Konačno polje

U matematici, konačno polje ili GF (tako nazvan u čast francuskog matematičara Evarista Galoa )- je polje koje sadrži konačan broj elemenata. Kao i u bilo kom polju, konačno polje je skup, u kom su operacije množenja, sabiranja, oduzimanja i deljenja utvrđena i zadovoljavaju određena osnovna pravila. Najčešći primeri konačnih polja su u celim brojevima po modulu $p$ kada $p$ je prost broj.

Broj elemenata konačnog polja se zove ga red. Konačno polje reda q postoji, ako i samo ako je red q - stepen prostog broja p^k (gde p je prost broj, a k - pozitivan ceo broj). Sva polja ovog reda su izomorfna. U polju reda p^k, dodavanjem p primeraka bilo kog elementa uvek rezultuje nulom; p je karakteristika polja.

Kod konačnog polja reda q, polinom X^q − X poseduje q elemente konačnog polja kao korene. Nenulti elementi konačnog polja grade multiplikativnu grupu. Ova grupa je ciklična, tako da se svi nenulti elementi mogu prikazati kao stepeni jednog elementa zvanog primitivni element polja ( uopšteno postoji nekoliko primitivnih elemenata zadatog polja).

Polje sadrži, po definiciji, komutativnu operaciju množenja. Opšta algebarska struktura, koja zadovoljava sve ostale aksiome polja, ali čija operacija množenja ne mora da bude komutativna se zove prsten deljenja (u engleskoj literaturi skew field). Prema Vederburnovoj teoremi, svaki konačan prsten deljenja treba da bude komutativan i, samim tim, konačno polje. Ovaj pokazuje da ograničenje konačnosti može imati algebarske posledice.

Konačna polja su fundamentalna u nekoliko oblasti matematike i informatike, uključujući teoriju brojeva, algebarski geometrije, Galoa teorije, geometrije konačnih tela, kriptografija i teorije kodiranja.

Definicije, prvi primeri i osnovna svojstva[uredi | uredi izvor]

Konačno polje je konačan skup definisan sa četiri operacije: množenje, sabiranje, oduzimanje i deljenje (izuzeto deljenje sa nulom) koja zadovoljavaju pravila aritmetike, poznata kao aksiomi polja. Najjednostavniji primeri konačnih polja su prosta polja: za svaki prost broj $p$ , polje $GF(p)$ (takođe označen $Z / p Z$ , ili $F p$ ) reda (to jest veličina) $p$ se lako gradi kao ceo broj po modulu $p$ .

Elementi prostog polja se mogu predstaviti celim brojevima u opsegu od $0, ..., p - 1$ . Zbir, razlika i proizvod se izračunavaju uzimanjem ostatka sa $p$ celobrojnog rezultata. Multiplikativni inverzni element se može izračunati korišćenjem naprednog algoritma euklidske geometrije (videti Prošireni Euklidov algoritam § Notes).

Neka je $F$ - konačno polje. Za bilo koji element $x$ iz $F$ i bilo koji ceo broj $n$ označimo $n \cdot x$ kao zbir n kopija $x$ . Najmanji pozitivni $n$ , takav da je $n \cdot1 = 0$ mora da postoji i on je prost broj; ovo je karakteristika polja.

Ako je p karakteristika $F$ , možemo pomnožiti element k iz $GF(p)$ sa elementom x od $F$ izborom celog broja predstavnika k elementa. Ovo množenje prebacuje $F$ u $GF(p)$ -vektor prostor. Odavde sledi da je broj elemenata $F$ polja: $p n$ za neki ceo n.

Za svaki prost broj $p$ i svaki pozitivan ceo broj $n$ postoji konačno polje reda $p n$ i sva polja ovog reda izomorfna. Tako mo odrediti sva polja reda $p n$ , tako da je jedinstveno označen , $F p n$ ili $GF(p n)$ , gde su slova " GF " znači "polje Galois".^[1]

Primer[uredi | uredi izvor]

Polje $GF(64)$ ima nekoliko zanimljivih osobina, koje manja polja nemaju: ono ima dve podoblasti takve da se nijedna ne sadrži u drugoj; nisu svi generatori (elementi sa minimalnim polinomom stepena $6$ nad $GF(2)$ ) primitivni elementi; takođe nisu svi primitivni elemenati u vezi Galoa grupe.

Red ovog polja $26$ i delitelji $6$ su $1, 2, 3, 6$ , podpolja $GF(64)$ su $GF(2)$ , $GF(2 2) = GF(4)$ , $GF(2 3) = GF(8)$ i $GF(64)$ . A $2$ i $3$ su prosti brojevi, presek $GF(4)$ i $GF(8)$ u $GF(64)$ je prosto polje $GF(2)$ .

Veza sa drugim klasama komutativnih prstena [uredi | uredi izvor]

Konačna polja se nalaze u sledećem lancu ciklusa:

komutativni prstenovi ⊃ integralni domeni ⊃ integralni zatvoreni domeni ⊃ GCD domeni ⊃ jedinstveni faktorizacioni domeni ⊃ principalni idealni domeni ⊃ Euklidovi domen ⊃ polja ⊃ konačna polja

Reference[uredi | uredi izvor]

^ This notation was introduced by E. H. Moore in an address given in 1893 at the International Mathematical Congress held in Chicago Mullen & Panario 2013, p. 10

Literatura[uredi | uredi izvor]

Bussey, W. H. (1905). „Galois field tables for 𝑝ⁿ≦169”. Bulletin of the American Mathematical Society. 12: 22—38. doi:10.1090/S0002-9904-1905-01284-2.
Bussey, W. H. (1910). „Tables of Galois fields of order less than 1,000”. Bulletin of the American Mathematical Society. 16 (4): 188—206. doi:10.1090/S0002-9904-1910-01888-7.
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (Second izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
L. Mullen, Garry; Mummert, Carl (2007), Finite Fields and Applications I, Student Mathematical Library (AMS), ISBN 978-0-8218-4418-2
Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013). Handbook of Finite Fields. CRC Press. ISBN 978-1-4398-7378-6.
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite Fields (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39231-0.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Konačna polja na Volframa istraživanja.

[1] This notation was introduced by E. H. Moore in an address given in 1893 at the International Mathematical Congress held in Chicago Mullen & Panario 2013, p. 10

[1]

Normativna kontrola
Državne	Francuska BnF podaci Izrael Sjedinjene Države
Ostale	Enciklopedija Britanika