Sličnost (geometrija)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Figure koje su prikazane istom bojom su slične

Dva geometrijska objekta se nazivaju sličnim ako imaju isti oblik, ili jedan ima isti oblik kao lik u ogledalu drugog. Preciznije, jedan se može dobiti od drugog ravnomernim skaliranjem (uvećavanjem ili smanjivanjem), i po potrebi sa dodatnom translacijom, rotacijom i refleksijom. To znači da se oba objekta mogu reskalirati, repozicionirati i reflektovati, tako da se tačno poklapaju s drugim objektom. Ako su dva objekta slična, svaki od njih je podudaran sa rezultatom određenog ravnomernog skaliranja drugog.

Na primer, svi krugovi su slični jedni drugima, svi kvadrati su međusobno slični, a svi jednakostranični trouglovi su međusobno slični. S druge strane, elipse nisu slične jedna drugoj, pravougaonici nisu svi međusobno slični, a jednakokraki trouglovi nisu svi slični jedan drugom.

Ako dva ugla trougla imaju mere jednake merama dva ugla drugog trougla, onda su trouglovi slični. Odgovarajuće strane sličnih poligona su proporcionalne, a odgovarajući uglovi sličnih poligona imaju istu meru.

U ovom članku se pretpostavlja da skaliranje može imati faktor skale od 1, tako da su svi podudarni oblici takođe slični, mada neki školski udžbenici eksplicitno isključuju kongruentne trouglove iz njihove definicije sličnih trouglova insistirajući da se veličine moraju razlikovati, ako su trouglovi kvalifikuju kao slični.

Slični trouglovi[уреди]

U geometriji dva trougla, ABC i A′B′C′, su slična ako i samo ako korespondirajući uglovi imaju istu meru: to znači da su slični ako i samo ako su dužine odgovarajućih strana proporcionalne.[1] Može se pokazati da su dva trougla koja imaju kongruentne uglove (jednakougaoni trouglovi) slični, odnosno može se dokazati da su odgovarajuće strane proporcionalne. To je poznato kao AAA teorema sličnosti.[2] Neophodno je napomenuti da je „AAA” mnemonička konstrukcija: svako od tri „A” odnosi se na jedan ugao. Usled ove teoreme, nekoliko autora pojednostavljuje definiciju sličnih trouglova da bi se samo zahtevalo da su odgovarajuća tri ugla kongruentna.[3]

Postoji nekoliko tvrdnji od kojih je svaka neophodna i dovoljna da bi dva trougla bila slična:

  • Trouglovi imaju dva kongruentna ugla,[4] koji u euklidskoj geometriji podrazumevaju da su svi njihovi uglovi kongruentni.[5] Drugim rečima:
Ako je BAC jednake mere sa B′A′C′, i ABC jednake mere sa A′B′C′, onda se iz toga podrazumeva da je ACB jednake mere A′C′B′ i da su trouglovi slični.
  • Sve korespondirajuće strane imaju dužine istog odnosa:[6]
AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. Ovo je ekvivalentno tvrdnji da je jedan trougao (ili njegov odraz u ogledlu) uvećanje drugog.
  • Dve strane imaju dužine istog odnosa, i uglovi između ovih strana imaju istu meru.[7] Na primer:
AB/A′B′ = BC/B′C′ i ABC ima istu meru sa A′B′C′.

Ovo je poznato kao SAS kriterijum sličnosti.[8] „SAS” je mnemonička konstrukcija: svaki od dva „S” se odnosi na stranicu (engl. side), dok se „A” odnosi na ugao (engl. angle) između stranica.

Kad su dva trougla ABC i A′B′C′ slična, piše se[9]:p. 22

ABC ∼ △A′B′C′.

Postoji nekoliko elementarnih rezultata koji se tiču sličnih trouglova u euklidskoj geometriji:[10]

Polazeći od trougla ABC i linijskog segmenta DE, može se pomoću lenjira i šestara pronaći tačka F takva da je ABC ∼ △DEF. Tvrdnja da tačka F zadovoljava ovaj uslov postoji kao Valisov postulat[12] i logički je ekvivalentna Euklidovom postulatu paralelnosti.[13] U hiperboličkoj geometriji (gde je Valisov postulat ne važi) slični trouglovi su kongurentni.

U aksiomatskom tretmanu euklidske geometrije koji je dao G.D. Birkof (pogledajte Birkofove aksiome), SAS kriterijum sličnosti naveden gore je korišten da se zameni Euklidov postulat paralelnosti i SAS aksiom, što je omogućilo dramatično skraćivanje Hilbertovih aksioma.[8]

Slični trouglovi pružaju osnovu za mnoge sintetičke (bez upotrebe koordinata) dokaze u euklidskoj geometriji. Među elementarnim rezultatima koji se mogu dokazati na ovaj način su: teorema ugaone simetrale, teorema geometrijske sredine, Čevova teorema, Menelajeva teorema i Pitagorina teorema. Slični trouglovi takođe pružaju osvno za trigonometriju pravog trougla.[14]

Reference[уреди]

  1. ^ Sibley 1998, p. 35
  2. ^ Stahl 2003, p. 127. This is also proved in Euclid's Elements, Book VI, Proposition 4.
  3. ^ For instance, Venema 2006, p. 122 and Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123
  4. ^ Euclid's elements Book VI Proposition 4.
  5. ^ This statement is not true in Non-euclidean geometry where the triangle angle sum is not 180 degrees.
  6. ^ Euclid's elements Book VI Proposition 5
  7. ^ Euclid's elements Book VI Proposition 6
  8. 8,0 8,1 Venema 2006, p. 143
  9. ^ Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  10. ^ Jacobs 1974, pp. 384 - 393
  11. ^ Hadamard, Jacques (2008), Lessons in Geometry, Vol. I: Plane Geometry, American Mathematical Society, Theorem 120, p. 125, ISBN 9780821843673 .
  12. ^ Named for John Wallis (1616–1703)
  13. ^ Venema 2006, p. 122
  14. ^ Venema 2006, p. 145

Literatura[уреди]

  • Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd изд.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7 
  • Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0 
  • Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry/A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
  • Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1 
  • Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 
  • Stahl, Saul (2003), Geometry/From Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1 
  • Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5 
  • Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day 
  • Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries, Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer ISBN 0-387-98972-2 .
  • H.S.M. Coxeter (1961,9) Introduction to Geometry, §5 Similarity in the Euclidean Plane, pp. 67–76, §7 Isometry and Similarity in Euclidean Space, pp 96–104, John Wiley & Sons.
  • Günter Ewald (1971) Geometry: An Introduction, pp 106, 181, Wadsworth Publishing.
  • George E. Martin (1982) Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Chapter 13 Similarities in the Plane, pp. 136–46, Springer ISBN 0-387-90636-3.

Spoljašnje veze[уреди]