Velika poluosa

Velika (a) i mala poluosa (bb) elipse

Velika poluosa u geometriji služi da opiše dimenzije elipse ili hiperbole. U geometriji, glavna osa elipse je njen najduži prečnik: segment linije koji prolazi kroz centar i oba fokusa, sa krajevima u dve najšire odvojene tačke perimetra. Velika poluosa je najduži poluprečnik ili jedna polovina velike ose, i tako ide od centra, kroz fokus i do perimetra. Mala poluosa elipse ili hiperbole je segment prave koji je pod pravim uglom sa velikom poluosom i ima jedan kraj u centru konusnog preseka. Za poseban slučaj kruga, dužine poluose su jednake poluprečniku kruga.

Dužina velike poluose a elipse povezana je sa dužinom male poluose b kroz ekscentricitet e i polu-latus rektum $\ell$, na sledeći način:

${\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}$

Velika poluosa hiperbole je, u zavisnosti od konvencije, plus ili minus polovina rastojanja između dve grane. Dakle, to je rastojanje od centra do bilo kog vrha hiperbole.

Parabola se može dobiti kao granica niza elipsa gde je jedan fokus fiksiran dok je drugom dozvoljeno da se pomera proizvoljno daleko u jednom pravcu, držeći $\ell$ fiksnim. Tako a i b teže beskonačnosti, a brže od b.

Velika i mala osa su osa simetrije za krivu: u elipsi, mala osa je kraća; kod hiperbole je ona koja ne seče hiperbolu.

U astronomiji velika poluosa je jedan od šest orbitalnih elemenata koji opisuju putanju jednog tela. Velika poluosa kod eliptične putanje je polovina veće ose elipse, i predstavlja, kako bi se moglo reći prosečno rastojanje objekta od Sunca, ako se radi o eliptičnoj putanji gde je Sunce u jednoj od žiža. Orbitalni period objekta se u odnosu na veliku osu, o čemu govori treći Keplerov zakon, odnosi kao: $T^{2}\propto a^{3}\,$

Elipsa

Jednačina elipse je

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,$

gde je (h, k) centar elipse u Dekartovim koordinatama, u kojoj je proizvoljna tačka data sa (x, y).

Glavna poluosa je srednja vrednost maksimalnog i minimalnog rastojanja: $r_{\text{max}}$ i $r_{\text{min}}$ elipse iz fokusa — to jest, rastojanja od fokusa do krajnjih tačaka glavne ose

$a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.$

U astronomiji ove ekstremne tačke se nazivaju apside.

Mala poluosa elipse je geometrijska sredina ovih rastojanja:

$b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.$

Ekscentricitet elipse se definiše kao

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},$

te je

$r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).$

Sada razmotrino jednačinu u polarnim koordinatama, sa jednim fokusom na ishodištu, a drugim u pravcu $\theta =\pi$:

$r(1+e\cos \theta )=\ell .$

Srednja vrednost od $r=\ell /(1-e)$ i $r=\ell /(1+e)$, za $\theta =\pi$ i $\theta =0$ je

$a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.$

U elipsi, velika poluosa je geometrijska sredina udaljenosti od centra do bilo kog fokusa i rastojanja od centra do bilo koje direktrise.

Mala poluosa elipse ide od centra elipse (tačka na pola puta između i na liniji koja prolazi između žarišta) do ivice elipse. Mala polu-osa je polovina male ose. Mala osa je najduži linijski segment normalan na glavnu osu koji spaja dve tačke na ivici elipse.

Mala poluosa b je povezana sa velikom poluosom a kroz ekscentricitet e i polulatus rektum $\ell$, na sledeći način:

${\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}$

Parabola se može dobiti kao granica niza elipsi gde je jedan fokus fiksiran dok je drugom dozvoljeno da se pomera proizvoljno daleko u jednom pravcu, držeći $\ell$ fiksnim. Tako a i b teže beskonačnosti, a brže od b.

Dužina male poluose se takođe može naći pomoću sledeće formule:

$2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},$

gde je f rastojanje između fokusa, p i q su rastojanja od svakog fokusa do bilo koje tačke u elipsi.

Hiperbola

Velika poluosa hiperbole je, u zavisnosti od konvencije, plus ili minus polovina rastojanja između dve grane; ako je ovo a u x-smeru, jednačina je:

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.$

U pogledu semi-latus rektuma i ekscentričnosti koje važi

$a={\ell \over e^{2}-1}.$

Poprečna osa hiperbole poklapa se sa velikom osom.

U hiperboli, konjugirana osa ili mala osa dužine $2b$, koja odgovara maloj osi elipse, može se povući okomito na poprečnu osu ili glavnu osu, koja povezuje dva vrha (prekretnice) hiperbole, sa dve ose koje se seku u centru hiperbole. Krajnje tačke $(0,\pm b)$ male ose leže u visini asimptota iznad/ispod vrhova hiperbole. Bilo koja polovina male ose se naziva polumala osa, dužine b. Označavajući dužinu velike poluose (udaljenost od centra do temena) kao a, dužine male i velike poluose se pojavljuju u jednačini hiperbole u odnosu na ove ose na sledeći način:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Mala poluosa je takođe rastojanje od jednog od fokusa hiperbole do asimptote. Često zvana parametar udara, ona je važna u fizici i astronomiji i izražava razdaljinu na kojoj će čestica promašiti fokus ako telo u fokusu ne ometa njeno putovanje.

Mala poluosa i velika poluosa su povezane kroz ekscentricitet, na sledeći način:

$b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.$

Treba imati na umu da u hiperboli b može biti veće od a.

Astronomija

Orbitalni period

U astrodinamici orbitalni period T malog tela koje kruži oko centralnog tela u kružnoj ili eliptičnoj orbiti je:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},$

gde je:

a dužina velike poluose orbite,

$\mu$ je standardni gravitacioni parametar centralnog tela.

Sve elipse sa datom velikom poluosom imaju isti orbitalni period, bez obzira na njihov ekscentricitet.

Specifični ugaoni moment h malog tela koje kruži oko centralnog tela u kružnoj ili eliptičnoj orbiti je

$h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},$

gde je:

a i $\mu$ su kao što je gore definisano,

e je ekscentricitet orbite.

U astronomiji, velika poluosa je jedan od najvažnijih orbitalnih elemenata orbite, zajedno sa njenim orbitalnim periodom. Za objekte Sunčevog sistema, velika poluosa je povezana sa periodom orbite po Keplerovom trećem zakonu (prvobitno empirijski izvedenom):

$T^{2}\propto a^{3},$

gde je T period, a a velika poluosa. Ispostavilo se da je ovaj oblik pojednostavljenje opšte forme za problem dva tela, kako je odredio Njutn:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},$

gde je G gravitaciona konstanta, M masa centralnog tela, a m masa tela u orbiti. Tipično, masa centralnog tela je toliko veća od mase tela u orbiti, da se m može zanemariti. Iznošenje te pretpostavke i korišćenje tipičnih astronomskih jedinica rezultira jednostavnijim oblikom koji je Kepler otkrio

Velike i polu-male ose putanja planeta

Orbite planeta se uvek navode kao glavni primeri elipsa (Keplerov prvi zakon). Međutim, minimalna razlika između velike i polumale ose pokazuje da su one praktično kružnog izgleda. Ta razlika (ili odnos) je zasnovana na ekscentricitetu i izračunava se kao ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$, što za tipične ekscentričnosti planeta daje veoma male rezultati.

Razlog za pretpostavku o istaknutim eliptičnim orbitama verovatno leži u mnogo većoj razlici između afela i perihela. Ta razlika (ili odnos) se takođe zasniva na ekscentricitetu i izračunava se kao ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$. Zbog velike razlike između afela i perihela, Keplerov drugi zakon se lako vizuelizuje.

	Ekscentricitet	Velika poluosa a (AU)	Mala poluosa b (AU)	Razlika (%)	Perihel (AU)	Afel (AU)	Razlika (%)
Merkur	0,206	0,38700	0,37870	2,2	0,307	0,467	52
Venera	0,007	0,72300	0,72298	0,002	0,718	0,728	1,4
Zemlja	0,017	1,00000	0,99986	0,014	0,983	1,017	3,5
Mars	0,093	1,52400	1,51740	0,44	1,382	1,666	21
Jupiter	0,049	5,20440	5,19820	0,12	4,950	5,459	10
Saturn	0,057	9,58260	9,56730	0,16	9,041	10,124	12
Uran	0,046	19,21840	19,19770	0,11	18,330	20,110	9,7
Neptun	0,010	30,11000	30,10870	0,004	29,820	30,400	1,9

Literatura

• R. Grin: „Astronomija: Klasika u novom ruhu“, Vesta, 1998.
• Z. Brkić i B. Ševarlić: „Opšta astronomija“, Naučna knjiga, 1981.
• Gurfil, Pini (2005). „Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits”. J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760. 
• Report No. 3 (PDF). celestrak (Izveštaj). Spacetrack. North American Aerospace Defense Command (NORAD).  – a serious treatment of orbital elements
• „FAQ”. Celestrak. Two-Line Elements. Arhivirano iz originala 2016-03-26. g. 
• Besant, W.H. (1907). „Chapter III. The Ellipse”. Conic Sections. London: George Bell and Sons. str. 50. 
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd izd.). New York: Wiley. str. 115–9. 
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9 
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd izd.). Scott Foresman/Little. str. 381. ISBN 978-0-673-38638-0. 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 

Spoljašnje veze

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation
• „The JPL HORIZONS online ephemeris”.  – also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects

• „Mean orbital parameters”. ssd.jpl.nasa.gov. Planetary satellites. JPL / NASA. 

• „Introduction to exporting”. ssd.jpl.nasa.gov. JPL planetary and lunar ephemerides. JPL / NASA. 

• „State vectors: VEC2TLE”. MindSpring (software). Arhivirano iz originala 2016-03-03. g.  – access to VEC2TLE software

• „Function 'iauPlan94'” (C software source). IAU SOFA C Library.  – orbital elements of the major planets