Polje algebarskih brojeva

U apstraktnoj algebri polje algebarskih brojeva se označava sa F i predstavlja konačno proširenje polja racionalnih brojeva Q, to jest, polje koje sadrži polje racionalnih brojeva i ima konačnu dimenziju, kada se posmatra kao vektorski prostor nad Q. Ova polja su vrlo važna u teoriji brojeva i predstavljaju centar studija koja se bave teorijom algebarskih brojeva.

Pojam se oslanja na sam koncept polja u matematici, koje predstavlja algebarsku strukturu sačinjenu od skupa elemenata i dve operacije definisane na tom skupu. Te operacije se nazivaju sabiranje i množenje i da bi činile polje moraju imati svojstvo distributivnosti.

Koncept polja je uveo Dedekind, koji je koristio nemačku reč Körper (telo) za ovaj pojam. Najjednostavniji primer je upravo polje racionalnih brojeva Q. Polje realnih brojeva R i polje kompleksnih brojeva C su takođe primeri polja algebarskih brojeva.

Definicija

Preduslovi

Glavni članci: Field i Vektorski prostor

Pojam polja algebarskih brojeva oslanja se na koncept polja. Polje se sastoji od skupa elemenata zajedno sa dve operacije, naime sabiranje i množenje, i neke pretpostavke distributivnosti. Istaknuti primer polja je polje racionalnih brojeva, koje se obično označava kao$\mathbb {Q}$, zajedno sa uobičajenim operacijama sabiranja i množenja.

Drugi pojam potreban za definisanje polja algebarskih brojeva su vektorski prostori. U meri u kojoj je ovde potrebno, vektorski prostori se mogu smatrati sastavljenim od sekvenci (ili torki)

(x₁, x₂, …)

čije su komponente elementi fiksnog polja, kao što je polje $\mathbb {Q}$. Bilo koje dve takve sekvence se mogu sabrati dodavanjem komponenti jedna po jedna. Štaviše, bilo koja sekvenca se može pomnožiti sa jednim elementom c fiksnog polja. Ove dve operacije poznate kao sabiranje vektora i skalarno množenje zadovoljavaju brojna svojstva koja služe za apstraktno definisanje vektorskih prostora. Vektorskim prostorima je dozvoljeni da budu „beskonačno-dimenzionalni”, što znači da su sekvence koje čine vektorske prostore beskonačne dužine. Ako se, međutim, vektorski prostor sastoji od konačnih nizova

(x₁, x₂, …, x_n),

za vektorski prostor se kaže da je konačne dimenzije, n.

Definicija

Polje algebarskih brojeva (ili jednostavno polje brojeva) je proširenje polja konačnog stepena polja racionalnih brojeva. Ovde stepen označava dimenziju polja kao vektorskog prostora preko $\mathbb {Q}$.

Primeri

• Najmanje i najosnovnije polje brojeva je polje $\mathbb {Q}$ racionalnih brojeva. Mnoga svojstva opštih brojevnih polja su modelovana prema svojstvima $\mathbb {Q}$.
• Gausovi racionali, označeni kao $\mathbb {Q} (i)$ (čita se kao „$\mathbb {Q}$ spojeno $i$”), čine prvi netrivijalni primer brojnog polja. Njegovi elementi su izrazi forme

  $a+bi$

  gde su a i b racionalni brojevi i i je imaginarna jedinica. Takvi izrazi mogu da se dodaju, oduzimaju i množe u skladu sa uobičajenim pravilima aritmetike, a zatim se pojednostavljuju korišćenjem identiteta

  $i^{2}=-1$.

  Eksplicitno,

  ${\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}$

  Gausovi racionalni brojevi različiti od nule su inverzibilni, što se može videti iz identiteta

  $(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

  Iz toga sledi da Gausovi racionali formiraju brojno polje koje je dvodimenzionalno kao vektorski prostor nad $\mathbb {Q}$.

• Uopštenije, za bilo koji beskvadratni ceo broj $d$, kvadratno polje $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ je brojevno polje dobijeno pridruživanjem kvadratnog korena od $d$ polju racionalnih brojeva. Aritmetičke operacije u ovom polju su definisane u analogiji sa slučajem Gausovih racionalnih brojeva, $d=-1$.
• Kružno polje

  $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$, where $\zeta _{n}=\exp {2\pi i/n}$

  je brojno polje dobijeno iz $\mathbb {Q}$ spajanjem primitivnog $n$-tog korena jedinice $\zeta _{n}$. Ovo polje sadrži sve kompleksne n-te korene jedinice i njegova dimenzija preko $\mathbb {Q}$ je jednaka $\varphi (n)$, gde je $\varphi$ Ojlerova fi funkcija.

Vidi još

• Polje (matematika)
• Apstraktna algebra
• Algebarska struktura
• Algebarski prsten

Литература

• Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag 
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (2nd изд.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3 изд.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001 
• André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Kummer extension”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 85–93.
• Ishida, Makoto (1976). The genus fields of algebraic number fields. Lecture Notes in Mathematics. 555. Springer-Verlag. ISBN 3-540-08000-7. Zbl 0353.12001. 
• Janusz, Gerald (1973). Algebraic Number Fields. Pure and Applied Mathematics. 55. Academic Press. ISBN 0-12-380250-4. Zbl 0307.12001. 
• Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66957-4. MR 1761696. Zbl 0949.11002. 
• Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0 
• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 , especially Chapter 13
• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), „Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (na jeziku: nemački), 5: 225—231, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01, S2CID 121547404, doi:10.1007/BF02952522 
• Ax, James (1968), „The elementary theory of finite fields”, Ann. of Math., 2, 88 (2): 239—271, JSTOR 1970573, doi:10.2307/1970573 
• Baez, John C. (2002), „The octonions”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145—205, S2CID 586512, arXiv:math/0105155 , doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X 
• Banaschewski, Bernhard (1992), „Algebraic closure without choice.”, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383—385, Zbl 0739.03027, doi:10.1002/malq.19920380136 
• Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (3 izd.), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4 
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press . See especially Book 3 (ISBN 0-521-27288-2) and Book 6 (ISBN 0-521-27291-2).
• Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004 
• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116, doi:10.1007/978-3-642-61693-8 
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8 
• Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30484-9, MR 861410, doi:10.1017/CBO9781139171885 
• Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8 
• Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press 
• Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd izd.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008 
• Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ur., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (na jeziku: nemački), 1 (2nd izd.), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1 
• Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (na jeziku: nemački), Vieweg, JFM 50.0042.03 
• Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd izd.), Springer 
• Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Field”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hensel, Kurt (1904), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (na jeziku: nemački), 128: 1—32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd izd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), „Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]”, Invent. Math., 70 (1): 71—98, Bibcode:1982InMat..70...71J, MR 0679774, S2CID 119378923, doi:10.1007/bf01393199 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ur., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1 
• Kiernan, B. Melvin (1971), „The development of Galois theory from Lagrange to Artin”, Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40—154, MR 1554154, S2CID 121442989, doi:10.1007/BF00327219 
• Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3rd izd.), Springer, ISBN 0-387-95385-X, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053 
• Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4 
• Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (2nd izd.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448 , ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060 
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225 
• Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, ISBN 0-387-96640-4, MR 919949, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5 
• Moore, E. Hastings (1893), „A doubly-infinite system of simple groups”, Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73—78, MR 1557275, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X  
• Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, ISBN 3-540-13885-4, MR 769847, doi:10.1007/BFb0101548 
• Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7 
• Scholze, Peter (2014), „Perfectoid spaces and their Applications”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9, Arhivirano iz originala (PDF) 25. 08. 2019. g., Pristupljeno 19. 12. 2021 
• Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (2nd izd.), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 554237 
• Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001 
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003 
• Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008 
• Steinitz, Ernst (1910), „Algebraische Theorie der Körper” [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1910 (137): 167—309, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03, S2CID 120807300, doi:10.1515/crll.1910.137.167 
• Tits, Jacques (1957), „Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes”, Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, str. 261—289 
• van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer 
• von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe 
• Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer 
• Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd izd.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7 
• Weber, Heinrich (1893), „Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie”, Mathematische Annalen (na jeziku: nemački), 43 (4): 521—549, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01, S2CID 120528969, doi:10.1007/BF01446451 

Spoljašnje veze

• Polja - definicija i osnovna svojstva.
• Dirichlet’s unit theorem, Keith Conrad