Raselov paradoks

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila zasnovana aksiomatski pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Međutim ona je implicitno u sebi sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedan bio da se za svako svojstvo može formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo. Polazeći od ovog aksioma Bertrand Rasel je 1903. godine konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova.[1][2][3] Paradoks je već nezavisno otkrio nemački matematičar Ernst Zermelo 1899. godine.[4] Međutim, Zermelo nije objavio ideju, koja je ostala poznata samo Davidu Hilbertu, Edmundu Huserlu i drugim akademicima sa Univerziteta u Getingenu. Krajem 1890-ih, Georg Kantor – koji se smatra osnivačem moderne teorije skupova – već je shvatio da će njegova teorija dovesti do kontradikcije, što je pismom rekao Hilbertu i Ričardu Dedekindu.[5]

Taj paradoks se može iskazati na više načina i u više formi a suština je sledeća: Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi“. Ovo svojstvo je vrlo prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi“ što je kontradikcija. Ako pak ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija.

Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematičke istine i neprotivurečnost Kantorove teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih posebno izdvajamo Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (Rasel - logicizam, Brauer - intuicionalizam, Hilbert - formalizam). Jedna varijanta iskazivanja Raselovog paradoksa je: Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije. Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa).

Prema principu neograničenog razumevanja, za bilo koje dovoljno dobro definisano svojstvo postoji skup svih i samo objekata koji imaju to svojstvo. Neka je R skup svih skupova koji nisu sami članovi. Ako R nije član samog sebe, onda njegova definicija podrazumeva da je član samog sebe; ako je član samog sebe, onda nije član samog sebe, budući da je skup svih skupova koji nisu članovi samih sebe. Nastala kontradikcija je Raselov paradoks. U simbolima:

Rasel je takođe pokazao da se verzija paradoksa može izvesti u aksiomatskom sistemu koji je konstruisao nemački filozof i matematičar Gotlob Frege, čime je potkopavao Fregeov pokušaj da svede matematiku na logiku i dovodi u pitanje logistički program. Dva uticajna načina za izbegavanje paradoksa su oba predložena 1908. godine: Raselova sopstvena teorija tipa i Zermelova teorija skupova. Konkretno, Zermelovi aksiomi su ograničavali princip neograničenog razumevanja. Uz dodatne doprinose Abrahama Frenkela, Zermelova teorija skupova se razvila u sada standardnu Zermelo–Frenkelovu teoriju skupova (poznatu kao ZFC kada uključuje aksiom izbora). Glavna razlika između Raselovog i Zermelovog rešenja paradoksa je u tome što je Zermelo modifikovao aksiome teorije skupova zadržavajući standardni logički jezik, dok je Rasel modifikovao sam logički jezik. Ispostavilo se da je jezik ZFC-a, uz pomoć Toralfa Skolema, jezik logike prvog reda.[6]

Formalna prezentacija[uredi | uredi izvor]

Termin „naivna teorija skupova“ se koristi na razne načine. U jednoj upotrebi, naivna teorija skupova je formalna teorija, koju se može nazvati NST, koja je formulisana na jeziku prvog reda sa binarnim nelogičkim predikatom , a to uključuje aksiom ekstenzivnosti:

i šema aksioma neograničenog razumevanja:

za bilo koju formulu sa promenljivom x kao slobodnom promenljivom unutar . Može se zameniti za . Zatim egzistencijalnom instancijom (ponovnom upotrebom simbola )) i univerzalnom instancijom se dobija

kontradikcija. Stoga je NST nedosledan.[7]

Istorija[uredi | uredi izvor]

Rasel je otkrio paradoks u maju[8] ili junu 1901.[9] Prema sopstvenom izveštaju u svom Uvodu u matematičku filozofiju iz 1919. godine, on je „pokušao da otkrije neki nedostatak u Kantorovom dokazu da ne postoji najveći kardinal“.[10] U pismu iz 1902.[11] on je Gotlobu Fregeu najavio otkriće paradoksa u Fregeovom Begriffsschrift iz 1879. i uokvirio problem u smislu logike i teorije skupova, a posebno u smislu Fregeove definicije funkcije:[a][b]

Postoji samo jedna tačka u kojoj sam naišao na poteškoću. Navodite (str. 17 [str. 23 iznad]) da i funkcija može delovati kao neodređeni element. U to sam ranije verovao, ali mi se sada ovo gledište čini sumnjivim zbog sledeće kontradiktornosti. Neka je w predikat: takav predikat da se ne može predikovati sam od sebe. Može li w biti predikovano samo po sebi? Iz svakog odgovora sledi njegova suprotnost. Stoga moramo zaključiti da w nije predikat. Isto tako, ne postoji klasa (kao totalitet) onih klasa koje, svaka uzeta kao totalitet, ne pripadaju sebi. Iz ovoga zaključujem da pod određenim okolnostima definitivna kolekcija [Menge] ne čini totalitet.

Rasel je to opširno obradio u svojim Principima matematike iz 1903. godine, gde je ponovio svoj prvi susret sa paradoksom:[12]

Pre nego što se oprostimo od fundamentalnih pitanja, potrebno je detaljnije ispitati singularnu kontradikciju, već pomenutu, u pogledu predikata koji sami po sebi nisu predvidljivi. ... Mogu da napomenem da sam doveden do toga u nastojanju da izmirim Kantorov dokaz...

Rasel je pisao Fregeu o paradoksu baš kada je Frege pripremao drugi tom svoje Grundgesetze der Arithmetik.[13] Frege je veoma brzo odgovorio Raselu; pojavilo se njegovo pismo od 22. juna 1902, sa van Hajenurtovim komentarom u Hajenurtu 1967:126–127. Frege je zatim napisao dodatak u kome je priznao postojanje paradoksa,[14] i predložio rešenje koje bi Rasel podržao u svojim Principima matematike,[15] ali su kasnije neki to smatrali nezadovoljavajućim.[16] Sa svoje strane, Rasel je imao svoj rad već u štampariji, te je napisao dodatak o doktrini tipova.[17]

Ernst Zermelo je u svom delu iz 1908 Novi dokaz mogućnosti dobrog uređenja (objavljenom u isto vreme kada je objavio „prvu aksiomatsku teoriju skupova“)[18] polagao pravo na prethodno otkriće antinomije u Kantorovoj naivnoj teoriji skupova. On navodi: „A ipak, čak i elementarni oblik koji je Rasel dao antinomijama teorijskih skupova mogao je da ih ubedi [J. Kenig, Jourdain, F. Bernstajn] da rešenje ovih poteškoća ne treba tražiti u predaji dobrog uređivanja ali samo u odgovarajućem ograničenju pojma skupa“.[19] U fusnoti 9 on iznosi svoju tvrdnju:

91903, pp. 366–368. Ja sam, međutim, otkrio ovu antinomiju, nezavisno od Rasela, i saopštio sam je pre 1903. između ostalih i profesoru Hilbertu.[20]

Frege je Hilbertu poslao kopiju svoje Grundgesetze der Arithmetik; kao što je gore navedeno, Fregeov poslednji tom pominje paradoks koji je Rasel preneo Fregeu. Nakon što je primio Fregeov poslednji tom, 7. novembra 1903, Hilbert je napisao pismo Fregeu u kome je rekao, pozivajući se na Raselov paradoks, „Verujem da ga je dr Zermelo otkrio pre tri ili četiri godine“. Pisani izveštaj o Zermelovom stvarnom argumentu otkriven je u delu Nachlass Edmunda Huserla.[21]

Napomene[uredi | uredi izvor]

  1. ^ In the following, p. 17 refers to a page in the original Begriffsschrift, and page 23 refers to the same page in van Heijenoort 1967
  2. ^ Remarkably, this letter was unpublished until van Heijenoort 1967—it appears with van Heijenoort's commentary at van Heijenoort 1967:124–125.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Russell, Bertrand, "Correspondence with Frege}. In Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence. Translated by Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
  2. ^ Russell, Bertrand. The Principles of Mathematics. 2d. ed. Reprint, New York: W. W. Norton & Company, 1996. (First published in 1903.)
  3. ^ Irvine, A. D., H. Deutsch (2021). "Russell's Paradox". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL=<https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/>
  4. ^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.
  5. ^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1985. ISBN 3-764-31770-1.
  6. ^ A.A. Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Foundations of Set Theory. Elsevier. str. 156—157. ISBN 978-0-08-088705-0. 
  7. ^ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). „Russell's Paradox”. Ur.: Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
  8. ^ The Autobiography of Bertrand Russell, George Allen and Unwin Ltd., 1971, page 147: "At the end of the Lent Term [1901], I went back to Fernhurst, where I set to work to write out the logical deduction of mathematics which afterwards became Principia Mathematica. I thought the work was nearly finished but in the month of May [emphasis added] I had an intellectual set-back […]. Cantor had a proof that there is no greatest number, and it seemed to me that the number of all the things in the world ought to be the greatest possible. Accordingly, I examined his proof with some minuteness, and endeavoured to apply it to the class of all the things there are. This led me to consider those classes which are not members of themselves, and to ask whether the class of such classes is or is not a member of itself. I found that either answer implies its contradictory".
  9. ^ Godehard Link (2004), One hundred years of Russell's paradox, str. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, Pristupljeno 2016-02-22 
  10. ^ Russell 1920, str. 136
  11. ^ Gottlob Frege; Michael Beaney (1997), The Frege reader, str. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, Pristupljeno 2016-02-22 . Also van Heijenoort 1967:124–125
  12. ^ Russell 1903, str. 101
  13. ^ cf van Heijenoort's commentary before Frege's Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126.
  14. ^ van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126 ; Frege starts his analysis by this exceptionally honest comment : "Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion" (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, in The Frege Reader, p.279, translation by Michael Beaney
  15. ^ cf van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126. The added text reads as follows: " Note. The second volume of Gg., which appeared too late to be noticed in the Appendix, contains an interesting discussion of the contradiction (pp. 253–265), suggesting that the solution is to be found by denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution, the reader is strongly recommended to examine Frege's argument on the point" (Russell 1903:522); The abbreviation Gg. stands for Frege's Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
  16. ^ Livio states that "While Frege did make some desperate attempts to remedy his axiom system, he was unsuccessful. The conclusion appeared to be disastrous...." Livio 2009:188. But van Heijenoort in his commentary before Frege's (1902) Letter to Russell describes Frege's proposed "way out" in some detail—the matter has to do with the " 'transformation of the generalization of an equality into an equality of courses-of-values. For Frege a function is something incomplete, 'unsaturated' "; this seems to contradict the contemporary notion of a "function in extension"; see Frege's wording at page 128: "Incidentally, it seems to me that the expression 'a predicate is predicated of itself' is not exact. ...Therefore I would prefer to say that 'a concept is predicated of its own extension' [etc]". But he waffles at the end of his suggestion that a function-as-concept-in-extension can be written as predicated of its function. van Heijenoort cites Quine: "For a late and thorough study of Frege's "way out", see Quine 1955": "On Frege's way out", Mind 64, 145–159; reprinted in Quine 1955b: Appendix. Completeness of quantification theory. Loewenheim's theorem, enclosed as a pamphlet with part of the third printing (1955) of Quine 1950 and incorporated in the revised edition (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)
  17. ^ Russell mentions this fact to Frege, cf van Heijenoort's commentary before Frege's (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126
  18. ^ van Heijenoort's commentary before Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967:199
  19. ^ van Heijenoort 1967:190–191. In the section before this he objects strenuously to the notion of impredicativity as defined by Poincaré (and soon to be taken by Russell, too, in his 1908 Mathematical logic as based on the theory of types cf van Heijenoort 1967:150–182).
  20. ^ Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering in van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 reports that Zermelo "discovered Russell's paradox independently as early as 1900"; Livio in turn cites Ewald 1996 and van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009:268).
  21. ^ Rang, B.; Thomas, W. (1981). „Zermelo's discovery of the "Russell Paradox"”. Historia Mathematica. 8: 15—22. doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1. 

Literatura[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]