Analitička geometrija
Analitička geometrija predstavlja izučavanje geometrije[1]korišćenjem principa algebre. Geometrijske likove posmatra u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu i predstavlja ih algebarskim jednačinama. Drugim rečima, ona definiše geometrijske oblike na numerički način, i iz takve reprezentacije izdvaja numeričke informacije. Numerički rezultat može biti vektor ili geometrijski lik. Postoje mišljenja da je pojavom analitičke geometrije započeta moderna matematika.[2][3]
Smatra se da je Rene Dekart objavljivanjem svoje Geometrije, postavio osnove današnjoj analitičkoj geometriji. U pitanju je bio jedan od tri dodatka njegovoj Raspravi o metodi (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, 1637) - traktatu o naučnim metodama, u kome on, na svega 116 strana, pokazuje primenu svoje opšte metode sinteze na primeru spajanja algebre i geometrije. Ujedno, to je jedino matematičko delo koje je objavio za života.
Iako je presudno uticala na razvoj analitičke geometrije, u Dekartovoj Geometriji, onakvoj kakva je, nema nekih njenih osnovnih elemenata, kao što su Dekartove koordinate, jednačina prave, jednačine konusnih preseka (iako se jednom jednačinom drugog reda označava konusni presek), a veći deo izlaganja je posvećen teoriji algebarskih jednačina.
Iz sačuvanih pisama Pjera Ferma može se videti da je on razvio ideju analitičke geometrije pre objavljivanja Dekartovog dela o toj temi. Dekart je predložio predstavljanje krive jednačinom, izučavanje dobijene jednačine i na taj način utvrđivanje osobina same krive, dok je Ferma suštinski uradio isto proglašavajući jednačinu „specijalnom osobinom“ krive i izvodeći sve ostale osobine posmatrane krive iz nje.
Činjenica da je moguće interpretirati euklidsku geometriju jezikom analitičke geometrije (što znači da je svaka teorema prve, u isto vreme i teorema druge) je ključni korak u dokazu Alfreda Tarskog da je euklidska geometrija konzistenta i odlučiva.
Koordinatni sistem
[uredi | uredi izvor]Osnova analitičke geometrije je korištenje koordinatnog sistema. Obično se koristi Kartezijev koordinatni sistem.
Analitička geometrija u R2
[uredi | uredi izvor]Koordinatni sistem i transformacije
[uredi | uredi izvor]Sa (x, y) označavaju se početne koordinate, a sa (x', y') nove.
Paralelno pomeranje
[uredi | uredi izvor]Ako x0, y0 su koordinate koordinatnog početka u novom sistemu, onda vredi:
Rotacija
[uredi | uredi izvor]Ako se ugao rotiranja smatra pozitivnim (ugao kojim se pozitivna x-osa treba pomerati da bi se podudarila s pozitivnom y-osom) onda su formule za transformaciju:
Udaljenost između dve tačke
[uredi | uredi izvor]Udaljenost između tačaka (x1, y1) i (x2, y2) je:
Površina trougla
[uredi | uredi izvor]Ako vrhovi trougla imaju koordinate (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3), njihova površina je
Da bi T bilo pozitivno, moraju tačke (x1,y1), (x2, y2) i (x3, y3) slediti jedna drugu u pozitivnom pravcu , tj. suprotno smeru kretanja kazaljki na satu.
Deljenje udaljenosti
[uredi | uredi izvor]Ako se udaljenost između tačaka (x1, y1) i (x2, y2), deli u odnosu na m/n koordinate će biti:
Koeficijent ugla pravca
[uredi | uredi izvor]Neka je ugao koji pravac zatvara s x-osom. Ako pravac prolazi kroz tačke (x1, y1) i (x2,y2) onda je koeficijent ugla pravca:
Jednačina pravca
[uredi | uredi izvor]Jednačina pravca je jednačina prvog reda po x i y i opšta formula je
Svaka jednačina prvog reda predstavlja pravac.
znači pravac paralelan s y-osom i
pracac paralelan s x-osom.
je pravac kroz koordinatni početak.
k-formula
[uredi | uredi izvor]Pravac se može napisati i u obliku
ako je pravac paralelan s y-osom, tj. B je različito od nule. Ovdje je k koeficijent ugla pravca
i m y-koordinate dodira pravca s y-osom.
Presek
[uredi | uredi izvor]Parametri presecanja su tačke preseka pravaca x-ose i y-ose i pišu se
gde je a x-koordinata za tačku preseka pravca s x-osom a b je y-koordinata za tačku preseka pravca s y-osom ili
Standardni oblik
[uredi | uredi izvor]je standardni oblik pravca. a m se određuje iz
Znak kvadratnog korena se bira tako da m bude pozitivno.
m je dužina normale iz koordinatnog početka do pravca i je ugao te normale s x-osom.
Udaljenost tačke od pravca
[uredi | uredi izvor]Pravac napisan u standardom obliku
Onda je udaljenost tačke P s koordinatama (x1,y1):
gde se znak + bira ako koordinatni početak i P leže na različitim stranama pravca.
Formula pravca kroz jednu tačku
[uredi | uredi izvor]Jednačina za pravac kroz tačku (x1, y1) s ugaonim koeficijentom k je
Formula pravca kroz dve tačke
[uredi | uredi izvor]Jednačina za pravac kroz tačke (x1, y1) i (x2, y2) je
Ugao između dva pravca
[uredi | uredi izvor]Ako su koeficijenti ugla pravca k1 i k2 ugao između pravaca izračunava se kao:
Krive u ravni
[uredi | uredi izvor]Kriva u ortogonalnom koordinatnom sistemu daje vezu između koordinata x i y i može se napisati kao funkcija.
Jednačina krive se može napisati u eksplicitnom obliku
u implicitnom obliku
ili u parametarskom obliku
U polarnim koordinatama jednačina krive je
ili
Tangenta
[uredi | uredi izvor]Koeficijent ugla za tengentu jednog pravca u pravougaonim koordinatima je jednak derivaciji funkcije u tački dodira:
Asimptote
[uredi | uredi izvor]S asimptotom jedne krive misli se na pravac takav da razdaljina između pravca i tačke na krivoj ide prema nuli gde tačka ide u beskonačnost. Ako se asimptota krive y = f(x) piše pomoću jednačine y = kx + m, onda se k i m određuju prema:
Analitička geometrija u R3
[uredi | uredi izvor]Koordinatni sistem
[uredi | uredi izvor]Koordinatni sistem u R3 koristi tri ravni, obično normalne jedna na drugu. Tačke preseka se nazivaju x-, y- i z-osa. Ove tri ravni označavaju se po ulaznim osama kao xy-ravan, yz-ravan i xz-ravan.
Pravougaone koordinate
[uredi | uredi izvor]Kosinus smera
[uredi | uredi izvor]Koordinate tačke P' (x, y, z) su normalne udaljenosti do yz-, xz- i xy-ravni. Ako su uglovi između vektora položaja dužine r i osa onda je
gde
su kosinusi smera označeni sa a, b i c za koje vredi
Ugao između dva pravca
[uredi | uredi izvor]Ako imamo dva pravca, OA1 sa kosinusima smera a1, b1 i c1 i OA2 sa kosinusima smera a2, b2 i c2, onda vredi za ugao između OA1 i OA2:
Rotacija koordinatnog sistema
[uredi | uredi izvor]S prelazom iz pravougaonog koordinatnog sistema (xyz) u jedan drugi (x'y'z') sa zajedničkim koordinatnim početkom ali različitim smerovima osa i smerovima kosinusa u xyz-ose označene
- za x'-osa sa
- za y'-osa sa
- za z'-osa sa
biće transformacije
Udaljenost između dve tačke
[uredi | uredi izvor]Udaljenost d između tačaka (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2) je
Ako su a, b i c kosinusi pravca za pravac između dve aočke, onda se izračunavaju kao
Ravan u R3
[uredi | uredi izvor]Ako je (x0, y0, z0) jedinični vektor do jedne tačke u ravni i (A, B, C) je normalan vektor na ravan, može se jednačina ravnini napisati kao skalrarni proizvod normalnog vektora i vektora (x - x0, y - y0, z - z0):
što daje generalni oblik jednačine ravni kao
gde je D
Jednačina prvog reda uvek predstavlja ravan. Kosinusi pravca za normalu ravni su
Znak pred korenom se izabire tako da je
- uvek pozitivan. Na taj način je normala usmerena prema ravninoj „pozitivnoj” strani.
Normalni oblik
[uredi | uredi izvor]Deljenjem sa
dobija se jednačina ravni u normalnom obliku
gde su uglovi koje normala na ravac čini s koordinatnim osama a p je udaljenost normale od koordinatnog početka pa do ravni.
Vektorski oblik
[uredi | uredi izvor]Jednačina ravni s normalnim vektorom n, datom tačkom r0 i r kao jediničnim vektorim za proizvoljnu tačku (x, y, z) u ravni je
Udaljenost tačke od ravni
[uredi | uredi izvor]Koordinate tačke se pišu u normalnom obliku ravni
a udaljenost je onda jednaka levoj strani jednačine sa predznakom '-' ako se tačka i koordinatni početak nalaze na istoj strani ravni, inače sa predznakom '+'.
Primer:
Izračunati udaljenost od tačke (1, -3, 2) do ravni
Jednačina ravni u normalnom obliku
Važni pojmovi analitičke geometrije
[uredi | uredi izvor]- vektorski prostor
- skalarni proizvod, za određivanje ugla između dva vektora
- vektorski proizvod, za određivanje vektora normalnog na dva data vektora, kao i zapremine paralelopipeda koji oni određuju
- definicija ravni
- problem rastojanja
- krive drugog reda
Mnogi od ovih problema ulaze u domen linearne algebre.
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Mišić, Milan, ur. (2005). Enciklopedija Britanika. A-B. Beograd: Narodna knjiga : Politika. str. 46. ISBN 86-331-2075-5.
- ^ Boyer, Carl B. (1944), „Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes”, Mathematics Teacher, 37 (3): 99—105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
- ^ Coolidge, J. L. (1948), „The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions”, American Mathematical Monthly, 55 (2): 76—86, JSTOR 2305740, doi:10.2307/2305740
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Dirk J. Strojk, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991.
- David Eugene Smith, History Of Mathematics, vol I, Dover Publications, New York, 1958.
- Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
- Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
- John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556
- Bissell, Christopher C. (1987), „Cartesian geometry: The Dutch contribution”, The Mathematical Intelligencer, 9: 38—44, doi:10.1007/BF03023730
- Boyer, Carl B. (1965), „Johann Hudde and space coordinates”, Mathematics Teacher, 58 (1): 33—36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
- Pecl, J., Newton and analytic geometry
- Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
- Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, str. 31—33, MR 763890
- Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd izd.), American Mathematical Soc., str. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
- Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
- Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
- van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (na jeziku: nemački) (9th izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- Analitička geometrija na Mathworld
- Coordinate Geometry topics with interactive animations