Skjunis

Primer pozitivnog skjunisa.

U teoriji verovatnoće i statistici, skjunis je mera asimetrije distribucije verovatnoće slučajne varijable realne vrednosti u odnosu na njenu srednju vrednost. Vrednost skjunisa može biti pozitivna, nulta, negativna ili nedefinisana.

Za unimodalnu distribuciju, negativna kosina obično ukazuje da je rep na levoj strani distribucije, a pozitivna kosina označava da je rep na desnoj strani. U slučajevima kada je jedan rep dugačak, ali je drugi rep debeo, iskrivljenost ne poštuje jednostavno pravilo. Na primer, nulta vrednost znači da su repovi sa obe strane srednje vrednosti u ravnoteži u celini; ovo je slučaj za simetričnu distribuciju, ali može važiti i za asimetričnu distribuciju gde je jedan rep dugačak i tanak, a drugi kratak, ali debeo.

Uvod

Razmotrite dve distribucije na slici ispod. Unutar svakog grafikona, vrednosti na desnoj strani distribucije se sužavaju drugačije od vrednosti na levoj strani. Ove sužene strane se nazivaju repovi i obezbeđuju vizuelno sredstvo za određivanje koje od dve vrste iskrivljenosti raspodela ima:

• negativni skjunis: levi rep je duži; masa raspodele je koncentrisana na desnoj strani slike. Za distribuciju se kaže da je ulevo zakrivljena, levorepa ili nagnuta ulevo, uprkos činjenici da se sama kriva čini da je nagnuta ili je nagnuta udesno; levo se umesto toga odnosi na levi rep koji se izvlači i, često, srednja vrednost je nagnuta levo od tipičnog centra podataka. Distribucija ulevo nagnuta obično se pojavljuje kao kriva nagnuta udesno.
• pozitivni skjunis: desni rep je duži; masa raspodele je koncentrisana na levoj strani slike. Za distribuciju se kaže da je zakrivljena udesno, desno ili nagnuta udesno, uprkos činjenici da je sama kriva nagnuta ulevo; desno se umesto toga odnosi na desni rep koji se izvlači i, često, srednja vrednost je nagnuta udesno od tipičnog centra podataka. Desno nagnuta distribucija se obično pojavljuje kao kriva nagnuta ulevo.

Negativni (ulevo) i pozitivni (udesno) skjunis.

Skjunis u nizu podataka se ponekad može posmatrati ne samo grafički već jednostavnom inspekcijom vrednosti. Na primer, razmotrite numerički niz (49, 50, 51), čije su vrednosti ravnomerno raspoređene oko centralne vrednosti od 50. Ovu sekvencu možemo transformisati u negativno iskrivljenu distribuciju dodavanjem vrednosti daleko ispod srednje vrednosti, što je verovatno negativan autlajer, npr. (40, 49, 50, 51). Prema tome, srednja vrednost niza postaje 47,5, a medijana je 49,5. Zasnovano na formuli neparametarskog skjunisa, definisane kao $(\mu -\nu )/\sigma ,$ skjunis je negativan. Slično tome, možemo učiniti da sekvenca bude pozitivno iskrivljena dodavanjem vrednosti daleko iznad srednje vrednosti, što je verovatno pozitivan izlaz, npr. (49, 50, 51, 60), gde je srednja vrednost 52,5, a medijana 50,5.

Kao što je ranije pomenuto, unimodalna distribucija sa nultom vrednošću asimetrije ne znači da je ova distribucija nužno simetrična. Međutim, simetrična unimodalna ili multimodalna distribucija uvek ima nulti skjunis.

Odnos sredine i medijane

Primer asimetrične distribucije sa nultom asimetrijom. Ova cifra služi kao kontraprimer da nulta kosina ne implicira nužno simetričnu distribuciju. (Kosina je izračunata Pirsonovim momentnim koeficijentom zakrivljenosti.)

Skjunis nije direktno povezan sa odnosom između srednje vrednosti i medijane: distribucija sa negativnim iskrivljenjem može imati srednju vrednost veću ili manju od medijane, a isto tako i za pozitivan skjunis.

U starijem pojmu neparametarske iskrivljenosti, definisanom kao $(\mu -\nu )/\sigma ,$ gde je $\mu$srednja vrednost, $\nu$ je medijana, $\sigma$ je standardna devijacija, asimetrija je definisana u smislu ovog odnosa: pozitivna/desna neparametarska skjunis znači da je srednja vrednost veća od (udesno od) medijane, dok negativna/leva neparametarska iskrivljenost znači da je srednja vrednost manja od (levo od) medijane. Međutim, moderna definicija iskrivljenosti i tradicionalna neparametrijska definicija nemaju uvek isti predznak: iako se slažu za neke porodice distribucija, one se razlikuju u nekim slučajevima, a njihovo mešanje je pogrešno.

Ako je raspodela simetrična, onda je srednja vrednost jednaka medijani, a raspodela ima nultu asimetriju. Ako je distribucija i simetrična i unimodalna, onda je srednja vrednost = medijana = mod. Ovo je slučaj bacanja novčića ili serije 1,2,3,4,... Imajte na umu, međutim, da suprotno uopšte nije tačno, tj. nulti skjunis (definisana u nastavku) ne znači da je srednja vrednost jednaka do medijane.

Članak iz časopisa iz 2005. ističe:

„ Mnogi udžbenici podučavaju pravilo koje navodi da je srednja vrednost desno od medijane ispod desne kosine, a levo od medijane ispod levog nagiba. Ovo pravilo ne uspeva sa iznenađujućom učestalošću. Može da propadne u multimodalnim distribucijama, ili u distribucijama gde je jedan rep dugačak, ali je drugi debeo. Međutim, najčešće pravilo ne uspeva u diskretnim distribucijama gde oblasti levo i desno od medijane nisu jednake. Takve distribucije ne samo da su u suprotnosti sa udžbeničkim odnosom između srednje vrednosti, medijane i nagiba, već su i u suprotnosti sa udžbeničkom interpretacijom medijane. ”

Na primer, u distribuciji odraslih stanovnika u američkim domaćinstvima, nagnutost je udesno. Međutim, pošto je većina slučajeva manja ili jednaka modusu, koji je takođe medijana, srednja vrednost se nalazi u težem levom repu. Kao rezultat toga, pravilo da je srednja vrednost desno od medijane pod desnim nagibom nije uspelo.