Биномна расподела

С Википедије, слободне енциклопедије
Биномна расподела
Функција вероватноће
Пробабилитy масс фунцтион фор тхе биномиал дистрибутион
Функција кумулативне расподеле
Цумулативе дистрибутион фунцтион фор тхе биномиал дистрибутион
Нотација
Параметри – број покушаја
– вероватноћа успеха за сваки покушај
Носитељ – број успеха
пмф
ЦДФ
Просек
Медијана или
Модус или
Варијанса
Коеф. асиметрије
Куртоза
Ентропија
у шанонима.
МГФ
ЦФ
ПГФ
Фишерова информација
(за фиксно )
Биномна дистрибуција за
са n и k као у Паскаловом троуглу
Вероватноћа да ће кугла у Галтоновој кутији са 8 слојева (n = 8) завршити у централној кутији (k = 4) је .

У теорији вероватноће и статистици, биномна расподела са параметрима n и p је дискретна расподела вероватноће броја успеха у секвенци од n независних експеримената, сваки од којих даје одговор на да-не питање, и сваки има свој булов резултат - успех/да/тачно/један (са вероватноћом́ p) или неуспех/не/лажно/нула (са вероватноћом q = 1 − p). Појединачни успех/неуспех експеримента се такође назива Бернулијев покушај или Бернулијев експеримент, а секвенца исхода се назива Бернулијев процес; за појединачни покушај, и.е., n = 1, биномна дистрибуција је Бернулијева расподела. Биномна дистрибуција је основа за популарни биномни тест статистичког значаја.

Биномна дистрибуција се често користи за моделовање броја успеха у узорку величине n који је извучен са заменом из популације величине N. Ако се узорковање врши без замене, извлачења нису независна, па је резултирајућа расподела хипергеометријска, а не биномна. Међутим, за N много веће од n, биномна дистрибуција остаје добра апроксимација и широко се користи.

Спецификација[уреди | уреди извор]

Функција вероватноће[уреди | уреди извор]

Генерално, ако рандомна променљива X следи биномну дистрибуцију са параметрима n и p ∈ [0,1], пише се X ~ B(np). Вероватноћа да се добије тачно k успеха у n покушаја је дата функцијом вероватноће:

за k = 0, 1, 2, ..., н, где је

биномни коефицијент,[1] по коме је расподела добила име. Формула се може разумети на следећи начин. k успеха се јавља са вероватноћом pk и n − k неуспеха се јавља са вероватноћом (1 − p)n − k. Међутим, k успеха се може јавити било где међу n покушаја, и постоји различитих начина расподељивања k успеха у низу од n покушаја.

При стварању референтних табела за вероватноћу биномне дистрибуције, обично се табела попуњава до n/2 вредности. То је зато што се за k > n/2, вероватноћа може израчунати њеним комплементом као

Гледајући израз f(knp) као функцију од k, постоји k вредности које је максимизирају. Стога се k вредност може наћи израчунавајући

и упоређујући ту вредност са 1. Увек постоји цео број M који задовољава

f(knp) је монотоно растући за k < M и монотоно опадајући за k > M, уз изузетак случаја где је (n + 1)p цео број. У том случају, постоје две вредности за које је f максимално: (n + 1)p и (n + 1)p − 1. M је највероватнији исход (мада још увек може да буде свеукупно мало вероватан) Бернулијевих покушаја и назива се модус.[2][3][4][5]

Функција кумулативне вероватноће[уреди | уреди извор]

Функција кумулативне вероватноће се може изразити као:[6]

где је „под” испод k, и.е. највећи цео број мањи од или једна са k.

Он се може представити у виду регулисане некомплетне бета функције,[7][8] на следећи начин:[9]

Неки гранични случајеви затвореног облика за функцију кумулативне дистрибуције дати су у наставку.

Пример[уреди | уреди извор]

Претпоставка је да се пристраним бацањем новчића добија глава са вероватноћом 0,3. Питање је: која је вероватноћа постизања 0, 1, ..., 6 глава после шест бацања?

[10]

Очекивање[уреди | уреди извор]

Ако је X ~ B(n, p), другим речима, X је биномно дистрибуирана рандомна променљива, при чему је n укупан број експеримената, а p је вероватноћа сваког експеримента да произведе успешан резултат, онда је очекивана вредност X:[11]

На пример, ако је n = 100, и p = 1/4, онда је просечан број успешних резултата 25.

Прооф: Средња вредност, μ, се директно израчунава по дефиницији

и биномној теореми:

Средња вредност се може извести из једначине где су све рандомне променљиве обухваћене Бернулијевом расподелом са ( ако i-ти експеримент успе, док је иначе ). Добија се:

Варијанса[уреди | уреди извор]

Варијанса је:

Доказ: Нека је где су све независне рандомне променљиве Бернулијеве расподеле. Како је , добија се:

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Лилавати Сецтион 6, Цхаптер 4 (сее Кнутх (1997)).
  2. ^ „АП Статистицс Ревиеw - Денситy Цурвес анд тхе Нормал Дистрибутионс”. Архивирано из оригинала 02. 04. 2015. г. Приступљено 16. 3. 2015. 
  3. ^ „Релатионсхип бетwеен тхе меан, медиан, моде, анд стандард девиатион ин а унимодал дистрибутион”. 
  4. ^ Хиппел, Паул Т. вон (2005). „Меан, Медиан, анд Скеw: Цоррецтинг а Теxтбоок Руле”. Јоурнал оф Статистицс Едуцатион. 13 (2). дои:10.1080/10691898.2005.11910556. Архивирано из оригинала 14. 10. 2008. г. Приступљено 15. 08. 2019. 
  5. ^ Боттомлеy, Х. (2004). „Маxимум дистанце бетwеен тхе моде анд тхе меан оф а унимодал дистрибутион” (ПДФ). Унпублисхед препринт. 
  6. ^ Парк, Кун Ил (2018). Фундаменталс оф Пробабилитy анд Стоцхастиц Процессес wитх Апплицатионс то Цоммуницатионс. Спрингер. ИСБН 978-3-319-68074-3. 
  7. ^ Зелен, M.; Северо, Н. C. (1972), „26. Пробабилитy фунцтионс”, Ур.: Абрамоwитз, Милтон; Стегун, Ирене А., Хандбоок оф Матхематицал Фунцтионс wитх Формулас, Грапхс, анд Матхематицал Таблес, Неw Yорк: Довер Публицатионс, стр. 925—995, ИСБН 978-0-486-61272-0 
  8. ^ Давис, Пхилип Ј. (1972), „6. Гамма фунцтион анд релатед фунцтионс”, Ур.: Абрамоwитз, Милтон; Стегун, Ирене А., Хандбоок оф Матхематицал Фунцтионс wитх Формулас, Грапхс, анд Матхематицал Таблес, Неw Yорк: Довер Публицатионс, ИСБН 978-0-486-61272-0 
  9. ^ Wадсwортх, Г. П. (1960). Интродуцтион то Пробабилитy анд Рандом Вариаблес. Неw Yорк: МцГраw-Хилл. стр. 52. 
  10. ^ Хамилтон Институте. "Тхе Биномиал Дистрибутион" Оцтобер 20, 2010.
  11. ^ Сее Прооф Wики

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]