Pređi na sadržaj

Georg Kantor

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Georg Kantor
Georg Kantor
Lični podaci
Datum rođenja(1845-03-03)3. mart 1845.
Mesto rođenjaPetrograd, Rusija
Datum smrti6. januar 1918.(1918-01-06) (72 god.)
Mesto smrtiHale, Nemačka
ObrazovanjeETH Cirih
Naučni rad
Poljematematika
InstitucijaUniverzitet u Haleu
MentoriErnst Kumer
Karl Vajerštras
Poznat poteorija skupova
NagradeSilvester medalja

Georg Kantor (nem. Georg Cantor; Petrograd, 3. mart 1845Hale, 6. januar 1918[1]) bio je nemački matematičar i utemeljivač teorije skupova. Igrao je ključnu ulogu u stvaranju teorije skupova, koja je postala fundamentalna teorija u matematici. Kantor je utvrdio važnost korespondencije jedan prema jedan između članova dva skupa, definisao beskonačne i dobro uređene skupove i dokazao da su realni brojevi brojniji od prirodnih brojeva. U stvari, Kantorov metod dokazivanja ove teoreme implicira postojanje beskonačnosti beskonačnosti. Definisao je kardinalni i redni broj i njihovu aritmetiku. Kantorovo delo je od velikog filozofskog interesovanja, činjenice koje je on bio dobro svestan.[2]

Prvi je numeričke sisteme, poput racionalnih i stvarnih brojeva, istraživao sistematično, kao zaokružene entitete ili skupove. To pregnuće dovelo ga je do iznenaćujućeg otkrića da nisu svi beskrajni skupovi iste veličine. Dokaz za ovo je Kantorov dijagonalni postupak.

Pokazao je da racionalnih brojeva ima isto koliko i prirodnih brojeva, to jest da ova dva skupa ( i ) imaju istu kardinalnost (dokaz da racionalnih brojeva ima prebrojivo mnogo je Kantorovo prebrojavanje skupa Q). Dokazao je, takođe, da takve podudarnosti nema kod znatno većeg skupa iracionalnih brojeva, te su otuda oni poznati kao skup koji se ne može prebrojati.

Istraživanja je krunisao klasifikacijom transfinitnih brojeva koji, laički govoreći, predstavljaju stepene beskonačnosti, i označavaju se simbolima , , ... (alef nula, alef jedan, ...).

Oštre kritike su praćene kasnijim pohvalama. Godine 1904. Kreljevsko društvo ga je nagradilo Silvester medaljom, što je najviša čast koja se može dodeliti za matematički rad. Pretpostavlja se da je Kantor verovao da ga je njegova teorija o transfinitnim brojevima povezivala sa Bogom. Dejvid Hilbert ga je branio od kritika poznatom izjavom "Niko nas ne može proterati iz raja koji je Kantor stvorio".

Biografija

[uredi | uredi izvor]

Mladost i studije

[uredi | uredi izvor]
Georg Kantor 1870.

Kantor je rođen u zapadnom trgovačkom naselju u Petrogradu u Rusiji i odrastao je u tom gradu do svoje jedanaeste godine. Bio je najstariji od šestoro dece i bio je smatran za izvanrednog violinistu. Njegov deda Franc Bem (1788—1846) je bio poznati muzičar i solista u carskom orkestru u Ruskom carstvu. Kantorov otac je bio član Petrogradske berze, a kad se on razboleo, porodica se preselila u Nemačku 1856. godine, prvo u Visbaden a zatim u Frankfurt. Godine 1860. Kantor je završio školu u Darmštatu, gde su primećene njegove izuzetne matematičke veštine, a naručito trigonometrijske. U 1862. Kantor se upisao na Univerzitet u Cirihu, a nakon dobijanja značajnog nasledstva nakon smrti oca 1863. god, Kantor je studije nastavio na Berlinskom Univerzitetu pohađajući predavanja Leopolda Kronekera, Karla Vajerštrasa i Ernesta Kumera. Leto 1866. je proveo na Univerzitetu u Getingenu, centru matematičkog istraživanja.

Učitelj i istaživač

[uredi | uredi izvor]

Završio je svoju disertaciju na temu teorija brojeva 1867. na Univerzitetu u Berlinu. Nakon što je kratko predavao u Berlinu u ženskoj školi, preuzeo je poziciju na Univerzitetu u Haleu gde je i proveo celu karijeru. Dobio je priznanje za svoju tezu na temu teorije brojeva koja je prezentovana 1869. na njegovom imenovanju u Haleu. Venčao se sa Veli Gutman 1874. i imali su šestoro dece. Bio je u mogućnosti da izdržava porodicu uprkos skromnoj akademskoj plati, zahvaljujući nasledstvu koje je nasledio od oca. Unapređen je u vanrednog profesora 1972. a u redovnog profesora 1879. godine. Biti redovni profesor u 34. godini je ogroman uspeh, ali Kantor nije bio zadovoljan. On je želeo mesto na prestižnijem univerzitetu kao što je Univerzitet u Berlinu, tada vodeći univerzitet u Nemačkoj. Međutim, njegov rad je naišao na previše protivljenja pa tako nešto nije bilo moguće.

Kasnije godine

[uredi | uredi izvor]

Nakon hospitalizacije 1884. ne postoji zapis da je ponovo bio u nekom sanatorijumu do 1899. Ubrzo nakon te druge hospitalizacije, njegov najmlađi sin Rudolf je iznenada preminuo i ta tragedija je iscrpela Kantorovu strast za matematikom. Ponovo je hospitalizovan 1903. a godinu dana posle toga on je bio ogorčen i uznemiren zbog članka Juliusa Kuniga predstavljenom na Trećem Internacionalnom Kongresu Matematičara. Rad je pokušao da dokaze da su osnovna načela teorije skupova bila lažna. Pošto je članak bio pročitan pred njegovim ćerkama i kolegama, Kantor je sebe smatrao javno poniženim. Iako je Ernst Zarmelo za manje od jednog dana dokazao da Kunig nije imao dokaze, Kantor je ostao uzdrman. Kantor je patio od hronične depresije do kraja svog života, zbog toga je i nekoliko navrata bio izuzet iz nastave i više puta je bio zatvaran u raznim sanatorijumima. Od jednog univerziteta u Škotskoj je 1912. dobio počasni doktorat, ali zbog bolesti nije moga lično da preuzme diplomu. Penzionisao se 1913. živeo je u siromaštvu a jedno vreme je bio i neuhranjen. Javna proslava njegovog 70. rođendana je bila otkazana zbog rata. Umro je 6. januara 1918. u sanatorijumu gde je proveo poslednju godinu svog života.

Matematički rad

[uredi | uredi izvor]
Ilustracija Kantorovog dijagonalnog argumenta za postojanje nebrojivih skupova
Jedan na jedan korespondencija.

Kantorov rad između 1874. i 1884. je vreme kada je nastala teorija skupova. Pre toga, koncept je bio prilično elementaran koji se posredno koristio od početka postojanja matematike, datira još od Aristotelovih ideja. Niko nije primetio da teorija skupova ima neki netrivijalni sadržaj. Pre Kantora postojali su samo konačni skupovi koji su bili lako razumljivi i beskonačni koji su bili tema više za filozofe nego sa matematičare. Teorija skupova je imala umala ulogu u temeljima teorije moderne matematike, u smislu da ona predstavlja tvrdnje o matematičkim objektima (npr. brojeve i funkcije) iz svih tradicionalnih oblasti matematike u jednoj teoriji i pruža standardni skup aksioma da ih dokaže ili opovrgne. Osnovni pojmovi teorije skupova se sada koriste u celoj matematici. U jednom od njegovih ranijih radova Kantor je dokazao da je skup realnih brojeva brojniji od skupa prirodnih brojeva. To je po prvi put pokazalo da postoje beskonačni skupovi različitih veličina. On je takođe bio prvi koji je cenio važnost jedan na jedan korespondencije u teoriji skupova. Koristio je ovaj koncept za definisanje konačnih i beskonačnih skupova, podelivši ih u brojne i nebrojne skupove. Kantor je razvio važne koncepte u topologiji i njenom povezanošću sa kardinalnosti. On je predstavio i osnovne konstrukcije u teoriji skupova, kao što je partitativni skup skupa A koji je skup svih mogućih podskupova od A. Kasnije je dokazao da je veličina električnog skupa A stogo veća od veličine A čak i kada je A beskonačan skup, ovaj rezultat je ubrzo bio poznat kao Kantorova teorema. Kantor je razvio čitavu teoriju i aritmetiku beskonačnih skupova nazvanu kardinali i ordinali što je produžilo aritmetiku prirodnih brojeva. Njegova oznaka za kardinalne brojeve je bilo hebrejsko slovo א sa indeksom prirodnog broja, za ordinale je uveo grčko slovo ω . Ovaj zapis je i danas u upotrebi.

Vidi još

[uredi | uredi izvor]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ Grattan-Guinness 2000, p. 351.
  2. ^ The biographical material in this article is mostly drawn from Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971, and Purkert and Ilgauds 1985 are useful additional sources.

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi izvor]