометрија представља изучавање геометрије коришћењем принципа алгебре. Геометријске ликове посматра у дводимензионалном или тродимензионалном Декартовом координатном систему и представља их алгебарским једначинама. Другим речима, она дефинише геометријске облике на нумерички начин, и из такве репрезентације издваја нумеричке информације. Нумерички резултат може бити вектор или геометријски лик. Постоје мишљења да је појавом аналитичке геометрије започета модерна математика.[1][2]
Сматра се да је Рене Декарт објављивањем своје Геометрије, поставио основе данашњој аналитичкој геометрији. У питању је био један од три додатка његовој Расправи о методи (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, 1637) - трактату о научним методама, у коме он, на свега 116 страна, показује примену своје опште методе синтезе на примеру спајања алгебре и геометрије. Уједно, то је једино математичко дело које је објавио за живота.
Иако је пресудно утицала на развој аналитичке геометрије, у Декартовој Геометрији, онаквој каква је, нема неких њених основних елемената, као што су Декартове координате, једначина праве, једначине конусних пресека (иако се једном једначином другог реда означава конусни пресек), а већи део излагања је посвећен теорији алгебарских једначина.
Из сачуваних писама Пјера Ферма може се видети да је он развио идеју аналитичке геометрије пре објављивања Декартовог дела о тој теми. Декарт је предложио представљање криве једначином, изучавање добијене једначине и на тај начин утврђивање особина саме криве, док је Ферма суштински урадио исто проглашавајући једначину „специјалном особином“ криве и изводећи све остале особине посматране криве из ње.
Чињеница да је могуће интерпретирати еуклидску геометрију језиком аналитичке геометрије (што значи да је свака теорема прве, у исто време и теорема друге) је кључни корак у доказу Алфреда Тарског да је еуклидска геометрија конзистента и одлучива.
Координатни систем
Основа аналитичке геометрије је кориштење координатног система. Обично се користи Картезијев координатни систем.
Аналитичка геометрија у R2
Координатни систем и трансформације
Са (x, y) означавају се почетне координате, а са (x', y') нове.
Паралелно померање
Ако x0, y0 су координате координатног почетка у новом систему, онда вреди:
Ротација
Ако се угао ротирања сматра позитивним (угао којим се позитивна x-оса треба померати да би се подударила с позитивном y-осом) онда су формуле за трансформацију:
Удаљеност између две тачке
Удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2) је:
Површина троугла
Ако врхови троугла имају координате (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), њихова површина је
Да би T било позитивно, морају тачке (x1,y1), (x2, y2) и (x3, y3) следити једна другу у позитивном правцу , тј. супротно смеру кретања казаљки на сату.
Дељење удаљености
Ако се удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2), дели у односу на m/n координате ће бити:
Коефицијент угла правца
Нека је угао који правац затвара с x-осом. Ако правац пролази кроз тачке (x1, y1) и (x2,y2) онда је коефицијент угла правца:
Једначина правца
Једначина правца је једначина првог реда по x и y и општа формула је
Свака једначина првог реда представља правац.
значи правац паралелан с y-осом и
працац паралелан с x-осом.
је правац кроз координатни почетак.
к-формула
Правац се може написати и у облику
ако је правац паралелан с y-осом, тј. B је различито од нуле. Овдје је к коефицијент угла правца
и m y-координате додира правца с y-осом.
Пресек
Параметри пресецања су тачке пресека праваца x-осе и y-осе и пишу се
где је a x-координата за тачку пресека правца с x-осом а b је y-координата за тачку пресека правца с y-осом или
Стандардни облик
је стандардни облик правца. а m се одређује из
Znak kvadratnog korena se bira tako da m буде позитивно.
m је дужина нормале из координатног почетка до правца и је угао те нормале с x-осом.
Удаљеност тачке од правца
Правац написан у стандардом облику
Онда је удаљеност тачке P с координатама (x1,y1):
где се знак + бира ако координатни почетак и P леже на различитим странама правца.
Формула правца кроз једну тачку
Једначина за правац кроз тачку (x1, y1) с угаоним коефицијентом k је
Формула правца кроз две тачке
Једначина за правац кроз тачке (x1, y1) и (x2, y2) је
Угао између два правца
Ако су коефицијенти угла правца k1 и k2 угао између праваца израчунава се као:
Криве у равни
Крива у ортогоналном координатном систему даје везу између координата x и y и може се написати као функција.
Једначина криве се може написати у експлицитном облику
у имплицитном облику
или у параметарском облику
У поларним координатама једначина криве је
или
Тангента
Коефицијент угла за тенгенту једног правца у правоугаоним координатима је једнак деривацији функције у тачки додира:
Асимптоте
С асимптотом једне криве мисли се на правац такав да раздаљина између правца и тачке на кривој иде према нули где тачка иде у бесконачност. Ако се асимптота криве y = f(x) пише помоћу једначине y = kx + m, онда се k и m određuju prema:
Аналитичка геометрија у R3
Координатни систем
Координатни систем у R3 користи три равни, обично нормалне једна на другу. Тачке пресека се називају x-, y- и z-osа. Ove tri ravni označavaju se po ulaznim osama kao xy-раван, yz-раван и xz-раван.
Правоугаоне координате
Косинус смера
Координате тачке P' (x, y, z) су нормалне удаљености до yz-, xz- и xy-равни. Ако су углови између вектора положаја дужине r и оса онда је
где
су косинуси смера означени са a, b и c за које вреди
Угао између два правца
Ако имамо два правца, OA1 са косинусима смера a1, b1 и c1 i OA2 са косинусима смера a2, b2 и c2, онда вреди за угао између OA1 и OA2:
Ротација координатног система
С прелазом из правоугаоног координатног система (xyz) у један други (x'y'z') са заједничким координатним почетком али различитим смеровима оса и смеровима косинуса у xyz-осе означене
- за x'-оса са
- за y'-оса са
- за z'-оса са
биће трансформације
Удаљеност између две тачке
Удаљеност d између тачака (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) је
Ако су a, b и c косинуси правца за правац између две аочке, онда се израчунавају као
Раван у R3
Ако је (x0, y0, z0) јединични вектор до једне тачке у равни и (A, B, C) је нормалан вектор на раван, може се једначина равнини написати као скалрарни производ нормалног вектора и векторa (x - x0, y - y0, z - z0):
што даје генерални облик једначине равни као
где је D
Једначина првог реда увек представља раван. Косинуси правца за нормалу равни су
Знак пред кореном се изабире тако да је
- увек позитиван. На тај начин је нормала усмерена према равниној „позитивној” страни.
Нормални облик
Дељењем са
добија се једначина равни у нормалном облику
где су углови које нормала на равац чини с координатним осама а p је удаљеност нормале од координатног почетка па до равни.
Векторски облик
Једначина равни с нормалним вектором n, датом тачком r0 и r као јединичним векторим за произвољну тачку (x, y, z) у равни је
Удаљеност тачке од равни
Координате тачке се пишу у нормалном облику равни
а удаљеност је онда једнака левој страни једначине са предзнаком '-' ако се тачка и координатни почетак налазе на истој страни равни, иначе са предзнаком '+'.
Пример:
Израчунати удаљеност од тачке (1, -3, 2) до равни
Једначина равни у нормалном облику
Важни појмови аналитичке геометрије
- векторски простор
- скаларни производ, за одређивање угла између два вектора
- векторски производ, за одређивање вектора нормалног на два дата вектора, као и запремине паралелопипеда који они одређују
- дефиниција равни
- проблем растојања
- криве другог реда
Многи од ових проблема улазе у домен линеарне алгебре.
Референце
- ^ Boyer, Carl B. (1944), „Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes”, Mathematics Teacher, 37 (3): 99—105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
- ^ Coolidge, J. L. (1948), „The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions”, American Mathematical Monthly, 55 (2): 76—86, JSTOR 2305740, doi:10.2307/2305740
Литература
- Дирк Ј. Стројк, Кратак преглед историје математике, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1991.
- David Eugene Smith, History Of Mathematics, vol I, Dover Publications, New York, 1958.
- Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
- Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
- John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556
- Bissell, Christopher C. (1987), „Cartesian geometry: The Dutch contribution”, The Mathematical Intelligencer, 9: 38—44, doi:10.1007/BF03023730
- Boyer, Carl B. (1965), „Johann Hudde and space coordinates”, Mathematics Teacher, 58 (1): 33—36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
- Pecl, J., Newton and analytic geometry
Спољашње везе
- Аналитичка геометрија на Mathworld
- Coordinate Geometry topics with interactive animations
{{Authority control}