Астроида

У математици, астроида је посебна врста криве: хипоциклоида код које је однос полупречника покретне и фиксиране кружнице једнак 1/4. Посматрамо кружницу полупречника $r$ која се котрља по унутрашњој страни друге, фиксиране кружнице полупречника $R=4r$ . Астроида је трајекторија проивољно изабране тачке на мањој кружници. То је, такође и супер елипса код које је n=2/3 и a=b.

Назив[уреди | уреди извор]

Порекло имена астроида може се наћи у грчкој речи за звезду. Ова крива је раније називана и кубоциклоидом и парациклом.

Једначина астроиде[уреди | уреди извор]

Параметарске једначине астроиде која настаје када је полупречник фиксираног круга једнак $R$ добијамо из једначина хипоциклоиде. Ако искористимо да је m=1/4, биће:
$x=R\cos ^{3}t,\qquad y=R\sin ^{3}t$ .
Елиминацијом параметра добијамо често употребљаван облик једначине астроиде:
$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$ .
Астроида се може представити и једначином:
$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0$ .

Основне особине[уреди | уреди извор]

Астроида је равна алгебарска крива са особином да јој је род једнак нули. Спада у алгебарске криве шестог реда, и има десет сингуларитета, од чега четири у реалној равни, који се налазе у врховима звезде и шест комплексних сингуларитета (2 у бесконачности и 4 двострука).

Еволута астроиде је такође астроида, слична датој, са коефицијентом сличности 2, дакле двоструко већа.

Дужина лука астроиде од тачке на позитивном делу x-осе, до произвољне тачке $M(t)$ једнака је $l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}{\frac {t}{4}}$ . Дужина једне гране је $l={\frac {3}{2}}R$ , а дужина целе криве $l=6R$

Дуж дужине једнаке полупречнику фиксиране кружнице којој једна крајња тачка клизи по x-оси, а друга по y-оси, је тангента астроиде, па је астроида омотач дужи константне дужине којима крајеви клизе по две међусобно нормалне праве.

Где се може видети астроида[уреди | уреди извор]

Стари лого компаније U.S. Steel садржао је три астроиде, плаву, жуту и црвену.

Данас се може видети на заштитном знаку Питсбург Стилерса, једног од познатијих рагби тимова.

Извори и литература[уреди | уреди извор]

А. А. Савелов, Равнинске кривуље, Школска књига, Загреб, 1979.

Спољашње везе[уреди | уреди извор]