Централна гранична теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Конвергенција биномне расподеле (црвено) ка нормалној расподели (зелено)

Централна гранична теорема се односи на примену слабог закона великих бројева у теорији вероватноће. Теорема тврди да је (нормирана и центрирана) сума великог броја независних и идентично распоређених случајних променљивих тежи нормалној расподели вероватноће. То објашњава посебан значај који има овај тип расподеле.

Исказ централне граничне теореме се односи на низ независних, случајних променљивих са идентичном расподелом вероватноће, чији су математичко очекивање и варијанса коначни.

Постоје различите варијанте ове теореме, у којима чак није неопходно да променљиве имају исту расподелу вероватноће. Услов је само да ниједна променљива нема доминантан утицај на коначну суму. Примери су Линдбергов услов и Љапуновљев услов. У даљој генерализацији дозвољавају се и слабе међузависности између променљивих.

Име овој теореми дао је Ђерђ Поја у свом раду „О централној граничној теореми теорије вероватноће и математичким моментима“ (нем. Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem) из 1920.

Централна гранична теорема случајних променљивих идентичне расподеле вероватноће[уреди]

(такође позната као гранична теорема Линдеберга/Левија)

Нека су X_1, X_2, X_3, \dots низ случајних променљивих, које припадају истом простору вероватноће, све имају исту расподелу вероватноће D, и које су независне. Такође, узмимо да математичко очекивање \mu и стандардна девијација \sigma постоје и да су коначни.

Посматрајмо n-ту парцијалну суму случајних променљивих S_n = X_1 + X_2 +\cdots + X_n. Математичко очекивање S_n је n\mu, док је варијанса n\sigma^2. За стандардизовану случајну променљиву

Z_n = \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}},

централна гранична теорема каже да је расподела вероватноће Z_n, за n\infty, тежи ка нормалној расподели вероватноће N(0,1). Ако је \Phi(z) кумулативна расподела вероватноће од N(0,1), тада значи да за свако реално z важи

\lim_{n \to \infty} \mbox{P}(Z_n \le z) = \Phi(z).

Што се другачије може записати као

\lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{P}\left(\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq z\right)=\Phi(z),

где је

\overline{X}_n=\frac {S_n} n=\frac {X_1+\cdots+X_n} n

средња вредност првих n одбирака случајне варијабле.

Ако постоји трећи центрирани моменат \operatorname{E}((X_1-\mu)^3), и ако је коначан, тада је конвергенција униформна, и има брзину која је најмање реда \frac 1 {\sqrt {n}} (Бери-Есенова теорема).

У случају да је расподела вероватноће D биномна расподела, долазимо до специјалног случаја централне граничне теореме под именом Моавр-Лапласова теорема.

За случајне променљиве чија је расподела вероватноће нормална, расподела вероватноће њиховог збира је такође нормална, односно Z_n за свако n има расподелу вероватноће N(0,1).

Спољашње везе[уреди]