Laplasova jednačina

Pjer Simon Laplas

Laplasova jednačina je eliptička parcijalna diferencijalna jednačina drugoga reda oblika:

$\qquad \nabla ^{2}\varphi =0$ ili

$$\Delta f=0,$$

gde je $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ je Laplasov operator, $\nabla \cdot$ je operator divergencije (takođe simbolizovan „div”), $\nabla$ je gradijent operator (takođe simbolizovan sa „grad”), a $f(x,y,z)$ je dvostruko diferencibilna realno-vrednosna funkcija. Laplasov operator stoga preslikava jednu skalarnu funkciju u drugu skalarnu funkciju. Rešenja Laplasove jednačine su harmoničke funkcije. Laplasova jednačina je značajna u matematici, elektromagnetizmu, astronomiji i dinamici fluida.

Ako je desna strana navedena kao data funkcija, $h(x,y,z)$, važi

$$\Delta f=h.$$

Ovo se zove Poasonovova jednačina, generalizacija Laplasove jednačine. Laplasova jednačina i Poasonova jednačina su najjednostavniji primeri eliptičkih parcijalnih diferencijalnih jednačina. Laplasova jednačina je takođe poseban slučaj Helmholcove jednačine.

Opšta teorija rešenja Laplasove jednačine poznata je kao teorija potencijala. Rešenja Laplasove jednačine koja se dvaput kontinuirano mogu razlikovati su harmonijske funkcije, koje su važne u više grana fizike, posebno u elektrostatici, gravitaciji i dinamici fluida. U proučavanju provodljivosti toplote, Laplasova jednačina je jednačina toplote u stabilnom stanju. Uopšteno govoreći, Laplasova jednačina opisuje situacije ravnoteže, ili one koje ne zavise eksplicitno od vremena.

Definicija

U tri demenzije Laplasiva jednačina može da se prikaže u različitim koordinatnim sistemima. U kartezijevom koordinatnom sistemu je oblika:

$\Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$

U cilindričnom koordinatnom sistemu je:

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0$

U sfernom koordinatnom sistemu je:

$\Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.$

U zakrivljenom koordinatnom sistemu je:

$\Delta f={\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\partial f \over \partial \xi ^{k}}g^{ki}\right)\!+\!{\partial f \over \partial \xi ^{j}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$

ilir

$\Delta f={1 \over {\sqrt {|g|}}}{\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi ^{j}}\right)=0,\quad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\}).$

Dvodimenzionalni sistem

U polarnom koordinatnom dvodimenzionalnom sistemu je oblika:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}}=0$

U dvodimenzionalnom kartezijevom sistemu je:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Analitičke funkcije

Realni i imaginarni delovi kompleksne analitičke funkcije zadovoljavaju Laplasovu jednačinu. To jest, ako je z = x + iy, i ako

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$

onda je neophodan uslov da f(z) bude analitičan da u i v budu diferencijabilni i da su zadovoljene Koši-Rimanove jednačine:

$$u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.$$

gde je u_x prvi delimični izvod od u u odnosu na x. Sledi da

$$u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.$$

Stoga u zadovoljava Laplasovu jednačinu. Sličan proračun pokazuje da v takođe zadovoljava Laplasovu jednačinu. Obrnuto, ako je data harmonijska funkcija, ona je pravi deo analitičke funkcije, f(z) (barem lokalno). Ako je probni obrazac

$$f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),$$

onda će Koši-Rimanove jednačine biti zadovoljene ako postavimo

$$\psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.$$

Ova relacija ne određuje ψ, već samo njegove priraštaje:

$$d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.$$

Laplasova jednačina za φ implicira da je uslov integrabilnosti za ψ zadovoljen:

$$\psi _{xy}=\psi _{yx},$$

i stoga ψ može biti definisan linijskim integralom. Uslov integrabilnosti i Stoksova teorema impliciraju da je vrednost linijskog integrala koji povezuje dve tačke nezavisna od putanje. Dobijeni par rešenja Laplasove jednačine naziva se konjugovana harmonijska funkcija. Ova konstrukcija je važeća samo lokalno, ili pod uslovom da se putanja ne vrti oko singulariteta. Na primer, ako su r i θ polarne koordinate i

$$\varphi =\log r,$$

onda je odgovarajuća analitička funkcija

$$f(z)=\log z=\log r+i\theta .$$

Međutim, ugao θ je jednoznačan samo u oblasti koja ne obuhvata početak.

Bliska veza između Laplasove jednačine i analitičkih funkcija implicira da svako rešenje Laplasove jednačine ima derivate svih redova, i da se može proširiti u niz stepena, barem unutar kruga koji ne obuhvata singularitet. Ovo je u oštroj suprotnosti sa rešenjima talasne jednačine, koja generalno imaju manju regularnost.

Postoji intimna veza između nizova snaga i Furijeove serije. Ako proširimo funkciju f u niz stepena unutar kruga poluprečnika R, to znači da

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},$$

sa prikladno definisanim koeficijentima čiji su realni i imaginarni delovi dati po

$$c_{n}=a_{n}+ib_{n}.$$

Stoga

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],$$

što je Furijeov red za f. Ove trigonometrijske funkcije se same mogu proširiti, koristeći formule za više uglova.

Tok tečnosti

Glavni članak: Laplasova jednačina za irotaciono strujanje

Neka su veličine u i v horizontalne i vertikalne komponente polja brzina stabilnog nestišljivog, nerotacionog strujanja u dve dimenzije. Uslov kontinuiteta za nestišljivo strujanje je da

$$u_{x}+v_{y}=0,$$

a uslov da tok bude nerotacioni je da

$$\nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.$$

Ako se diferencijal funkcije ψ definiše pomoću

$$d\psi =v\,dx-u\,dy,$$

onda je uslov kontinuiteta uslov integrabilnosti za ovaj diferencijal: rezultujuća funkcija se naziva funkcija toka jer je konstantna duž linija toka. Prvi derivati od ψ su dati sa

$$\psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,$$

a uslov irotacije implicira da ψ zadovoljava Laplasovu jednačinu. Harmoniska funkcija φ koja je konjugirana sa ψ naziva se potencijal brzine. Koši-Rimanove jednačine impliciraju da

$$\varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.$$

Tako svaka analitička funkcija odgovara stalnom nestišljivom, nerotacionom, neviskoznom toku fluida u ravni. Realni deo je potencijal brzine, a imaginarni deo je funkcija strujanja.

Elektrostatika

Prema Maksvelovim jednačinama, električno polje (u, v) u dve prostorne dimenzije koje je nezavisno od vremena zadovoljava

$$\nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,$$

i

$$\nabla \cdot (u,v)=\rho ,$$

gde je ρ gustina naelektrisanja. Prva Maksvelova jednačina je uslov integrabilnosti za diferencijal

$$d\varphi =-u\,dx-v\,dy,$$

te se električni potencijal φ može konstruisati da zadovolji

$$\varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.$$

Druga od Maksvelovih jednačina onda to implicira

$$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,$$

što je Poasonova jednačina. Laplasova jednačina se može koristiti u trodimenzionalnim problemima u elektrostatici i strujanju fluida isto kao u dve dimenzije.

Grinova funkcija

Laplasova jednačina se često rešava uz pomoć Grinove funkcije i Grinova teorema:

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}.$

Definicija Grinove funkcije je:

$\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x').$

Uvrstimo u Grinov teorem $\psi =G$ pa dobijamo:

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.\end{aligned}}$

Sada možemo da rešimo Laplasovu jednačinu $\nabla ^{2}\phi (x)=0$ u slučaju Nojmanovih ili Dirihleovih rubnih uslova. Uzimajući u obzir:

$\int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}=\phi (x)$

pa se jednačina svodi na:

$\phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.$

Kada nema rubnih uslova Grinova funkcija je:

$G(x,x')={\dfrac {1}{|x-x'|}}.$

U tri dimenzije

Fundamentalno rešenje

Osnovno rešenje Laplasove jednačine zadovoljava

$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),$$

gde Dirakova delta funkcija δ označava jedinični izvor koncentrisan u tački (x′, y′, z′). Nijedna funkcija nema ovo svojstvo: zapravo to je raspodela, a ne funkcija; ali se može smatrati granicom funkcija čiji su integrali nad prostorom jedinica, i čija se podrška (oblast gde je funkcija različita od nule) smanjuje do tačke (pogledajte slabo rešenje). Uobičajeno je da se za ovu jednačinu uzme drugačija konvencija predznaka nego što se obično radi kada se definišu osnovna rešenja. Ovaj izbor znaka je često pogodan za rad jer je −Δ pozitivan operator. Definicija osnovnog rešenja stoga implicira da, ako se Laplasijan od u integriše preko bilo koje zapremine koja obuhvata izvornu tačku, onda

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.$$

Laplasova jednačina je nepromenjena pod rotacijom koordinata, i stoga se može očekivati da se fundamentalno rešenje može dobiti među rešenjima koja zavise samo od udaljenosti r od izvorne tačke. Ako se izabere da zapremina bude lopta poluprečnika a oko tačke izvora, onda Gausova teorema divergencije implicira da

$$-1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.$$

Sledi da

$${\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},$$

na sferi poluprečnika r koja je centrirana na tački izvora, a samim tim

$$u={\frac {1}{4\pi r}}.$$

Treba imati na umu da je, uz konvenciju suprotnog znaka (koja se koristi u fizici), ovo potencijal koji generiše tačkasta čestica, za silu inverznog kvadrata, koja nastaje u rešenju Poasonove jednačine. Sličan argument pokazuje da u dve dimenzije

$$u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.$$

gde log(r) označava prirodni logaritam. Treba imati na umu da je, uz konvenciju suprotnog predznaka, ovo potencijal koji generiše tačkasti ponor (pogledajte tačkastu česticu), što je rešenje Ojlerovih jednačina u dvodimenzionalnom nestišljivom toku.

Literatura

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York:. . McGraw-Hill. 1953. ISBN 978-0-07-043316-8. 
• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9. 
• Petrovsky, I. G. (1967). Partial Differential Equations. Philadelphia: W. B. Saunders. 
• Polyanin, A. D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2. 
• Sommerfeld, A. (1949). Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. 
• Zachmanoglou, E. C. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications. New York: Dover. 
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• Feynman, R.; Leighton, R; Sands, M. (1970), „Chapter 12: Electrostatic Analogs”, The Feynman Lectures on Physics, 2, Addison-Wesley-Longman 
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 .
• Schey, H. M. (1996), Div, Grad, Curl, and All That, W. W. Norton, ISBN 978-0-393-96997-9 .

Spoljašnje veze

• Laplasova jednačina