Uniformna raspodela (kontinuirana)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Uniformna raspodela
Funkcija gustine verovatnoće
PDF of the uniform probability distribution using the maximum convention at the transition points.
Koristeći konvenciju maksimuma
Funkcija kumulativne raspodele
CDF of the uniform probability distribution.
Notacija ili
Parametri
Nositelj
PDF
CDF
Prosek
Medijana
Modussvaka vrednost u
Varijansa
Koef. asimetrije0
Kurtoza
Entropija
MGF
CF

U teoriji verovatnoće i statistici, kontinuirana uniformna raspodela ili pravougaona raspodela je familija simetričnih raspodela verovatnoće takvih da su za svakog člana familije, svi intervali iste dužine unutar distribucione podrške podjednako verovatni. Podrška je definisana sa dva parametra, a i b, koji su njena minimalna i maksimalna vrednost. Distribucija je često skraćeno označava sa U(a,b). Ona je distribucija verovatnoće maksimalne entropije za randomnu promenljivu X bez ograničenja, osim da je sadržana u distribucionoj podršci.[1]

Karakterizacija[уреди]

Funkcija gustine verovatnoće[уреди]

Funkcija gustine verovatnoće kontinuirne uniformne raspodele je:

Vrednosti f(x) na dvema granica a i b su obično nevažne, jer ne menjaju vrednosti integrala f(xdx na bilo kom intervalu, niti vrednost x f(xdx ili bilo kojeg višeg momenta. Ponekad se one izjednačavaju sa nulom, a ponekad se bira da budu 1/(b − a). Ovo potonje je prikladno u kontekstu procene metodom maksimalne verovatnoće. U kontekstu Furijeove analize, može se uzeti da vrednost f(a) ili f(b) bude 1/(2(b − a)), jer tada inverzna transformacija mnogih integralnih transformacija ove uniformne funkcije daje samu funkciju, a ne funkciju koja je jednaka „skoro svuda”, tj. osim na skupu tačaka sa nultom merom. Takođe, ovo je u skladu sa signum funkcijom koja nema takvu dvosmislenost.

U smislu srednje vrednosti μ i varijanse σ2, gustina verovatnoće se može zapisati kao:

Funkcija kumulativne distribucije[уреди]

Funkcija kumulativne distribucije je:

Njen inverzni oblik je:

U notaciji srednje vrednosti i varijanse, funkcija kumulativne distribucije je:

i inverzni oblik je:

Generisanje funkcija[уреди]

Funkcija generisanja momenta[уреди]

Funkcija generisanja momenta je:[2]

iz čega se mogu izračnunati momenti mk

U specijalnom slučaju a = –b, drugim rečima, za

funkcija generisanja momenta se redukuje na jednostavnu formu

Za randomnu promenljivu koja sledi ovu distribuciju, očekivana vrednost je m1 = (a + b)/2 i varijansa je m2 − m12 = (b − a)2/12.

Funkcija generisanja kumulanta[уреди]

Za n ≥ 2, n-ti kumulant uniformne distribucije na intervalu [-1/2, 1/2] je Bn/n, gde je Bn n-ti Bernulijev broj.[3]

Svojstva[уреди]

Momenti[уреди]

Srednaj vrednost (prvi momenat) distribucije je:

Drugi momenat distribucije je:

Generalno, n-ti momenat uniformne distribucije je:

Varijansa (drugi centralni momenat) je:

Druge statistike[уреди]

Neka je X1, ..., Xn uzorak nezavisne i identično raspoređene randomne promenljive iz U(0,1). Neka je X(k) k-ti red statistika iz ovog uzorka. Onda raspodela verovatnoće X(k) predstavlja beta raspodelu sa parametrima k i nk + 1. Očekivana vrednosti je

Ova činjenica je korisna kad se prave Q–Q grafici.

Varijance su

Uniformnost[уреди]

Verovatnoća da uniformno raspoređena slučajna promenljiva padne unutar bilo kojeg intervala fiksne dužine ne zavisi od lokacije samog intervala (mada je zavisna od veličine intervala), dokle god je interval sadržan unutar distribucione podrške.

Da be to videlo, ako je X ~ U(a,b) i [x, x+d] podinterval od [a,b] sa fiksnim d > 0, tada je

which is independent of x. This fact motivates the distribution's name.

Generalizacija do Borelovih setova[уреди]

Ova distribucija može se generalizovati na složenije skupove od intervala. Ako je S Borelov skup pozitivne,[4][5] konačne mere, uniformna distribucija verovatnoće na S može se specificirati definisanjem funkcije raspodele verovatnoće koja je jednaka nuli izvan S i konstantno jednaka 1/K na S, gde je K mera Lebega od S.

Vidi još[уреди]

Reference[уреди]

  1. ^ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). „Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model”. Journal of Econometrics. 150 (2): 219—230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750Слободан приступ. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. 
  2. ^ Casella & Berger 2001, стр. 626
  3. ^ Distribution Theory
  4. ^ Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98412-4 
  5. ^ Mackey, G.W. (1966), „Ergodic Theory and Virtual Groups”, Math. Ann., 166 (3): 187–207, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01361167 

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]