Друга космичка брзина — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Верзија на датум 2. јануар 2023. у 11:02

Познато је да се у Земљиној орбити налазе многи вештачки сателити^[2] који се користе у хидрометеоролошке, телекомуникационе, војне и сличне сврхе. Постоје стационарни сателити који се налазе стално изнад једне исте тачке на Земљи ^[3] јер се крећу истом брзином као и Земља и нестационарни који, у зависности од потребе, круже око планете Земље и снимају оно што нас на њој интересује. ^[4]

Пошто се гравитационо поље Земље теоретски протеже у бесконачност, тако и на сателите као и на остала тела на и око Земље делује исто гравитационо поље. Принцип кружења сателита око Земље самим тим и Месеца, а који важи за било који свемирски објекат као што је Сунце, звезде и сл. заснива се на принципу хоризонталног хица као што је камен, који пада, али никада не падне, него почиње да кружи због закона о очувању енергије. То важи за одређену брзину. Може се видети и на примеру Земље и њених сателита. Да би се неко тело кретало по кружној путањи око Земље мора имати тачно одрађену брзину за дату висину на којој се тело налази. Тако нпр. први вештачки Земљин сателит Спутњик 1 (СССР) ^[5], који је лансиран 04.10.1957. године, масе 83,6 кг на висину од 900 км је морао да се креће брзином од 7,4 км/с. Када би се кретао брзином мањом од те, пао би на Земљу. Ова брзина се назива Прва космичка брзина за дату висину, а то је она минимална брзина којом се морају кретати тела да не би пала на Земљу, већ да постану њени сателити и круже око ње.

Ова космичка брзина зависи од висине, јер се са порастом висине смањује јачина гравитационог деловања Земље, тако да нам је потребна мања брзина да бисмо савладали ово деловање. Ако би тело имало већу брзину од Прве космичке брзине, тело се више не би кретало по кружници, него би његова путања попримила изглед елипсе у чијој се једној жижи налази Земља. Ако би брзина била још већа изглед путање би попримио облик параболе, затим хиперболе, док би при одређеним, много већим брзинама, изашао из Земљине орбите и не би више био њен сателит. Тело када добије минималну брзину од 11,2 км/с престаје бити Земљин сателит и излази из њене орбите. Међутим, то тело неће наставити да се креће праволинијски него ће почети да се креће по елипси око Сунца и тиме постати Сунчев сателит. Ово је минимална брзина да се тело ослободи утицаја Земљиног гравитационог поља и да његово кретање зависи само од Сунчевог гравитационог поља и назива се Друга космичка брзина. Треба имати на уму да је тело и кад се кретало око Земље било под утицајем Сунчевог гравитационог поља, али није имало толику улогу јер је Земљино поље било јаче. Ако би брзина тела била већа од ове Друге космичке брзине, онда би се тело кретало по сличном принципу као и око Земље, дакле по параболи, па по хиперболи, да би се на крају ослободило Сунчевог деловања. Да би тело престало бити Сунчев сателит и напустило наш Сунчев систем, постало сателит центра наше галаксије, мора имати брзину од око 16,2 км/с. Ова минимална брзина се назива Трећа космичка брзина. Четвртом космичком брзином се назива она брзина којом морамо лансирати тело да би изашло изван наше галаксије и износи 290 км/с.

Escape speed at a distance d from the center of a spherically symmetric primary body (such as a star or a planet) with mass M is given by the formula^[6]

v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}

where G is the universal gravitational constant (G ≈ 6.67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²)^{[nb 1]} and g is the local gravitational acceleration (or the surface gravity, when d = r). The escape speed is independent of the mass of the escaping object. For example, the escape speed from Earth's surface is about 11.186 km/s (40.270.000 km/h; 25.020.000 mph; 36.700.000 ft/s)^[7] and the surface gravity is about 9.8 m/s² (9.8 N/kg, 32 ft/s²).

When given an initial speed $V$ greater than the escape speed $v_{e},$ the object will asymptotically approach the hyperbolic excess speed $v_{\infty },$ satisfying the equation:^[8]

{v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.

Overview

The existence of escape velocity is a consequence of conservation of energy and an energy field of finite depth. For an object with a given total energy, which is moving subject to conservative forces (such as a static gravity field) it is only possible for the object to reach combinations of locations and speeds which have that total energy; and places which have a higher potential energy than this cannot be reached at all. By adding speed (kinetic energy) to the object it expands the possible locations that can be reached, until, with enough energy, they become infinite.

For a given gravitational potential energy at a given position, the escape velocity is the minimum speed an object without propulsion needs to be able to "escape" from the gravity (i.e. so that gravity will never manage to pull it back). Escape velocity is actually a speed (not a velocity) because it does not specify a direction: no matter what the direction of travel is, the object can escape the gravitational field (provided its path does not intersect the planet).

An elegant way to derive the formula for escape velocity is to use the principle of conservation of energy (for another way, based on work, see below). For the sake of simplicity, unless stated otherwise, we assume that an object will escape the gravitational field of a uniform spherical planet by moving away from it and that the only significant force acting on the moving object is the planet's gravity. Imagine that a spaceship of mass m is initially at a distance r from the center of mass of the planet, whose mass is M, and its initial speed is equal to its escape velocity, $v_{e}$ . At its final state, it will be an infinite distance away from the planet, and its speed will be negligibly small. Kinetic energy K and gravitational potential energy U_g are the only types of energy that we will deal with (we will ignore the drag of the atmosphere), so by the conservation of energy,

(K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}

We can set K_final = 0 because final velocity is arbitrarily small, and U_g_final = 0 because final distance is infinity, so

{\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}

where μ is the standard gravitational parameter.

The same result is obtained by a relativistic calculation, in which case the variable r represents the radial coordinate or reduced circumference of the Schwarzschild metric.^[10]^[11]

Једначине

Да бисмо израчунали другу космичку брзину за Земљу потребно је упитати се колика би била брзина објекта који би из бесконачности падао на Земљу. Очигледно, то је иста та брзина коју је потребно дати објекту да би се ослободио Земљине гравитације.

Закон очувања енергије:

{\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{R}}=0

где слева стоји кинетичка енергија и потенцијална енергија. Овде је m — маса тела, M — маса планете, R — радијус планете, G — гравитациона константа, v₂ — друга космичка брзина.

Решавајући по v₂, добијамо:

v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}

Између прве и друге космичке брзине постоји једноставан однос:

v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}

Квадрат брзине ослобађања је једнак двоструком њутновском потенцијалу у почетној тачки (на пример на површини планете) ^[12]:

v_{2}^{2}=2\Phi =2{\frac {GM}{R}}

Да бисмо израчунали другу космичку брзину која је потребна да би нека летелица масе м напустила гравитационо поље свемирског тела масе М, потребно је упознати се са појмом потенцијалне енергије тела у гравитационом пољу коју смо видели и горе. Потенцијална енергија тела масе m које се налази на гравитационом пољу тела масе M и удаљености r од његовог центра, дата је изразом:

E_{p}=-G{\frac {mM}{R}}

G=6.67\times 10^{-11}m^{3}kg^{-1}s^{-2}

(универзална гравитациона константа)

До овог израза лако се долази ако израчунамо рад који је потребан да бисмо преместили тело масе m у гравитационом пољу(тела масе M). Наиме, рад се израчунава као производ силе (овде је то гравитациона сила) и пређеног пута (одговара промени удаљености тела). Једини је проблем у том рачуну што се гравитациона сила мења на том путу, па је потребно употребити диференцијални рачун, а до резултата се може доћи и елементарном математиком, заменимо ли гравитациону силу на том путу њеном средњом геометријском вредношћу. Негативни предзнак нам указује да се потенцијална енергија повећева са повећањем удаљености. Наиме, да бисмо тело преместили у већу удаљеност потребно је уложити рад, дакле, потенцијална енергија тела се повећава.

Кинетичка енергија коју је потребно уложити да бисмо тело преместили из удаљености $r_{1}$ у удаљеност $r_{2}$ одговараће промени потенцијалне енергије тела:

${\frac {mv^{2}}{2}}=G{\frac {mM}{r_{1}}}-G{\frac {mM}{r_{2}}}$

На темељу овог израза можемо израчунати брзину која је потребна да бисмо тело масе m преместили из удаљености $r_{1}$ у удаљеност $r_{2}$ у гравитационом пољу тела масе M. Преместимо ли тело у бесконачност, десни члан у овој горе једначини једнак је нули и тада за другу космичку брзину добијемо:

v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}

Што је она формула одозго.

Друга космичка брзина разних небеских тела

Друга космичка брзина (брзина ослобађања) на површини неких небеских тела
Небеско тело	Маса (у односу на масу Земље)	Друга космичка брзина, km/s	Небеско тело	Маса (у односу на масу Земље)	Друга космичка брзина, km/s
Меркур	0,055	4,3	Сатурн	95,3	36,0
Венера	0,82	10,22	Уран	14,5	22,0
Земља	1	11,2	Нептун	17,5	24,0
Марс	0,108	5,0	Месец	0,0123	2,4
Јупитер	318,3	61,0	Сунце	333000	617,7

Види још

Напомене

^ The value GM is called the standard gravitational parameter, or μ, and is often known more accurately than either G or M separately.

Референце

^ Giancoli, Douglas C. (2008). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Addison-Wesley. стр. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.
^ Sateliti. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Zamlja. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Druga Kosmicka brzina. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Спутњик. Preuzeto 10 Marta 2017.
^ Khatri M.K.; Poudel P.R.; Gautam A.K. (2010). Principles of Physics. Kathmandu: Ayam Publication. стр. 170, 171. ISBN 9789937903844.
^ Lai, Shu T. (2011). Fundamentals of Spacecraft Charging: Spacecraft Interactions with Space Plasmas. Princeton University Press. стр. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics (illustrated изд.). Courier Corporation. стр. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.
^ „NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. Архивирано из оригинала 2. 6. 2019. г. Приступљено 21. 8. 2019.
^ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity (2nd revised изд.). Addison-Wesley. стр. 2—22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22 Архивирано 21 јул 2017 на сајту Wayback Machine
^ Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. 116—117. ISBN 978-0-19-966646-1.
^ Потенцијална и кинетичка енергија Архивирано на сајту Wayback Machine (18. март 2017). Preuzeto 10 Marta 2017.

Литература

Forest R. Moulton, Introduction to Celestial Mechanics, 1984, Dover, ISBN 0-486-64687-4
John E. Prussing, Bruce A. Conway, Orbital Mechanics, 1993, Oxford Univ. Press
William M. Smart, Celestial Mechanics, 1961, John Wiley.
Doggett, LeRoy E. (1997), „Celestial Mechanics”, Ур.: Lankford, John, History of Astronomy: An Encyclopedia, New York: Taylor & Francis, стр. 131—140, ISBN 9780815303220
J.M.A. Danby, Fundamentals of Celestial Mechanics, 1992, Willmann-Bell
Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets, 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X.
Michael Efroimsky. 2005. Gauge Freedom in Orbital Mechanics. Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 1065, pp. 346-374
Alessandra Celletti, Stability and Chaos in Celestial Mechanics. Springer-Praxis 2010, XVI, 264 p., Hardcover ISBN 978-3-540-85145-5
Encyclopedia:Celestial mechanics Scholarpedia Expert articles
Calvert, James B. (2003-03-28), Celestial Mechanics, University of Denver, Архивирано из оригинала 2006-09-07. г., Приступљено 2006-08-21

Спољашње везе

[7] The value GM is called the standard gravitational parameter, or μ, and is often known more accurately than either G or M separately.

[1] Giancoli, Douglas C. (2008). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Addison-Wesley. стр. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.

[2] Sateliti. Preuzeto 10 Marta 2017.

[3] Zamlja. Preuzeto 10 Marta 2017.

[4] Druga Kosmicka brzina. Preuzeto 10 Marta 2017.

[5] Спутњик. Preuzeto 10 Marta 2017.

[6] Khatri M.K.; Poudel P.R.; Gautam A.K. (2010). Principles of Physics. Kathmandu: Ayam Publication. стр. 170, 171. ISBN 9789937903844.

[8] Lai, Shu T. (2011). Fundamentals of Spacecraft Charging: Spacecraft Interactions with Space Plasmas. Princeton University Press. стр. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.

[9] Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics (illustrated изд.). Courier Corporation. стр. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.

[10] „NASA – NSSDC – Spacecraft – Details”. Архивирано из оригинала 2. 6. 2019. г. Приступљено 21. 8. 2019.

[11] Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmund (2010). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity (2nd revised изд.). Addison-Wesley. стр. 2—22. ISBN 978-0-321-51286-4. Sample chapter, page 2-22 Архивирано 21 јул 2017 на сајту Wayback Machine

[12] Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. 116—117. ISBN 978-0-19-966646-1.

[13] Потенцијална и кинетичка енергија Архивирано на сајту Wayback Machine (18. март 2017). Preuzeto 10 Marta 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[nb 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
+{{short description|Појам у небеској механици}}{{рут}}
-Познато је да се у [[Земљиној орбити]] налазе многи вештачки [[сателити]] <ref> [https://fizikica.wordpress.com/2015/04/05/vestacki-sateliti/ Sateliti]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref> који се користе у хидрометеоролошке, телекомуникационе, војне и сличне сврхе. Постоје стационарни сателити који се налазе стално изнад једне исте тачке на [[ Земља | Земљи]] <ref> [http://static.astronomija.org.rs/suncsist/planete/zemlja/10stvari/10stvari_koje_ne_znas_o_Zemlji.htm Zamlja]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref>јер се крећу истом брзином као и Земља и нестационарни који, у зависности од потребе, круже око планете Земље и снимају оно што нас на њој интересује.  <ref> [http://eskola.zvjezdarnica.hr/osnove-astronomije Druga Kosmicka brzina]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref>
+[[Датотека:Newton_Cannon.svg|Њутнова анализа космичких брзина. Објекти -{A}- и -{B}- падају натраг на Земљу. Објекти -{C}- и -{D}- улазе у кружну или елиптичну орбиту (прва космичка брзина). Објект -{E}- излази из гравитационог поља по параболи (друга космичка брзина).<ref>{{Cite book |last=Giancoli |first=Douglas C. |url=https://books.google.com/books?id=xz-UEdtRmzkC&pg=PA199 |title=Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics |publisher=[[Addison-Wesley]] |year=2008 |isbn=978-0-13-149508-1 |page=199}}</ref>|мини|десно|300п]]
+Познато је да се у [[Земљиној орбити]] налазе многи вештачки [[сателити]]<ref>[https://fizikica.wordpress.com/2015/04/05/vestacki-sateliti/ Sateliti]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref> који се користе у хидрометеоролошке, телекомуникационе, војне и сличне сврхе. Постоје стационарни сателити који се налазе стално изнад једне исте тачке на [[ Земља | Земљи]] <ref> [http://static.astronomija.org.rs/suncsist/planete/zemlja/10stvari/10stvari_koje_ne_znas_o_Zemlji.htm Zamlja]. Preuzeto 10 Marta 2017.</ref> јер се крећу истом брзином као и Земља и нестационарни који, у зависности од потребе, круже око планете Земље и снимају оно што нас на њој интересује.  <ref> [http://eskola.zvjezdarnica.hr/osnove-astronomije Druga Kosmicka brzina]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref>
 Пошто се [[гравитационо поље]] Земље теоретски протеже у [[бесконачност]], тако и на сателите као и на остала тела на и око Земље делује исто гравитационо поље. Принцип кружења сателита око Земље самим тим и [[Месец | Месеца]], а који важи за било који [[свемирски објекат]] као што је [[Сунце]], [[звезде]] и сл. заснива се на принципу [[хоризонтални хитац | хоризонталног хица]] као што је камен, који пада, али никада не падне, него почиње да кружи због [[ закон о одржању енергије | закона о очувању енергије]]. То важи за одређену [[брзину]]. Може се видети и на примеру Земље и њених сателита. Да би се неко тело кретало по кружној путањи око Земље мора имати тачно одрађену брзину за дату висину на којој се тело налази. Тако нпр. први вештачки Земљин сателит [[Спутњик 1]] (СССР) <ref> [http://static.astronomija.org.rs/nauke/istorija/letovi/sputnjik/sputnjik1_rian.htm Спутњик]. Preuzeto 10 Marta 2017. </ref>, који је лансиран 04.10.1957. године, [[ маса | масе]] 83,6 кг на [[висина | висину]] од 900 км је морао да се креће брзином од 7,4 км/с. Када би се кретао брзином мањом од те, пао би на Земљу. Ова брзина се назива [[Прва космичка брзина]] за дату висину, а то је она минимална брзина којом се морају кретати тела да не би пала на Земљу, већ да постану њени сателити и круже око ње.
-[[Слика:Newton_Cannon.svg|Њутнова анализа космичких брзина. Објекти -{A}- и -{B}- падају натраг на Земљу. Објекти -{C}- и -{D}- улазе у кружну или елиптичну орбиту (прва космичка брзина). Објект -{E}- излази из гравитационог поља по параболи (друга космичка брзина).|мини|десно|300п]]
-Ова космичка брзина зависи од висине, јер се са порастом висине смањује јачина гравитационог деловања Земље, тако да нам је потребна мања брзина да бисмо савладали ово деловање. Ако би тело имало већу брзину од Прве космичке брзине, тело се више не би кретало по [[кружница | кружници]], него би његова путања попримила изглед [[елипса | елипсе]] у чијој се једној [[жижа | жижи]] налази Земља. Ако би брзина била још већа изглед путање би попримио облик [[парабола | параболе]], затим [[ хипербола | хиперболе]], док би при одређеним, много већим брзинама, изашао из [[Земљина орбита | Земљине орбите]] и не би више био њен сателит. Тело када добије минималну брзину од 11,2 км/с престаје бити [[Земљини сателити | Земљин сателит]] и излази из њене [[орбита | орбите]]. Међутим, то тело неће наставити да се креће праволинијски него ће почети да се креће по елипси око Сунца и тиме постати [[Сунчеви сателити | Сунчев сателит]]. Ово је минимална брзина да се тело ослободи утицаја Земљиног гравитационог поља и да његово кретање зависи само од Сунчевог гравитационог поља и назива се Друга космичка брзина.
+Ова космичка брзина зависи од висине, јер се са порастом висине смањује јачина гравитационог деловања Земље, тако да нам је потребна мања брзина да бисмо савладали ово деловање. Ако би тело имало већу брзину од Прве космичке брзине, тело се више не би кретало по [[кружница | кружници]], него би његова путања попримила изглед [[елипса | елипсе]] у чијој се једној [[жижа | жижи]] налази Земља. Ако би брзина била још већа изглед путање би попримио облик [[парабола | параболе]], затим [[ хипербола | хиперболе]], док би при одређеним, много већим брзинама, изашао из [[Земљина орбита | Земљине орбите]] и не би више био њен сателит. Тело када добије минималну брзину од 11,2 км/с престаје бити [[Земљини сателити | Земљин сателит]] и излази из њене [[орбита | орбите]]. Међутим, то тело неће наставити да се креће праволинијски него ће почети да се креће по елипси око Сунца и тиме постати [[Сунчеви сателити | Сунчев сателит]]. Ово је минимална брзина да се тело ослободи утицаја Земљиног гравитационог поља и да његово кретање зависи само од Сунчевог гравитационог поља и назива се Друга космичка брзина. Треба имати на уму да је тело и кад се кретало око Земље било под утицајем Сунчевог гравитационог поља, али није имало толику улогу јер је Земљино поље било јаче. Ако би брзина тела била већа од ове Друге космичке брзине, онда би се тело кретало по сличном принципу као и око Земље, дакле по параболи, па по хиперболи, да би се на крају ослободило Сунчевог деловања. Да би тело престало бити Сунчев сателит и напустило наш [[Сунчев систем]], постало сателит центра наше [[галаксија | галаксије]], мора имати брзину од око 16,2 км/с. Ова минимална брзина се назива [[Трећа космичка брзина]]. [[Четврта космичка брзина | Четвртом космичком брзином]] се назива она брзина којом морамо лансирати тело да би изашло изван наше галаксије и износи 290 км/с.
-Морамо имати на уму да је тело и кад се кретало око Земље било под утицајем Сунчевог гравитационог поља, али није имало толику улогу јер је Земљино поље било јаче. Ако би брзина тела била већа од ове Друге космичке брзине, онда би се тело кретало по сличном принципу као и око Земље, дакле по параболи, па по хиперболи, да би се на крају ослободило Сунчевог деловања.
+Escape speed at a distance ''d'' from the center of a spherically symmetric primary body (such as a star or a planet) with mass ''M'' is given by the formula<ref>{{Cite book |author=Khatri M.K. |author2= Poudel  P.R. |author3 = Gautam A.K. |title=Principles of Physics |publisher=Ayam Publication |year=2010 |isbn=9789937903844 |location=Kathmandu |pages=170, 171}}</ref>
+:<math>v_e = \sqrt{\frac{2GM}{d}} = \sqrt{2gd}</math>
+where ''G'' is the [[gravitational constant|universal gravitational constant]] ({{nowrap|''G'' ≈ 6.67×10{{sup|−11}} m{{sup|3}}·kg{{sup|−1}}·s{{sup|−2}}}})<ref group="nb">The value ''GM'' is called the [[standard gravitational parameter]], or ''μ'', and is often known more accurately than either ''G'' or ''M'' separately.</ref> and ''g'' is the local gravitational acceleration (or the [[surface gravity]], when ''d'' = ''r''). The escape speed is independent of the mass of the escaping object.  For example, the escape speed from Earth's surface is about {{convert|11.186|km/s|km/h mph ft/s|abbr=on}}<ref>{{Cite book |last=Lai |first=Shu T. |url=https://books.google.com/books?id=JjrdCG5BFwUC&pg=PA240 |title=Fundamentals of Spacecraft Charging: Spacecraft Interactions with Space Plasmas |publisher=[[Princeton University Press]] |year=2011 |isbn=978-1-4008-3909-4 |page=240}}</ref> and the surface gravity is about 9.8 m/s{{sup|2}} (9.8 N/kg, 32 ft/s{{sup|2}}).
+When given an initial speed <math>V</math> greater than the escape speed <math>v_e,</math> the object will asymptotically approach the ''[[Hyperbolic trajectory|hyperbolic excess speed]]'' <math>v_{\infty},</math> satisfying the equation:<ref>{{Cite book |last1=Bate |first1=Roger R. |url=https://books.google.com/books?id=UtJK8cetqGkC&pg=PA39 |title=Fundamentals of Astrodynamics |last2=Mueller |first2=Donald D. |last3=White |first3=Jerry E. |publisher=[[Courier Corporation]] |year=1971 |isbn=978-0-486-60061-1 |edition=illustrated |page=39}}</ref>
+:<math>{v_\infty}^2 = V^2 - {v_e}^2 .</math>
+==Overview==
+[[Image:RIAN archive 510848 Interplanetary station Luna 1 - blacked.jpg|thumb|[[Luna 1]], launched in 1959, was the first man-made object to attain escape velocity from Earth (see below table).<ref>{{Cite web |url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraft/display.action?id=1959-012A |title=NASA – NSSDC – Spacecraft – Details<!-- Bot generated title --> |access-date=21 August 2019 |archive-date=2 June 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190602031816/https://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/spacecraft/display.action?id=1959-012A |url-status=live }}</ref>]]
+The existence of escape velocity is a consequence of [[conservation of energy]] and an energy field of finite depth. For an object with a given total energy, which is moving subject to [[conservative force]]s (such as a static gravity field) it is only possible for the object to reach combinations of locations and speeds which have that total energy; and places which have a higher potential energy than this cannot be reached at all. By adding speed (kinetic energy) to the object it expands the possible locations that can be reached, until, with enough energy, they become infinite.
+For a given [[gravitational energy|gravitational potential energy]] at a given position, the escape velocity is the minimum [[speed]] an object without [[Spacecraft propulsion|propulsion]] needs to be able to "escape" from the gravity (i.e. so that gravity will never manage to pull it back). Escape velocity is actually a speed (not a velocity) because it does not specify a direction: no matter what the direction of travel is, the object can escape the gravitational field (provided its path does not intersect the planet).
+An elegant way to derive the formula for escape velocity is to use the principle of conservation of energy (for another way, based on work, see [[#Deriving escape velocity using calculus|below]]).  For the sake of simplicity, unless stated otherwise, we assume that an object will escape the gravitational field of a uniform spherical planet by moving away from it and that the only significant force acting on the moving object is the planet's gravity. Imagine that a spaceship of mass ''m'' is initially at a distance ''r'' from the center of mass of the planet, whose mass is ''M'', and its initial speed is equal to its escape velocity, <math>v_e</math>. At its final state, it will be an infinite distance away from the planet, and its speed will be negligibly small. [[Kinetic energy]] ''K'' and [[gravitational potential]] energy ''U<sub>g</sub>'' are the only types of energy that we will deal with (we will ignore the drag of the atmosphere), so by the conservation of energy,
+:<math>(K + U_g)_\text{initial} = (K + U_g)_\text{final}</math>
+We can set ''K''<sub>final</sub> = 0 because final velocity is arbitrarily small, and ''U<sub>g</sub>''<sub>final</sub> = 0 because   final distance is infinity, so
+:<math>\begin{align}
-Да би тело престало бити Сунчев сателит и напустило наш [[Сунчев систем]], постало сателит центра наше [[галаксија | галаксије]], мора имати брзину од око 16,2 км/с. Ова минимална брзина се назива [[Трећа космичка брзина]].
+  \Rightarrow {} &\frac{1}{2}mv_e^2 + \frac{-GMm}{r} = 0 + 0 \\[3pt]
+  \Rightarrow {} &v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}= \sqrt{\frac{2\mu}{r}}
+\end{align}</math>
+where μ is the [[standard gravitational parameter]].
+The same result is obtained by a [[Theory of relativity|relativistic]] calculation, in which case the variable ''r'' represents the ''radial coordinate'' or ''reduced circumference'' of the [[Schwarzschild metric]].<ref>{{Cite book |last1=Taylor |first1=Edwin F. |url=https://books.google.com/books?id=y_waLQAACAAJ |title=Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity |last2=Wheeler |first2=John Archibald |last3=Bertschinger |first3=Edmund |publisher=Addison-Wesley |year=2010 |isbn=978-0-321-51286-4 |edition=2nd revised |pages=2–22}} [http://www.eftaylor.com/pub/chapter2.pdf Sample chapter, page 2-22] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170721192815/http://www.eftaylor.com/pub/chapter2.pdf |date=21 July 2017 }}</ref><ref>{{Cite book |last=Choquet-Bruhat |first=Yvonne |url=https://books.google.com/books?id=rOYwBQAAQBAJ&pg=PA116 |title=Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2015 |isbn=978-0-19-966646-1 |edition=illustrated |pages=116–117}}</ref>
-[[Четврта космичка брзина | Четвртом космичком брзином]] се назива она брзина којом морамо лансирати тело да би изашло изван наше галаксије и износи 290 км/с.
-==Једначине==
+== Једначине ==
 Да бисмо израчунали другу космичку брзину за Земљу потребно је упитати се колика би била брзина објекта који би из [[бесконачност]]и падао на Земљу. Очигледно, то је иста та брзина коју је потребно дати објекту да би се ослободио Земљине [[гравитација|гравитације]].
@@ Ред 67: / Ред 93: @@
  | [[Јупитер]] || 318,3 || 61,0 || [[Сунце]] || 333000 || 617,7
  |}
-== Референце ==
-{{reflist|30em}}
 ==Види још==
@@ Ред 75: / Ред 98: @@
 *[[Трећа космичка брзина]]
 *[[Четврта космичка брзина]]
+== Напомене ==
+<references group="nb" />
+== Референце ==
+{{reflist|30em}}
+== Литература ==
+{{refbegin|30em}}
+* Forest R. Moulton, ''Introduction to Celestial Mechanics'', 1984, Dover, {{ISBN|0-486-64687-4}}
+* John E. Prussing, Bruce A. Conway, ''Orbital Mechanics'', 1993, Oxford Univ. Press
+* William M. Smart, ''Celestial Mechanics'', 1961, John Wiley.
+* {{ Citation | last = Doggett | first = LeRoy E. | editor-last = Lankford | editor-first = John | date = 1997 | title = History of Astronomy: An Encyclopedia | chapter = Celestial Mechanics | publisher = Taylor & Francis | place = New York | pages = 131–140 | isbn = 9780815303220 | url = https://books.google.com/books?id=fIzMMe3VczkC }}
+* J.M.A. Danby, ''Fundamentals of Celestial Mechanics'', 1992, Willmann-Bell
+* Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, ''Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets'', 2007, Springer-Praxis, {{ISBN|0-387-30777-X}}.
+* Michael Efroimsky. 2005. ''Gauge Freedom in Orbital Mechanics.'' [https://archive.today/2013.01.05-074903/http://www3.interscience.wiley.com/journal/118692589/abstract?CRETRY=1&SRETRY=0 Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 1065, pp. 346-374]
+* Alessandra Celletti, ''Stability and Chaos in Celestial Mechanics.'' Springer-Praxis 2010, XVI, 264 p., Hardcover {{ISBN|978-3-540-85145-5}}
+* [http://www.scholarpedia.org/article/Encyclopedia:Celestial_mechanics Encyclopedia:Celestial mechanics] [[Scholarpedia]] Expert articles
+* {{Citation | last = Calvert | first = James B. | date = 2003-03-28 | url = http://www.du.edu/~jcalvert/phys/orbits.htm | title = Celestial Mechanics | publisher = University of Denver | access-date = 2006-08-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20060907120741/http://www.du.edu/~jcalvert/phys/orbits.htm | archive-date = 2006-09-07 | url-status = dead }}
+{{refend}}
+== Спољашње везе ==
+{{Commons category|Escape velocity}}
+* [http://www.fxsolver.com/solve/share/GY3Qhzwd9hbCT-w6XDijwg==/ Escape velocity calculator]
+* [http://www.calctool.org/CALC/phys/astronomy/escape_velocity Web-based numerical escape velocity calculator]
 {{нормативна контрола}}