Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.
Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:
- Свака функција
која је непрекидна на интервалу
, равномерно је непрекидна на њему.
Део 1:
Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција
непрекидна на интервалу
(дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку
из тог сегмента постоји нека околина
и за све тачке
важи:
.
Изаберимо 2 тачке,
. Тада је:
![{\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f839b3e390b0c0695b7f5b61ca33c2e406e84001)
Део 2:
Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника,
. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента
, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент
, па скуп тих интервала чини покривач сегмента
. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке
тако да њихове околине
образују подпокривач сегмента
. Како тачака
има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање
и означимо га са
.
Део 3:
Изаберимо сада неку тачку
из интервала
која припада неком од интервала
, што записујемо:
.
Изаберимо и тачку
из интервала
која се налази у
-околини тачке
, тј.
. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је
, онда је сигурно и
.
Сада, из
и
имамо да је:
![{\displaystyle |x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ddc4c2a85ee2ee887cdc2032d1fd68e437a731)
тј. обе тачке, и
и
, припадају
-околини тачке
, односно, обе се налазе унутар неке околине
,
па из Дела 1: имамо да је онда
, што је и требало доказати.
Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.
- Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.