Ojlerov identitet

Ojlerov identitet^{[n 1]} je u matematici naziv za formulu:

e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos {\varphi }+\mathrm {i} \sin {\varphi }

koja predstavlja vezu između trigonometrijskih funkcija i kompleksnih brojeva. Broj $\mathrm {e} \,$ je Ojlerov broj (baza prirodnog logaritma), $\mathrm {i} \,$ imaginara jedinica kompleksnih brojeva, a $\varphi \in \mathbb {R}$ ugao.^[3]^[4]^[5]

Jednačina se prvi put pojavila u knjizi Leonarda Ojlera „Introductio“ objavljenoj u Lozani (Švajcarska) po kome je i dobila ime.

Iako je prvobitna pretpostavka bila $\varphi \in \mathbb {R}$ , jednačina važi i za $\varphi \in \mathbb {C}$ .

Za ugao $\varphi =\pi \,$ dobija se identitet

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1\,

ili malo drugačiji oblik Ojlerovog identiteta^[6]^[7]

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,

se često naziva najdivnijom formulom matematike jer povezuje fundamentalne brojeve $\mathrm {i}$ , $\pi \,$ , $\mathrm {e} \,$ , 1, i 0 (nula), osnovne matematičke radnje, sabiranje, množenje i stepenovanje, i najvažniju relaciju =, i ništa više.^[8]^[9]^[10]

Postoji nekoliko metoda kojima se može doći do ove jednačine koristeći uobičajena svojstva eksponencijalne funkcije (izvod, multiplikativno svojstvo, i slično). Danas se Ojlerov identitet često koristi kako bi se za kompleksne vrednosti argumenta $z=x+\mathrm {i} y\,$ prvo definisala eksponencijalna funkcija:

\mathrm {e} ^{x+\mathrm {i} y}:=\mathrm {e} ^{x}(\cos y+\mathrm {i} \sin y)\,

a zatim se iz te definicije dalje dokazuju njena osnovna svojstva.

Prva metoda[uredi | uredi izvor]

Posmatramo funkciju:

f(x)={\frac {\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}

Imenilac nikada nije nula, jer važi:

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\mathrm {e} ^{0}=1

Ojlerov identitet tvrdi da je $f(x)=1\,$ za sve vrednosti $x\,$ .

Prvo dokazujemo da je funkcija $f(x)\,$ konstantna, odnosno da je njen izvod $f'(x)=0\,$ za sve $x\,$ :

Znamo da je izvod od $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ :

\left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\right]'=\mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}

Sledi:

$f'(x)\,$	$={\frac {(-\sin x+\mathrm {i} \cdot \cos x)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-(\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x)\cdot \mathrm {i} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$={\frac {-\sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} \cdot \cos x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin x\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}{(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}}}$
	$=0\,$

$f'(x)=0\,$ znači da se funkcija nikada ne menja. Da bi dobili njenu vrednost dovoljno je izračunati je za neku vrednost po izboru, u našem slučaju biće to $0\,$ :

f(0)={\frac {\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 0}}}={\frac {1+0}{\mathrm {e} ^{0}}}={\frac {1}{1}}=1

Dobili smo dakle željeni rezultat.

Druga metoda[uredi | uredi izvor]

Druga metoda se koristi redovima za $\cos \,$ , $\sin \,$ i $\mathrm {e} ^{x}\,$ . Znamo da ove tri funkcije možemo napisati kao:

\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{2N+1}{\frac {x^{k}}{k!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

\cos(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

\sin(x)=\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}},\ \ \ \ N\rightarrow \infty

Iz toga sledi da $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\,$ možemo podeliti:

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\sum _{l=0}^{2N+1}{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{l}}{l!}}=\sum _{m=0}^{N}(-1)^{m}{\frac {\varphi ^{2m}}{(2m)!}}+\mathrm {i} \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\frac {\varphi ^{2m+1}}{(2m+1)!}}

Za $N\rightarrow \infty \,$ dobijamo $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$ , što je naš traženi rezultat.

Matematička lepota[uredi | uredi izvor]

Ojlerov identitet se često navodi kao primer duboke matematičke lepote.^[11] Tri osnovne aritmetičke operacije se dešavaju tačno jednom: sabiranje, množenje i stepenovanje. Identitet takođe povezuje pet osnovnih matematičkih konstanti:^[12]

Broj 0, aditivni identitet.
Broj 1, multiplikativni identitet.^[13]^[14]^[15]
Broj $π$ ( $π$ = 3.1415...), osnovna konstanta kruga.
Broj $e$ ( $e$ = 2.718...), poznat i kao Ojlerov broj, koji se široko javlja u matematičkoj analizi.
Broj $i$ , imaginarna jedinica kompleksnih brojeva.

Dalje, jednačina je data u obliku skupa izraza jednakog nuli, što je uobičajena praksa u nekoliko oblasti matematike.

Profesor matematike na Univerzitetu Stenford Kit Devlin je rekao: „poput Šekspirovog soneta koji hvata samu suštinu ljubavi, ili slike koja otkriva lepotu ljudskog oblika koji je mnogo više od površnosti, Ojlerova jednačina seže u samu dubine postojanja“.^[16] Pol Nahin, profesor emeritus na Univerzitetu u Nju Hempširu, koji je napisao knjigu posvećenu Ojlerovoj formuli i njenoj primeni u Furijeovoj analizi, opisuje Ojlerov identitet kao ustrojstvo „izuzetne lepote“.^[17]

Pisac matematike Konstans Rid iznela je mišljenje da je Ojlerov identitet „najpoznatija formula u celoj matematici“.^[18] Bendžamin Pirs, američki filozof, matematičar i profesor na Univerzitetu Harvard iz 19. veka, nakon što je dokazao Ojlerov identitet tokom predavanja, izjavio je da je identitet „apsolutno paradoksalan; ne možemo da ga razumemo, i ne znamo šta znači, ali mi smo to dokazali i stoga znamo da to mora biti istina“.^[19]

Anketa čitalaca koju je sproveo časopis The Mathematical Intelligencer 1990. godine nazvala je Ojlerov identitet „najlepšom teoremom u matematici“.^[20] U drugoj anketi čitalaca koju je sproveo časopis Physics World 2004. godine, Ojlerov identitet je povezan sa Maksvelovim jednačinama (elektromagnetizma) kao „najveća jednačina ikada“.^[21]

Najmanje tri knjige popularne matematike su objavljene o Ojlerovom identitetu:

Neverovatna formula dr Ojlera: Leči mnoge matematičke bolesti, Pol Nahin (2011)^[22]
Najelegantnija jednačina: Ojlerova formula i lepota matematike, Dejvid Stip (2017)^[23]
Ojlerova pionirska jednačina: Najlepša teorema u matematici, Robin Vilson (2018).^[24]

Napomene[uredi | uredi izvor]

^ Termin „Ojlerova identičnost” (ili „Ojlerov identitet”) takođe se drugde koristi za označavanje drugih koncepata, uključujući srodnu opštu formulu $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] i formulu Ojlerovog produkta.^[2]

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Pristupljeno 7. 9. 2018.
^ Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-10.
^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated izd.). Sterling Publishing Company. str. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
^ O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e”. MacTutor History of Mathematics.
^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035 
^ Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Arhivirano (PDF) iz originala 2021-06-23. g.
^ Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight (na jeziku: engleski). Penguin. str. 155.
^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated izd.). Oxford University Press. str. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.
^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated izd.). Prometheus Books. str. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
^ Gallagher, James (13. 2. 2014). „Mathematics: Why the brain sees maths as beauty”. BBC News Online. Pristupljeno 26. 12. 2017. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Paulos, 1992, p. 117.
^ Weisstein, Eric W. „Identity Element”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2019-12-01.
^ „Definition of IDENTITY ELEMENT”. www.merriam-webster.com. Pristupljeno 2019-12-01.
^ „Identity Element”. www.encyclopedia.com. Pristupljeno 2019-12-01.
^ Nahin, 2006, p. 1.
^ Nahin, 2006, p. xxxii.
^ Reid, chapter e.
^ Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
^ Wells 1990
^ Crease 2004
^ Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (na jeziku: engleski). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
^ Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (na jeziku: engleski) (First izd.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.
^ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (na jeziku: engleski). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer. Conway, John H.; Guy, Richard (16. 3. 1998). The Book of Numbers. Springer. str. 254. ISBN 978-0-387-97993-9. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America. Dunham, William (31. 7. 2020). Euler: The Master of Us All. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-88385-328-3. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
Maor, Eli , $e$ : The Story of a number, Princeton University Press. . 1998. ISBN 978-0-691-05854-2. Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć)
Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press. Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books. Paulos, John Allen (1992). Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin. ISBN 978-0-14-014574-8.
Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America. Edward Sandifer, C. (30. 8. 2007). How Euler Did It. str. 4. ISBN 978-0-88385-563-8. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. S2CID 121503263. doi:10.1007/BF03024015.
Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press
Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 
Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics (2nd izd.). Wiley. str. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

[3] Termin „Ojlerova identičnost” (ili „Ojlerov identitet”) takođe se drugde koristi za označavanje drugih koncepata, uključujući srodnu opštu formulu $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] i formulu Ojlerovog produkta.^[2]

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Pristupljeno 7. 9. 2018.

[:1-4] Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-10.

[Pickover-5] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated izd.). Sterling Publishing Company. str. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166

[OConnor-6] O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e”. MacTutor History of Mathematics.

[7] Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035 

[8] Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Arhivirano (PDF) iz originala 2021-06-23. g.

[9] Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight (na jeziku: engleski). Penguin. str. 155.

[10] Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated izd.). Oxford University Press. str. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.

[11] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated izd.). Prometheus Books. str. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.

[Gallagher2014-12] Gallagher, James (13. 2. 2014). „Mathematics: Why the brain sees maths as beauty”. BBC News Online. Pristupljeno 26. 12. 2017. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[13] Paulos, 1992, p. 117.

[14] Weisstein, Eric W. „Identity Element”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2019-12-01.

[15] „Definition of IDENTITY ELEMENT”. www.merriam-webster.com. Pristupljeno 2019-12-01.

[:0-16] „Identity Element”. www.encyclopedia.com. Pristupljeno 2019-12-01.

[17] Nahin, 2006, p. 1.

[18] Nahin, 2006, p. xxxii.

[19] Reid, chapter e.

[20] Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.

[21] Wells 1990

[22] Crease 2004

[23] Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (na jeziku: engleski). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.

[24] Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (na jeziku: engleski) (First izd.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.

[25] Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (na jeziku: engleski). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

[n 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[1]

[2]