Hevisajdova funkcija

Hevisajdova funkcija prikazana uz konvenciju da je vrednost funkcije za x=0 jednaka 0,5

Hevisajdova funkcija (zvana i jedinična odskočna funkcija), nazvana u slavu Olivera Hevisajda, je prekidna funkcija koja ima vrednost nula za negativne vrednosti argumenta i jedan za pozitivne vrednosti argumenta:

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0\end{cases}}$

Funkcija se koristi u matematici sistema upravljanja i obradi signala da bi se predstavio signal koji menja stanje (uključuje se ili se isključuje) u određeno vreme i ostaje u tom stanju beskonačno dugo.

Hevisajdova funkcija predstavlja funkciju raspodele slučajne promenljive koja skoro sigurno ima vrednost 0.

Hevisajdova funkcija je integral Dirakove delta funkcije.

$u(x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}dt$

Nije usvojena jedinstvena definicija za vrednost u(0). Neki autori daju u(0) = 0, neki u(0) = 1. Različite vrednosti imaju smisla u različitim interpretacijama Hevisajdove funkcije. u(0) = 1/2 je možda najprihvaćenija vrednost, jer se tako maksimizira simetrija funkcije, i postaje potpuno konzistentna sa signum funkcijom. Ovim dolazimo do sledeće definicije:

$u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

$u(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)$

Često je korisna i integralna predstava odskočne funkcije:

$u(x)=\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }d\tau$

Diskretni oblik

Možemo takođe definisati i alternativni oblik jedinične odskočne funkcije diskretne promenljive n:

$u[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

gde je n ceo broj.

Ova funkcija je kumulativna suma Kroneker delta funkcija:

$u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,$

gde je

$\delta [k]=\delta _{k,0}\,$

funkcija diskretnog jediničnog impulsa.