Gravitaciona konstanta

Oznake za gravitacionu konstantu

Vrednosti G	Jedinice
6989667430000000000♠6,67430(15)×10−11	m3⋅kg–1⋅s–2
6997430091000000000♠4,30091(25)×10−3	pc⋅M⊙–1⋅(km/s)2

Gravitaciona konstanta G igra ključnu ulogu u Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije.

Gravitaciona konstanta (takođe poznata kao univerzalna gravitaciona konstanta, Njutnova konstanta gravitacije ili Kavendišova gravitaciona konstanta), jedna je od prirodnih konstanti koja se pojavljuje u Njutnovom zakonu gravitacije, a i u Ajnštajnovoj opštoj teoriji relativiteta. Njutnov zakon gravitacije tvrdi da se dva masivna tela privlače silom koja srazmerna njihovim masama, a obrnuto srazmerna kvadratu njihovog međusobnog rastojanja.

$F\sim {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

Da bi ovaj zakon mogao biti upotrebljen za račun, uvodi se konstanta koja se neki put označava sa $\gamma \,$ (gama), neki put sa G, a neki put sa k. Zakon tako glasi

$F=\gamma {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

gde je

$\gamma =\left(6.67428\pm 0.0010\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{N}}\ {\mbox{m}}^{2}\ {\mbox{kg}}^{-2}\,$

koja sem numeričke vrednosti ima i dimenzije takve da povezuje silu sa desne i ostale veličine sa leve strane i obično se izražava kao N*m²/kg², mada je moguće predstaviti u osnovnim jedinicama kao m³/(kg*s²).

Ova konstanta je do sada ostala najnepreciznije izmerena fizička konstanta. Do sada su mnoge druge prirodne konstante izmerene na sedam, osam i više tačnih decimala, odnosno sa relativnom tačnošću koja se meri sa jedan na desetine miliona. Ovu konstantu još uvek nije moguće preciznije izmeriti, čak se u poslednje vreme dešavaju sukobi u naučnim krugovima oko objavljenih veličina dobijenih eksperimentalno od kojih su neki međusobno isključivi.

Savremeni zapis Njutnovog zakona koji obuhvata G uveo je tokom 1890-ih K. V. Bojz. Prvo implicitno merenje sa tačnošću od oko 1% pripisuje se Henriju Kavendišu u eksperimentu iz 1798. godine.

Definicija

Prema Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije, privlačna sila (F) između dva tačkasta tela je proporcionalna proizvodu njihovih masa (m₁ i m₂) i inverzno proporcionalna kvadratu rastojanja, r, između njih:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,.$

Konstanta proporcionalnosti, G, je gravitaciona konstanta. Kolokvijalno se gravitaciona konstanta naziva i „Veliko G“, da bi se razlikovalo od „malog g“ (g), koje je lokalno gravitaciono polje Zemlje (ekvivalentno ubrzanju slobodnog pada). Gde je M_⊕ masa Zemlje, a r_⊕ je radijus Zemlje. Te dve veličine su povezane izrazom:

g = GM_⊕/r_⊕².

Gravitaciona konstanta se pojavljuje u Ajnštajnovim jednačinama polja opšte relativnosti,

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,$

gde je G_μν Ajnštajnov tenzor, Λ je kosmološka konstanta, g_μν je metrički tenzor, T_μν je tenzor napona i energije, a κ je konstanta koju je prvobitno uveo Ajnštajn i koja je direktno povezana sa Njutnovom konstantom gravitacije:

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{2}}}$ ≈ 6974186600000000000♠1,866×10⁻²⁶ m⋅kg⁻¹.

Interpretacije veličine gravitacione konstante

Sama veličina konstante je izuzetno mala i interpretacija zakona gravitacije u svakodnevnoj situaciji je da se dva tela mase 1 kg na rastojanju od 1 metra privlače silom od 6.67*10^-11 njutna. Ova veličina je izuzetno mala i veoma je teško merljiva precizno. Odavde je jasna priroda problema merenja ove konstante.

Koliko je vrednost gravitacione konstante mala i koliko ona utiče na odnose sila u prirodi govori podatak da je privlačna sila protona i elektrona koja potiče od njihovog naelektrisanja (elektromagnetna sila) za 39 redova veličina veća od gravitacione sile (znači 10³⁹ puta). Ovo je razlog zašto je gravitaciona sila primetna među masivnim telima u vasioni, ali tek u makrorazmerama.

Dimenzije, jedinice, i magnituda

Dimenzije pripisane gravitacijskoj konstanti u gornjoj jednačini - udaljenost na kub, podeljena sa masom i vremenom na kvadrat (u SI jedinicama, metar na kub po kilogramu po sekundi na kvadrat) - su one dimenzije potrebne da se izjednače jedinice upotrebljene u gravitacijskim jednačinama. Međutim, ove dimenzije imaju fundamentalnu važnost u smislu Plankovih jedinica: kada je izražena u SI jedinicama, gravitaciona konstanta je dimenzijski i numerički jednaka Plankovoj dužini na kub podeljenoj sa Plankovom masom i kvadratom Plankovog vremena. U prirodnim jedinicama, od kojih su Plackove jedinice verovatno najbolji primer, G i ostale fizičke konstante kao c (brzina svetlosti) mogu biti postavljene kao 1.

U mnogim školama, dimenzije G-a su izvedene iz sile zbog lakšeg razumevanja:

$G\approx 6,\!674\times 10^{-11}{\rm {\ N}}\,{\rm {(m/kg)^{2}}}.$

U CGS-u, G se može napisati kao:

$G\approx 6,\!674\times 10^{-8}{\rm {\ cm}}^{3}{\rm {g}}^{-1}{\rm {s}}^{-2}.$

G takođe može biti dan kao:

$G\approx 0,\!8650{\rm {\ cm}}^{3}{\rm {g}}^{-1}{\rm {h}}^{-2}.$

S obzirom da period P objekta u kružnoj orbiti oko sfernog objekta poštuje

$GM=3\pi V/P^{2}$

gde je V zapremina unutar poluprečnika orbite, vidi se da

$P^{2}={\frac {3\pi }{G}}{\frac {V}{M}}\approx 10,\!896{\rm {\ h}}^{2}{\rm {g\ }}{\rm {cm}}^{-3}{\frac {V}{M}}.$

Ovaj način izražavanja G-a prikazuje vezu između prosečne gustine planeta i perioda satelita koji kruži neposredno iznad njene površine. U nekim poljima astrofizike gde se udaljenosti mere u parsecima (pc), brzine u kilometrima po sekundi (km/s) i mase u sunčevim jedinicama ($M_{\odot }$), korisno je izraziti G kao:

$G\approx 4,\!3\times 10^{-3}{\rm {\ pc}}\,M_{\odot }^{-1}\,{\rm {(km/s)}}^{2}.\,$

Sila gravitacije je ekstremno slaba u poređenju sa ostalim fundamentalnim silama. Na primer, sila gravitacije između elektrona i protona udaljenih 1 metar je otprilike 10^-67 njutna, dok je elektromagnetna sila između istih čestica 10^-28 njutna. Obe ove sile su slabe u poređenju sa silama koje se mogu direktno doživeti, ali elektromagnetna sila u ovom primeru je oko 39 redova veličine (npr. 10³⁹) veća od sile gravitacije - otprilike sličan odnos kao masa sunca u poređenju sa masom mikrograma.

Istorija

Njutn je 1686. godine predstavio svoj zakon gravitacije navodeći da postoji srazmera sile sa masama i obrnuta srazmera sa kvadratom rastojanja, ali ne navodeći vrednost konstante srazmere niti je to kasnije uradio. Zakon se koristio za uspostavljanje odnosa među veličinama, a ne za davanje numeričkih rezultata.

Prvo merenje je obavio Kevendiš 1798. godine, kada je dobio vrednost sa tačnošću 1%. Kada su ga pitali šta to meri, on je odgovorio „Merim masu Zemlje“. Stvarno, poznavanjem Zemljinog ubrzanja, prečnika Zemlje i gravitacione konstante moguće je odrediti masu Zemlje.

Posle je još mnogo puta merena ova konstanta ali se metoda retko menjala. U pitanju je bila torziona vaga sa optičkim očitavanjem uvrtanja vlakna koji je nosio dve kugle. Tek u poslednje vreme postoje drugačija merenja, ali su i rezultati i dalje ispod željene preciznosti.

GM proizvod

Vrednost GM-umnožak gravitacione konstante i mase datog astronomskog tela kao što su Sunce ili Zemlja, poznat je kao standardni gravitacioni parametar i označen sa $\scriptstyle \mu \!$. Zavisno od posmatranog tela, može se takođe zvati geocentrična ili heliocentrična gravitaciona konstanta, između ostalih imena.

Ova vrednost daje prikladnu pojednostavljenost raznih jednačina vezanih za gravitaciju. Takođe, za nebeska tela kao što su Sunce i Zemlja, vrednost produkta GM je poznatija s većom preciznošću nego svaki faktor pojedinačno. Zaista, ograničena preciznost za G često ograničava preciznost naučne determiniranosti takvih masa u početku.

Za Zemlju, korištenje M_⊕ kao simbola za masu Zemlje, važi

$\mu =GM_{\oplus }=(398600,\!4418\pm 0,\!0008)\ {\mbox{km}}^{3}\ {\mbox{s}}^{-2}.$

Proračuni u nebeskoj mehanici mogu takođe biti sprovedeni koristeći jedinicu solarne mase radije nego standardnu SI jedinicu kilogram. U ovom slučaju koristi se Gausova gravitaciona konstanta koja je k², gde je:

${k=0,\!01720209895\ A^{\frac {3}{2}}\ D^{-1}\ S^{-{\frac {1}{2}}}}\$

i

$A$ je astronomska jedinica;

$D$ je srednji sunčev dan;

$S$ je Sunčeva masa.

Ako se umesto srednjeg Sunčevog dana koristi siderička godina kao jedinica za vreme, vrednost k je jako blizu 2π (k = 6,283 15).

Standardni gravitacioni parametar GM pojavljuje se kao gore u Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije, kao takođe i u jednačinama za skretanje svetlosti predviđeno gravitacionim sočivima, u Keplerovim zakonima o kretanju planeta i u jednačini za brzinu oslobađanja.

Vidi još

• Kevendišov ogled
• Ubrzanje zemljine teže

Literatura

• Standish., E. Myles (1995). „Report of the IAU WGAS Sub-group on Numerical Standards”. Ur.: Appenzeller, I. Highlights of Astronomy. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.  (Complete report available online: PostScript Arhivirano na sajtu Wayback Machine (8. februar 2006); PDF Arhivirano na sajtu Wayback Machine (7. septembar 2012). Tables from the report also available: Astrodynamic Constants and Parameters)
• Gundlach, Jens H.; Merkowitz, Stephen M. (2000). „Measurement of Newton's Constant Using a Torsion Balance with Angular Acceleration Feedback”. Physical Review Letters. 85 (14): 2869—2872. Bibcode:2000PhRvL..85.2869G. PMID 11005956. S2CID 15206636. arXiv:gr-qc/0006043 . doi:10.1103/PhysRevLett.85.2869. 

Spoljašnje veze

• Newtonian constant of gravitation G at the National Institute of Standards and Technology References on Constants, Units, and Uncertainty
• The Controversy over Newton's Gravitational Constant — additional commentary on measurement problems