Diskretna vremenska Furijeova transformacija

U matematici, diskretna Furijeova transformacija ( DTFT ) je oblik Furijeove analize koji je primenljiv na niz vrednosti.

DTFT se često koristi za analizu uzoraka kontinuirane funkcije. Izraz diskretno vreme odnosi se na činjenicu da transformacija deluje na diskretne podatke, često uzorke čiji interval ima jedinice vremena. Iz jednoliko raspoređenih uzoraka nastaje funkcija frekvencije koja je periodična sumacija kontinuirane Furijeove transformacije izvorne kontinuirane funkcije. Pod određenim teorijskim uslovima, opisanim teoremom uzorkovanja, originalna kontinuirana funkcija može se savršeno ukloniti iz DTFT-a, a time i iz originalnih diskretnih uzoraka. Sam DTFT je kontinuirana funkcija frekvencije, ali se njeni diskretni uzorci mogu lako izračunati pomoću diskretne Furijeove transformacije (vidi #Sampling the DTFT § Notes ), što je daleko najčešća metoda moderne Furijeove analize.

Obe transformacije su invertibilne. Inverzni DTFT je originalni uzorkovani niz podataka. Inverzni DFT je periodična sumacija originalne sekvence. Brza Furijeova transformacija (FFT) je algoritam za računanje jednog ciklusa DFT-a, a njegov inverzni proizvodi jedan ciklus inverznog DFT-a.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Diskretna Furijeova transformacija diskretnog skupa stvarnih ili složenih brojeva $x [n]$ , za sve cele brojeve $n$ , je Furijeov niz, koji proizvodi periodičnu funkciju frekvencijske promenljive. Kada varijabla frekvencije, ω, ima normalizovane jedinice radijana/uzorka, periodičnost je $2π$ , a Furijeov niz je:

$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$

(izraz 1)

Korisnost ove funkcije frekvencijske domene nalazi se u Puasonovoj zbirnoj formuli . Neka je $X (f)$ Furijeova transformacija bilo koje funkcije, $x (t)$ , čiji su uzorci u nekom intervalu $T$ (sekundi) jednaki (ili proporcionalni) s $x [n]$ sekvencom, tj. $T \cdot x (nT) = x [n]$ . Tada je periodična funkcija predstavljena Furijeovim nizom periodična sumacija $X (f)$ u pogledu frekvencije $f$ u hercima (ciklusi/sek):

$X_{1/T}(f)=X_{2\pi }(2\pi fT)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn}\;{\stackrel {\mathrm {Poisson\;f.} }{=}}\;\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).$

(izraz 2)

Celi broj $k$ ima jedinice ciklusa/uzoraka, a $1/ T$ je stopa uzorkovanja, $f s$ (uzorci/sekundi). Dakle, $X 1/ T (f)$ sadrži tačne kopije $X (f)$ koje su pomerene umnošcima $f s$ herca i kombinovane sabiranjem. Za dovoljno velike $f s$ , $k = 0$ može se primetiti u regionu $[- f s /2, f s /2]$ sa malim ili nikakvim izobličenjem ( alijasing ) od ostalih termina. Na slici 1, krajnosti raspodele u gornjem levom uglu su maskirane podzemnim delovanjem u periodičnom sabiranju (donji levi).

Takođe primetimo da je $e - i2πfTn$ Furijeova transformacija $δ (t - nT)$ . Stoga, alternativna definicija DTFT je: ^[A]

$X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}$

(izraz 3)

Modulirana funkcija Dirakove povorke impulsa je matematička apstrakcija koja se ponekad naziva i impulsno uzorkovanje . ^[1]

Inverzna transformacija[uredi | uredi izvor]

Operacija koja oporavlja diskretnu sekvencu podataka iz DTFT funkcije naziva se inverzni DTFT . Na primer, inverzna kontinuirana Furijeova transformacija sa obe strane izraza 3 proizvodi sekvencu u obliku modulisane funkcije Dirakove povorke impulsa:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.

Međutim, primećujući da je $X 1/ T (f)$ periodičan, sve potrebne informacije sadrže se u bilo kojem intervalu dužine $1/ T$ . I u izrazu 1 i izrazu 2 su sume preko n Furijeov niz, sa koeficijentima $x [n]$ . Standardne formule za Furijeove koeficijente su takođe inverzne transformacije:

${\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(интеграл за сваки интервал дужине }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(интеграл за сваки интервал дужине }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}$

(izraz 4)

Periodični podaci[uredi | uredi izvor]

Kada je niz ulaznih podataka $x [n]$ $N$ , izraz 2 se može računski svesti na diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT), jer:

Sve dostupne informacije nalaze se unutar $N$ uzoraka.
$X 1/ T (f)$ se svugde konvertuje u nulu, osim kod celih brojeva $1/(NT)$ , poznatih kao harmonične frekvencije.
DTFT je periodičan, tako da je maksimalni broj jedinstvenih harmonskih amplituda $(1/ T) / (1/(NT)) = N$

Kernel $x [n] e - i2πfTn$ je $N$ periodičan na harmonskim frekvencijama, $f = k /(NT)$ . Uvodimo notaciju $\sum _{N}$ da bi predstavili sumu bilo koje $n$ posledice dužine $N$ , možemo napisati :

{\begin{aligned}X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{N}x[n-mN]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}(n-mN)}\right)\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{N}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)=T\underbrace {\left(\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)} _{X[k]\quad {\text{(DFT)}}}\cdot \left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }1\right).\end{aligned}}

Zbog toga se DTFT razilazi s harmonijskim frekvencijama, ali različitim brzinama zavisnim od frekvencije. Te stope daje DFT jednog ciklusa $x [n]$ sekvence. U pogledu funkcije za Dirakove povorke impulsa, ovo je predstavljeno sa :

X_{1/T}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(T\cdot X[k])\ \cdot \ {\frac {1}{NT}}\delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right)=\underbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\ \cdot \ \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right)} _{\text{DTFT of a periodic sequence}}.

^[B]^[V]

Uzorkovanje DTFT-a[uredi | uredi izvor]

Kada je DTFT kontinualan, uobičajena je praksa da se izračuna proizvoljni broj uzoraka ( $N$ ) u jednom ciklusu periodične funkcije $X 1/ T$ :

{\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{DFT}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}

gde $x_{_{N}}$ je periodična sumacija :

x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].

Sekvenca $x_{_{N}}$ je inverzni DFT. Stoga, naše uzorkovanje DTFT-a uzrokuje da inverzna transformacija postane periodična. Niz $| X k | 2$ vrednosti su poznate kao periodogram, a parametar $N$ se naziva NFFT u istoimenoj Matlab funkciji. ^[2]

Da bi se ocenio jedan ciklus $x_{_{N}}$ numerički, potreban nam je niz $x [n]$ konačne dužine. Na primer, dugačak niz može biti skraćen funkcijom prozora dužine $L$ što rezultira u tri slučaja vredna posebne spomena. Radi notativne jednostavnosti, razmotrite vrednosti $x [n]$ tako da predstavljaju vrednosti modifikovane funkcijom prozora.

Slučaj: Dekimacija frekvencije. $L = N \cdot I$ , za neki celi broj $I$ (obično 6 ili 8)

Ciklus od $x_{_{N}}$ svodi se na sumu $I$ blokova dužine $N$ ili kružni dodatak . ^[G] DFT tada ide pod različitim imenima, kao što su :

FFT prozora ^[3]
Težina, preklapanje, dodavanje (VOLA) ^[4] ^[5] ^[D]
polifazni FFT ^[6]
višefazni filterski filter ^[7]
višestruko blokiranje prozora i vremensko podimanje . ^[8]

Valja se podsetiti da desetkovanje (decimacija) uzorkovanih podataka u jednoj oblasti (u vremenskom ili frekventnom) proizvodi preklapanje (poznati i kao alijasing ), u drugom i obrnuto. U poređenju sa DFT dužinom $L$ dužina $x_{_{N}}$ zbrajanje/preklapanje uzrokuje desetkovanje u učestalosti, ostavljajući samo DTFT uzorke najmanje pod uticajem spektralnog curenja . To je obično prioritet pri implementaciji FFT banke filtera (kanalizatora). S konvencionalnom funkcijom prozora dužine $L$ , gubitak ljuštenja bi bio neprihvatljiv. Tako se multi-blok prozori stvaraju pomoću alata za dizajn FIR filtera . ^[9] ^[10] Njihov profil frekvencije je ravan u najvišoj tački i brzo otpada u sredini između preostalih DTFT uzoraka. Što je veća vrednost parametra $I$ , to su veće potencijalne performanse.

Slučaj: $L = N +1$ , pri čemu je $N$ ujednačen

Ovaj slučaj nastaje u kontekstu dizajna funkcije Vindovsa, iz želje za realno vrednovanim koeficijentima DFT. ^[11] Kada je simetrična sekvenca povezana sa indeksima [-M ≤ n ≤ M], poznatim kao konačni prozor podataka o Furijeovoj transformaciji, njen DTFT je kontinuirana funkcija frekvencije $(f),$ je stvarno vrednovan. Kada se redosled pomeri u DFT prozoru podataka, [0 ≤ n ≤ 2M], DTFT se množi složenom faznom funkcijom: $e^{-i2\pi fM}$ . Ali kada se uzorkuje na frekvencijama $f=k/2M,$ za cele vrednosti od $k,$ svi uzorci su stvarno vrednovani. Da bismo postigli taj cilj, možemo izvršiti: $2M$ DFT dužine na periodičnom sumiranju sa 1 uzorkom preklapanja. Naime, briše se poslednji uzorak sekvence podataka i dodaje se njegova vrednost prvom uzorku. Zatim se primenjuje funkcija prozora, skraćena za 1 uzorak, i izvršava se DFT. Skraćena funkcija prozora sa jednakom dužinom ponekad se naziva i DFT-ravnom . U stvarnoj praksi ljudi najčešće koriste prozore koji se podudaraju sa DFT-om bez preklapanja podataka, jer su štetni efekti na curenje spektra zanemarljivi za duge sekvence (obično stotine uzoraka). ^[Đ]

Slika 2. DFT od $e i2πn/8$ za $L = 64$ i $N = 256$

Slika 3. DFT od $e i2πn/8$ za $L = 64$ i $N = 64$

Slučaj: Interpolacija frekvencije. $L \leq N$

U ovom slučaju, DFT pojednostavljuje poznatiji oblik:

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}.

Da bi se iskoristio algoritam brze Furijeove transformacije za računanje DFT-a, sabiranje se obično vrši preko svih $N$ termina, iako je $N - L$ nula. Stoga se slučaj $L < N$ često naziva nula-peding.

Spektralno curenje, koje se povećava kako $L$ opada, štetno utiče na neke važne metrike performansi, kao što su rezolucija komponenti više frekvencija i količina buke koja se meri u svakom uzorku DTFT. Ali te stvari nisu uvek važne, na primer kada je $x [n]$ niz sinusoida bez buke (ili konstanta), oblikovan funkcijom prozora. Tada je uobičajena praksa da se grafički prikazuju i upoređuju detaljni obrasci curenja funkcija prozora pomoću grafičkog prikazivanja nula . Da bismo to ilustrovali za pravougaoni prozor, uzmimo u obzir redosled:

x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad

i

L=64.

Slike 2 i 3 su grafikoni veličine dvaju DFT različitih veličina, kako je naznačeno na njihovim oznakama. U oba slučaja dominantna komponenta je na frekvenciji signala: $f = 1/8 = 0.125$ . Takođe je na slici 2 vidljiv dijagram spektralnog curenja pravougaonog prozora $L = 64$ . Iluzija na slici 3 rezultat je uzorkovanja DTFT-a samo na njegovim nultim prelazima. Umesto DTFT sekvence konačne dužine, ostavlja utisak beskonačno dugog sinusoidnog niza. Faktori koji doprinose iluziji su upotreba pravougaonog prozora i izbor frekvencije (1/8 = 8/64) sa tačno 8 (celih brojeva) ciklusa na 64 uzorka. Hanov prozor dao bi sličan rezultat, osim što bi se vrh proširio na 3 uzorka.

Konvolucija[uredi | uredi izvor]

Teorema konvolucije za nizove je:

x*y\ =\ \scriptstyle {\text{DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].

Važan poseban slučaj je kružna konvolucija nizova $x$ i $y$ definisanih sa $x_{_{N}}*y,$ gde $x_{_{N}}$ je periodično sumiranje. Način diskretne frekvencije $DTFT{x N$ } "bira" samo diskretne vrednosti iz kontinuirane funkcije $DTFT{y$ }, što rezultira znatnim pojednostavljivanjem inverzne transformacije. Kao što je prikazano u teoremi konvolucije, funkcije diskretnih promenljivih nizova :

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\text{DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\text{DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\text{DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\text{DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].

Za $x$ i $y$ nizove čija je nulta vrednost trajanja manja ili jednaka $N$ , konačno pojednostavljenje je:

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\text{DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\text{DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\text{DFT}}\displaystyle \{y\}\right].

Značaj ovog rezultata objašnjen je u algoritmima kružne konvolucije i brze konvolucije .

Svojstva simetrije[uredi | uredi izvor]

Kada se stvarni i zamišljeni delovi složene funkcije razgrade na njihove parne i neparne delove, postoje četiri komponente, koje dole označavaju pretplatnici RE, RO, IE i IO. Postoji i mapiranje jedan na jedan između četiri komponente složene vremenske funkcije i četiri komponente njegove složene frekventne transformacije : ^[12] ^{‍:stp. 291}

${\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}$

Iz ovoga su vidljive različite veze, na primer :

Transformacija realno vrednovane funkcije ( $x RE + x RO$ ) je ravnomerna simetrična funkcija $X RE + i X IO$ . Suprotno tome, ravnomerna simetrična transformacija podrazumeva realnu vrednost vremenske domene.
Transformacija funkcije zamišljene vrednosti ( $i x IE + i x IO$ ) je neparna simetrična funkcija $X RO + i X IE$ , a obratno je tačna.
Transformacija ravnomerne simetrične funkcije ( $x RE + i x IO$ ) je realno vrednovana funkcija $X RE + X RO$ , a obratno je tačno.
Transformacija neparne simetrične funkcije ( $x RO + i x IE$ ) je zamišljena vrednost funkcije $i X IE + i X IO$ , a obratno je tačno.

Odnos prema Z-transformaciji[uredi | uredi izvor]

$X_{2\pi }(\omega )$ je Furijeov red koja se takođe može izraziti u smislu bilateralne Z-transformacije . Na primer:

X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),

gde ${\widehat {X}}$ notacija razlikuje Z-transformaciju od Furijeove transformacije. Stoga možemo izraziti i Z-transformaciju u smislu Furijeove transformacije:

{\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}

Imajte na umu da kada se parametar $T$ promeni, uslovi $X_{2\pi }(\omega )$ ostaju stalna odvojenost od $2\pi$ , a njihova širina se povećava ili smanjuje. Uslovi $X 1/ T (f)$ ostaju stalne širine i njihovo odvajanje $1/ T$ skala se povećava ili smanjuje.

Tabela diskretnih Furijeovih transformacija[uredi | uredi izvor]

Neki uobičajeni parovi transformacija prikazani su u tabeli ispod. Sledeća nota se primenjuje:

$\omega =2\pi fT$ je stvarni broj koji predstavlja neprekidnu ugaonu frekvenciju (u radijanima po uzorku). ( $f$ je u ciklusima/sekundi, i $T$ je u sekundama/uzorku. ) U svim slučajevima u tabeli, DTFT je 2π-periodičan (u $\omega$ ).
$X_{2\pi }(\omega )$ označava funkciju definisanu na $-\infty <\omega <\infty$ .
$X_{o}(\omega )$ označava funkciju definisanu na $-\pi <\omega \leq \pi$ i nula gdegod. Onda:

X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).

$\delta (\omega )$ je Dirakova delta funkcija
$\operatorname {sinc} (t)$ je normalizovana sink funkcija
$\operatorname {rect} (t)$ je funkcija pravougaonika
$\operatorname {tri} (t)$ je funkcija trougla
$n$ je celi broj koji predstavlja domenu diskretnog vremena (u uzorcima)
$u[n]$ je funkcija koraka jedinice diskretne vremenske jedinice
$\delta [n]$ je Kronekerova delta funkcija $\delta _{n,0}$

Vremenski domen x[n]	Frekvencijski domen X_2π(ω)	Napomene	Reference
$\delta [n]$	$X_{2\pi }(\omega )=1$		^[12]^{‍:stp. 305}
$\delta [n-M]$	$X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}$	celobrojno $M$
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!$	$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ odd M $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ even M	celobrojno $M>0$
$u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$ $X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!$	$1/(1-e^{-i\omega })$ termin se mora tumačiti kao distribucija u smislu glavne vrednosti Košija oko njegovih polova na $\omega =2\pi k$ .
$a^{n}u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!$	$0<\|a\|<1$	^{‍:stp. 305}
$e^{-ian}$	$X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),$ -π < a < π $X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)$	realni broj $a$
$\cos(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],$ $X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)$	$-\pi <a<\pi$
$\sin(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]$	realni broj $a$ pri čemu je $-\pi <a<\pi$
$\operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]$	$X_{o}(\omega )={\sin[N\omega /2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!$	celobrojne vrednosti $M$ i $N$
$\operatorname {sinc} (W(n+a))$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }$	realni brojevi $W,a$ pri čemu je $0<W<1$
$\operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$	realni broj $W$ , $0<W<0.5$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{иначе}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=j\omega$	radi kao filter diferencijator
${\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$	$X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$	realni brojevi $W,a$ pri čemu je $0<W<1$
${\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\mbox{ иначе}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=\|\omega \|$
${\begin{cases}0;&n{\text{ парно}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ непарно}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$	Hilbertova transformacija
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$	$X_{o}(\omega )=$	realni brojevi $A,B$ kompleksno $C$

Svojstva[uredi | uredi izvor]

Ova tabela prikazuje neke matematičke operacije u vremenskom domenu i odgovarajuće efekte u frekvencijskom domenu.

$*\!$ je diskretna konvolucija dve sekvence
$x[n]^{*}$ je složena konjugacija $x [n]$ .

Svojstvo	Vremenski domen $x [n]$	Frekvencijski domen $X_{2\pi }(\omega )$	Napomene	e
Linearnost	$a\cdot x[n]+b\cdot y[n]$	$a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )$	complex numbers $a,b$	^[12]^{‍:stp. 294}
Vremenski preokretl / Frekvencijski preokret	$x[-n]$	$X_{2\pi }(-\omega )\!$		^{‍:stp. 297}
Vremenska konjugacija	$x[n]^{*}$	$X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!$		^{‍:stp. 291}
Vremenski preokret i konjugacija	$x[-n]^{*}$	$X_{2\pi }(\omega )^{*}\!$		^{‍:stp. 291}
Realni deo u vremenu	$\Re {(x[n])}$	${\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^{‍:stp. 291}
Imaginarni deo u vremenu	$\Im {(x[n])}$	${\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^{‍:stp. 291}
Realni deo u frekvenciji	${\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])$	$\Re {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^{‍:stp. 291}
Imaginarni deo u frekvenciji	${\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])$	$\Im {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^{‍:stp. 291}
Pomeranje u vremenu/ Modulacija u frekvenciji	$x[n-k]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}$	integer $k$	^{‍:stp. 296}
Pomeranje u frekvenciji / Modulacija u vremenu	$x[n]\cdot e^{ian}\!$	$X_{2\pi }(\omega -a)\!$	realna vrednost $a$	^{‍:stp. 300}
Decimacija	$x[nM]$	${\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!$ ^[E]	celobrojno $M$
Vremensko širenje	$\scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{умножак oд M}}\\0&{\text{иначе}}\end{cases}}$	$X_{2\pi }(M\omega )\!$	celobrojno $M$
Izvod u frekvenciji	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!$		^{‍:stp. 303}
Integracija u frekvenciji	$\!$	$\!$
Izvod po vreemenu	$x[n]-x[n-1]\!$	$\left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!$
Suma u vremenu	$\sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!$	${\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$
Konvolucija u vremenu/ Multiplikacija u frekvenciji	$x[n]*y[n]\!$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$		^{‍:stp. 297}
Multiplikacija u vremenu / Konvolucija u frekvenciji	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!$	Periodična konvolucija	^{‍:stp. 302}
Unakrsna korelacija	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{}y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$
Parsevalova teorema	$E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!$	$E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!$		^{‍:stp. 302}

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Višedimenzionalna transformacija
Zak transformacija

Napomene[uredi | uredi izvor]

^ In fact Šablon:EquationNote is often justified as follows:
${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}$
^ Substituting this expression into formula $x(nT)=\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df$ produces the correctly scaled inverse DFT for the $x (nT)$ sequence.
^ The generalized function $\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)$ is not unitless. It has the same units as $T$ .
^ Here we borrow a concept from Circular shift and Circular convolution.
^ WOLA is not to be confused with the Overlap-add method of piecewise convolution.
^ An example of the effects for short sequences can be seen at File:Comparison_of_symmetric_and_periodic_Gaussian_windows.svg, where the 9-sample symmetric sequence (green DTFT) has lower spectral leakage metrics than the 8-sample truncated sequence (blue).
^ This expression is derived as follows:
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}$

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Rao, R. (2008). Signals and Systems. Prentice-Hall Of India Pvt. Limited. ISBN 9788120338593.
^ "Periodogram power spectral density estimate - MATLAB periodogram".
^ Gumas, Charles Constantine (July 1997). "Window-presum FFT achieves high-dynamic range, resolution". Personal Engineering & Instrumentation News: 58–64. Archived from the original on 2001-02-10.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)
^ Wang, Hong; Lu, Youxin; Wang, Xuegang (16. 10. 2006). „Channelized Receiver with WOLA Filterbank”. 2006 CIE International Conference on Radar. Shanghai, China: IEEE: 1—3. ISBN 978-0-7803-9582-4. S2CID 42688070. doi:10.1109/ICR.2006.343463.
^ Lyons, Richard G. (June 2008). "DSP Tricks: Building a practical spectrum analyzer". EE Times. Note however, that it contains a link labeled weighted overlap-add structure which incorrectly goes to Overlap-add method.
^ Lillington, John. "Comparison of Wideband Channelisation Architectures" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (31. oktobar 2016). RF Engines Ltd. Retrieved 2016-10-30.
^ Chennamangalam, Jayanth (2016-10-18). "The Polyphase Filter Bank Technique". CASPER Group. Retrieved 2016-10-30.
^ Dahl, Jason F. (2003-02-06). Time Aliasing Methods of Spectrum Estimation (Ph.D.). Brigham Young University. Retrieved 2016-10-31.
^ Lin, Yuan-Pei; Vaidyanathan, P.P. (jun 1998). „A Kaiser Window Approach for the Design of Prototype Filters of Cosine Modulated Filterbanks” (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 5 (6): 132—134. Bibcode:1998ISPL....5..132L. S2CID 18159105. doi:10.1109/97.681427. Pristupljeno 16. 3. 2017.
^ cmfb.m, Caltech, Pristupljeno 16. 3. 2017
^ Harris, Fredric J. (januar 1978). „On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform” (PDF). Proceedings of the IEEE. 66 (1): 51—83. Bibcode:1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . S2CID 426548. doi:10.1109/PROC.1978.10837.
^ ^a ^b ^v Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (na jeziku: engleski) (3 izd.), New Jersey: Prentice-Hall International, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Literatura[uredi | uredi izvor]

Crochiere, R.E.; Rabiner, L.R. (1983). Multirate Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. str. 313–326. ISBN 978-0-13-605162-6.
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (1999). Discrete-Time Signal Processing (2. izd.). Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.
Porat, Boaz (1996). A Course in Digital Signal Processing. John Wiley and Sons. str. 27—29 i 104—105. ISBN 978-0-471-14961-3.
Siebert, William M. (1986). Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 9780262690959.
Lyons, Richard G. (2010). Understanding Digital Signal Processing (3. izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0137027415.

[1] In fact Šablon:EquationNote is often justified as follows:
${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}$

[3] Substituting this expression into formula $x(nT)=\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df$ produces the correctly scaled inverse DFT for the $x (nT)$ sequence.

[4] The generalized function $\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)$ is not unitless. It has the same units as $T$ .

[6] Here we borrow a concept from Circular shift and Circular convolution.

[10] WOLA is not to be confused with the Overlap-add method of piecewise convolution.

[17] An example of the effects for short sequences can be seen at File:Comparison_of_symmetric_and_periodic_Gaussian_windows.svg, where the 9-sample symmetric sequence (green DTFT) has lower spectral leakage metrics than the 8-sample truncated sequence (blue).

[19] This expression is derived as follows:
${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}$

[Rao-2] Rao, R. (2008). Signals and Systems. Prentice-Hall Of India Pvt. Limited. ISBN 9788120338593.

[Matlab-5] "Periodogram power spectral density estimate - MATLAB periodogram".

[Gumas-7] Gumas, Charles Constantine (July 1997). "Window-presum FFT achieves high-dynamic range, resolution". Personal Engineering & Instrumentation News: 58–64. Archived from the original on 2001-02-10.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)

[Wang-8] Wang, Hong; Lu, Youxin; Wang, Xuegang (16. 10. 2006). „Channelized Receiver with WOLA Filterbank”. 2006 CIE International Conference on Radar. Shanghai, China: IEEE: 1—3. ISBN 978-0-7803-9582-4. S2CID 42688070. doi:10.1109/ICR.2006.343463.

[Lyons-9] Lyons, Richard G. (June 2008). "DSP Tricks: Building a practical spectrum analyzer". EE Times. Note however, that it contains a link labeled weighted overlap-add structure which incorrectly goes to Overlap-add method.

[Lillington-11] Lillington, John. "Comparison of Wideband Channelisation Architectures" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (31. oktobar 2016). RF Engines Ltd. Retrieved 2016-10-30.

[Chennamangalam-12] Chennamangalam, Jayanth (2016-10-18). "The Polyphase Filter Bank Technique". CASPER Group. Retrieved 2016-10-30.

[Dahl-13] Dahl, Jason F. (2003-02-06). Time Aliasing Methods of Spectrum Estimation (Ph.D.). Brigham Young University. Retrieved 2016-10-31.

[14] Lin, Yuan-Pei; Vaidyanathan, P.P. (jun 1998). „A Kaiser Window Approach for the Design of Prototype Filters of Cosine Modulated Filterbanks” (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 5 (6): 132—134. Bibcode:1998ISPL....5..132L. S2CID 18159105. doi:10.1109/97.681427. Pristupljeno 16. 3. 2017.

[15] cmfb.m, Caltech, Pristupljeno 16. 3. 2017

[16] Harris, Fredric J. (januar 1978). „On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform” (PDF). Proceedings of the IEEE. 66 (1): 51—83. Bibcode:1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . S2CID 426548. doi:10.1109/PROC.1978.10837.

[ProakisManolakis-18] v Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (na jeziku: engleski) (3 izd.), New Jersey: Prentice-Hall International, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

[A]

[1]

[B]

[V]

[2]

[G]

[3]

[4]

[5]

[D]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[Đ]

[12]

[E]