Vektor

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju intenzitet, pravac i smer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primeri vezani za geometriju u prostoru gde se vektor određuje pravcem, smerom i intenzitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, impuls, moment impulsa... Skalarne su masa, temperatura, zapremina...

Fizičke veličine čija vektorska vrednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3×3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorske veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks prelamanja itd ...

Definicija[uredi]

Vektor može biti definisan uređenim parom tačaka. Recimo da su to A i B iz Rn. Tada je:

, a

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smer i intenzitetom:

Ako ovde ||AB|| zamenimo sa λ koje može biti bilo koji broj iz R definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ukoliko je λ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački A.

Ukoliko je λ neki broj različit od ||AB||, rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB' ovo znači da važi:

Nula-vektor[uredi]

Nula-vektor a0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

Jedinični vektor[uredi]

Jedinični vektor (ort) je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor a se može odrediti odgovarajući jedinični vektor v istog pravca i smera.

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

Operacije nad vektorima[uredi]

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primer:

,

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva Kn, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vektora. Na primer a1 je prva koordinata vektora, a2 je druga koordinata vektora itd.

Slede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora[uredi]

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni koren zbira kvadrata njegovih koordinata.




Množenje vektora skalarom[uredi]

Množenje vektora nekim skalarom je definisano kao množenje svake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

= = :

Sabiranje vektora[uredi]

Sabiranje vektora
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora :




Njihovo sabiranje se definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.


,
, gde je

Pri čemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:



Pri čemu .

Skalarno množenje vektora[uredi]

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz Kn u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz Kn bi proizvod k izgledao ovako:



, gde je

Ovde treba primetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

pri čemu je ω ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:



To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod[uredi]

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:






Jer su , i : vektori kanonske baze E3.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledeće osobine:

, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je : ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je . Tj. vektorski proizvod se lepo ponaša prema množenju skalarom sleva.

Mešoviti proizvod[uredi]

Mešoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa

A po definiciji je:

 :

Što znači da je vrednost mešovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad njima. Slede neka osnovna svojstva mešovitog proizvoda:

Vidi još[uredi]

Literatura[uredi]

  • Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole. Zavod za udžbenike. Beograd. 2008.

Spoljašnje veze[uredi]