Funkcija optičkog prenosa

Funkcija optičkog prenosa, skr. FOP (eng. Optical transfer function, OTF) je složena matematička funkcija koja opisuje optičku sliku objekta čija površina je beskrajan niz paralelnh svetlih i tamnih linija sa sinusoidnim rasporedom zračenja. Mada FOP opisuje sliku samo ove jedne vrste objekta, smatra se opštim pokazateljem nivoa kakvoće fizičke optičke slike.^[1] Grafički prikaz FOP, najčešće u vidu njenog dela koji opisuje oštrinu slike (funkcija prenosa visine, FPV), je neposredan, lako razumljiv pokazatelj kakvoće optičke slike. Zbog toga je u širokoj upotrebi kako u optičkim udžbenicima i publikacijama, tako i u sferi proizvodnje optičkih instrumenata.

U zavisnosti od optičke slike koju koristi za proračun, FOP može biti difrakciona i geometrijska. Prva koristi difrakcionu, tj. fizičku optičku sliku, a druga geometrijsku sliku aberacije, tj. zasniva se na rasporedu tačaka zraka, Za razliku od difrakcione FOP, geometrijska FOP ima samo ograničenu upotrebu. Predmet daljeg teksta je difrakciona FOP.

Opis funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

FOP se može opisati kroz opis njenih subjekata - sinusoidnog objekta i njegove slike - kroz oblik u kome se predstavlja rezultat do kog se njome dolazi i, najzad, kroz način na koji se do ovih rezultata dolazi, tj. njen matematički oblik i postupak.

Objekt funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

FOP ne koristi stvarni objekt, nego njegov matematički oblik. Ovaj objekt je neprekidna sinusoidna promena jačine zračenja, tj. predstavljen je beskrajnim nizom tamnih i svetlih linija, čiji sjaj se postepeno menja od najvišeg (u sredini svetle linije) do najnižeg (sredina tamne linije). Širina sinusoidnog perioda, tj. širina svetlih i tamnih linija se kreće u rasponu od beskonačno širokih do beskonačno uskih. Ako su osobine optičkog otvora poznate, putem FOP se dolazi do svojstava slike koju on stvara kao funkcije učestalosti objekta, tj. kao funkcije širine svetlih i tamnih linija.

Drugim rečima, FOP koristi ne jedan objekt, nego veći broj objekata različitih širina linija, na osnovu kojih se dolazi do neprekidne linije (tj. grafikona) koja opisuje oštrinu slike u rasponu učestalosti u kom optički otvor stvara prepoznatljivu sliku.

Slika funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

Sliku FOP opisuje nekoliko činilaca:

(1) ona iskazuje prenos visine signala u odnosu na visinu u slici stvorenu u savršenom optičkom otvoru,

(2) takođe iskazuje bočni pomak slike u odnosu na savršeni optički otvor,

(3) ona je, kao i sama FOP i njen objekt, izražena ne u prostornom (stvarnom) domenu, nego u domenu učestalosti (frekvencije),

(4) ona je stvorena u nekoherentnoj svetlosti, i

(5) ona je opšte merilo kakvoće optičke slike

Visina i pomak signala[uredi | uredi izvor]

SLIKA 1: FUNKCIJA OPTIČKOG PRENOSA ZA JEDNU UČESTANOST

U najjednostavnjem obliku, FOP se može predstaviti kao visina signala i položaja ove slike u datom optičkom otvoru u odnosu na na iste u slici u savršenom optičkom otvoru, u rasponu učestalosti signala od beskrajno širokog do širine na nivou učestalosti reza, na kojoj kontrast slike pada na nulu, tj. sinusoid postaje prava linija. Ovako izražena visina signala predstavlja visinu, ili veličinu FOP. Bočni pomak slike predstavlja njenu fazu.

Slika desno pokazuje elemente FOP za jednu učestalost; jasnoće radi, slika ima jedinično uvećanje (bitno je naglasiti da visina - V₁/V₂ - i fazni pomak Δ signala nisu zbir, nego dva komplementarna svojstva FOP koja daju puni opis slike).

Drugim rečima, FOP izražava ova dva svojstva slike u rasponu učestalosti sinusoida od beskonačno širokih linija, za koje je prenos visine uvek potpun (jedan), do širine linija pri kojoj visina sinusoida slike pada na nulu, tj. linije se gube i slika postaje ravnomerno obasjana površina.

Visina signala u odnosu na istu u savršenom otvoru je najbitnije svojstvo slike, jer predstavlja meru njene oštrine, saglasno jednostavnom izrazu:

K=(V_v-V_d)/(V_v+V_d) ........ (1)

gde je K kontrast (oštrina) slike, V_v visina (amplituda) vrha, i V_d visina dna signala (visina vrha je jedinična vrednost, a visina dna je izražena u odnosu na nju).

U smislu stvarnih objekata, pošto je visina sinusoidnog signala mera oštrine (kontrasta) slike, FOP daje meru kakvoće slike u rasponu od najvećih objekata do objekata na granici razdvojne moći. Ako FOP optičkog sklopa pada na nulu pre FOP savršenog optičkog otvora, ona takođe ustanovljava novi, niži nivo razdvojne moći optičkog sklopa.

Pošto linije predstavljaju sinusoidni raspored zračenja, pomak linija u odnosu na sliku u savršenom optičkom otvoru - koja se u ovom pogledu poklapa sa Gausovskom slikom - predstavlja fazu FOP. Kada se ova faza razlikuje od nule, postoji bočni pomak fizičke u odnosu na Gausovsku sliku normalan na smer pružanja linija. Za srazmerno mala izobličenja FŠT, fazni deo funkcije je ili nula, ili zanemarljivo mali, i FOP je u potpunosti predstavljena njenim delom koji izražava prenos visine sinusoida.

Domen učestalosti[uredi | uredi izvor]

Mada je zasnovana na svojstvima fizičke, ili difrakcione slike objekta-sinusoida, koji se stvara konvolucijom (zbiranjem) funkcije širenja tačke (FŠT) optičkog sklopa sa jedne, i Gausovske (geometrijske) slike objekta sa druge strane, FOP ne koristi neposredno fizička svojstva objekta i slike, nego njihov oblik u domenu učestalosti (frekvencije), tzv. spektrum (uopšteno, niz učestalosti koje kombinovane u Furijeovoj transformaciji proizvode određenu liniju ili oblik). Za sinusoid, na primer, spektrum se sastoji od samo jedne učestalosti, definisane periodom i visinom (amplitudom), koja je, naravno, učestalost samog sinusoidnog signala.

Nekoherentna svetlost[uredi | uredi izvor]

Činjenica da FOP opisuje svojstva slike stvorene konvolucijom Gausovske slike objekta i FŠT, tj. energije slike tačke optičkog sklopa, govori da FOP važi za nekoherentnu svetlost, te se punim imenom može zvati nekoherentna funkcija optičkog prenosa (optička slika u koherentnoj svetlosti je definisana kao kvadrat zbirne amplitude u slici, a funkcija koja opisuje amplitudu slike sinusoida u koherentnoj svetlosti zove se funkcija koherentnog prenosa).

Merilo kakvoće optičke slike[uredi | uredi izvor]

Izobličenja FŠT zbog optičkih aberacija, neravnomernog prenosa amplitude svetlosnih talasa kroz optički otvor - gde su najčešći slučaj zakloni u optičkom otvoru - i drugih činilaca, utiču na kakvoću ove difrakcione slike. U načelu, konvolucija Gausovske slike sinusoidnog objekta i FŠT optičkog otvora, uzrokuje širenje energije iz sjajnih u tamne linije, snižavajući oštrinu nastale fizičke slike i njenu razdvojnu moć, čak i u slučaju tzv. savršenog optičkog otvora. Što je energija FŠT više raširena aberacijama i drugim činiocima sa sličnim efektom, to su veće i negativane posledice po kakvoću slike.

Grafikon funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

Uspravna skala FOP grafikona je za visinu signala - tj. za amplitudu sinusoida energije zračenja koji predstavlja objekt FOP - dok je vodoravna skala za učestalost (frekvenciju) ovog sinusoida.

Skala visine je data od nule do jedan, tj. od nivoa na kom se slika potpuno gubi, postajući ravnomerno osvetljena površina, do novoa na kom je visina (eng. modulus) signala jednaka visini u slici stvorenoj u savršenom optičkom otvoru.

Skala učestalosti signala, koja se po pravilu obeležava slovom grčkog alfabeta ν (ni), je obično takođe data od 0 do 1, kao broj obrnuto srazmeran difrakcionoj razdvojnoj moći optičkog otvora (λ/D za savršen kružni optički otvor, gde je λ talasna dužina svetlosti, a D prečnik otvora). Drugim rečima, vodoravna skala se kreće od 0 za beskonačno širok sinusoid (tj. beskonačno široke svetle i tamne linije objekta) do 1 za širinu linija - gde je širina linije razmak između dve tačke sinusoida u istoj fazi, tj. jednaka širini svetle i tamne linije zajedno - jednaku D/λ, graničnoj učestalosti optičkog otvora.

Vodoravna skala se takođe predstavlja i linearno, kao 1/(λ/D)ƒ=1/λF kad, za talasnu dužinu λ u milimetrima, predstavlja broj linija po milimetru (ƒ je žižna daljina, a F fokalni racio optičkog otvora).

Za savršen optički otvor, visina signala, tj. oštrina slike sinusoidnog objekta, ravnomerno opada od 1 za beskonačno široke linije (tj. za učestalost signala jednaku nuli) do nule za širinu linija pri kojoj je razmak između središta dve susedne svetle linije jednak λ/D. Izražena je jednostavno kao:

FOP_(ν)=(2/π)[cos^-1ν-ν(1-ν²)^0.5] ........ (2)

gde je ugao dobijen iz cos^-1ν=arccos(ν) izražen u radijanima (tj. deli se sa 180/π). Izrazi

FOP = (α/90)-2νsinα/π = (α/90)-sin(2α)/π ........ (2.1)

gde je cosα=ν, tj. α=arccos(ν), daju isti rezultat.

Granična učestalost pri kojoj se linije gube naziva se učestalost reza (eng. cutoff frequency). Za znatna izobličenja slike tačke u optičkom sklopu, učestalost reza se smanjuje, tj. pomera se ka širim linijama.

Linija opadanja oštrine slike, tj. FOP graf, u prisustvu aberacija uvek je niža od iste za savršen optički otvor. Isto važi za optički otvor sa neravnomernim prenosom amplitude talasa, sa izuzetkom prstenastog (anularnog) otvora, u kom slučaju je optički prenos bolji nego u savršenom otvoru za učestalosti od oko 0.5 (zavisi od veličine središnjeg zaklona) i više.

Na slici desno je FOP kako je obično predstavljena (najčešće kao funkcija prenosa visine, FPV). Graf otvora sa aberacijama (crvena linija) iskazuje značajan pad visine signala, tj. oštrine slike, naročito za širine linija - ili, uopšteno, za proširene detalje te veličine - od oko 0,2 do oko 0,8 D/λ učestalost, ili od oko pet puta do oko 1,25 puta veće od širine linija pri kojoj se one potpuno gube (granična učestalost). U slučaju da FOP padne na nulu pre granične učestalosti, raѕdvojna moć optičkog otvora je takođe lošija nego za savršen otvor.

U okviru gore desno prikazana je veza između visine, učestanosti i slike sinusoidnog signala funkcije optičkog prenosa.

Matematički oblik funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

Funkcija optičkog prenosa se može izraziti na različite načine, ali u osnovi je izražena ili kao Furijeova transformacija funkcije širenja tačke, ili kao autokorelacija funkcije optičkog otvora. Takođe, u uopštenom obliku njena dva osnovna dela, može se predstaviti kao kompleksna visina, koja sadrži prenos visine i fazni pomak na proizvoljnoj učestalosti.

Funkcija optičkog prenosa kao Furijeova transformacija funkcije širenja tačke[uredi | uredi izvor]

Ovo je osnovni oblik FOP. Po teoriji konvolucije, Furijeova transformacija konvolucije dve funkcije je jednaka proizvodu Furijeovih transformacija ovih funkcija. Pošto je fizička optička slika u nekoherentnoj svetlosti konvolucija Gausovske slike i funkcije širenja tačke (eng. Point spread function, PSF), Furijeova transformacija slike - tj. njenom lepeza učestalosti - je proizvod Furijeove transformacije Gausovske slike (koja je ista kao objekt, izuzev za činilac uvećanja) i Furijeove transformacije funkcije širenja tačke, dakle FOP, koja je količnik visine kontrasta (eng. modulation) slike i predmeta (tj. Gausovske slike sinusoida). Prema tome, FOP je data sa:

FOP({\vec {\nu }}_{s})=\int _{0}^{1}PSF({\vec {r}}_{s})\,exp[2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {r}}_{s}]

........ (3)

={\frac {1}{E(\lambda R)^{2}}}\int _{0}^{1}\,d{\vec {r}}_{s}\,exp[2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]\left|\int _{0}^{1}P({\vec {r}}_{o})exp[-{\frac {2\pi i}{\lambda R}}{\vec {r}}_{o}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {r}}_{o}\right|^{2}

....... (3.1)

gde je ${\vec {\nu }}_{s}$ vektor prostorne učestalosti, određen razmakom v između dve susedne tačke sinusoida u istoj fazi, tj. širinom linija slike sinusoida, i obrtnim uglom φ (integracija se obavlja za sve orijentacije slike unutar 360 stepeni, što je od značaja jedino ako funkcija širenja raspona nije obrtno simetrična), a ${\vec {r}}_{s}$ je pozicioni vektor koji spaja optičku osu sa proizvoljnom tačkom u ravni slike, određen razmakom r između ose i tačke, i uglom otvora γ.

Proizvod ovih vektora se takođe može izraziti kao proizvod apsolutnih vrednosti (dužina) vektora i njihovog međusobnog ugla; u ovom slučaju, ${\vec {\nu }}{\vec {r}}$ =vrcos(φ-γ). Razlomak pred integralom u (3.1) je činilac koji svodi središnju visinu FOP na jediničnu vrednost u odsustvu aberacija (E je ukupna energija u ravni optičkog otvora, R je poluprečnik zakrivljenosti talasnog fronta, P je svedena funkcija optičkog otvora, i λ je talasna dužina).

Funkcija optičkog prenosa kao autokorelacija funkcije optičkog otvora[uredi | uredi izvor]

Iz prethodnog izraza za FOP može se izvesti oblik u kom je ona jednaka zajedničkoj površini dva kruga istog prečnika, čiji se razmak po liniji koja spaja njihove središnje tačke menja od nule do razmaka jednakog prečniku (slika 5; opširnije o ovom obliku FOP u delu "Integracija FOP autokorelacijom optičkog otvora"). Ova matematička operacija se naziva autokorelacija i, pošto je prečnik dve kružnice jednak prečniku optičkog otvora, u ovom posebnom slučaju radi se o autokorelaciji optičkog otvora. U ovom obliku, FOP se može izraziti sa:

FOP({\vec {\nu }}_{s})={\frac {\int _{0}^{1}P({\vec {r}}_{p})P*({\vec {r}}_{p}-\lambda R{\vec {\nu }}_{s})d{\vec {r}}_{p}}{\int _{0}^{1}|P({\vec {r}}_{p}|^{2}\,d{\vec {r}}_{p}}}

........ (4)

P({\vec {r}}_{p})=V({\vec {r}}_{p})\,exp[ikW({\vec {r}}_{p})]

........ (4.1)

gde je $P({\vec {r}}_{p})$ funkcija (izlaznog) otvora, ${\vec {r}}_{p}$ je pozicioni vektor u ravni optičkog otvora (tačnije, u ravni izlaznog otvora), određen dužinom do proizvoljne tačke u ovoj ravni i uglom koji zaklapa sa uspravnom osom otvora.

U funkciji otvora, V je funkcija prenosa talasnog raspona kroz otvor, jednaka jedinici za ravnomeran prenos preko cele njegove površine, k=2π/λ je periodni broj, i W je greška talasnog fronta u tački određenoj prostornim vektorom ${\vec {r}}_{p}$ . U odsustvu aberacija, W=0, $exp[ikW({\vec {r}}_{p})]=1$ i, sa ravnomernim prenosom talasnog raspona, funkcija otvora ima jediničnu vrednost iznad cele površine otvora.

Na slici desno prikazano je kako autokorelacija opričkog otvora proizvodi FOP (u datom slučaju FPV, jer je zanemaren fazni deo FOP). Primer je za optički otvor bez aberacija. Radi poređenja, prikazana je funkcija koherentnog prenosa (FKP). U donjem delu slike je veza između uobičajenog i kompleksnog oblika talasne funkcije; greška talasnog fronta W je data u jedinicama talasne dužine. Uobičajeni oblik je jednak realnom (kosinusnom) delu kompleksne funkcije. Talasni raspon Ve^ikφ, izražen kao proizvod raspona V, jednakog poluprečniku kruga i kompleksnog faznog činioca e^ikφ, zove se kompleksni raspon (eng. complex amplitude).

U prisustvu aberacija, ili zaklona u optičkom otvoru, talasni raspon u optičkom otvoru nije ravnomeran, i autokorelacija proizvodi drugačiji oblik funkcije prenosa. U načelu, funkcija prenosa u prisustvu aberacija je uvek niža nego bez njih.

Funkcija optičkog prenosa kao kompleksna visina[uredi | uredi izvor]

FOP je složena funkcija koja se sastoji od dva dela: (1) funkcije prenosa visine, FPV (eng. Modulation transfer function, MTF), i (2) funkcije prenosa faze, FPF (eng. Phase transfer function, PTF). Prva izražava promenu visine (modulusa) između najsvetlije tačke u svetloj i najtamnije u tamnoj linije, u odnosu na visinu u savršenom optičkom otvoru. Druga izražava pomak ove slike linja u stranu (u odnosu na njihovu Gausovsku sliku) izazvan promenom u rasporedu energije FŠT zbog aberacija. Odnos između FOP, FPV i FPF može se predstaviti kao:

FOP = |FOP|e^iFPF = FPVe^iFPF ........ (5)

što znači da je FPV jednaka apsolutnoj vrednosti FOP (e=2.71828... je osnova prirodnog logaritma).

Iz jednakosti e^iFPF = cos(FPF) + isin(FPF), dva dela FOP mogu se izraziti kao:

FOP = FPV[cos(FPF)+isin(FPF)] = FPVcos(FPF)+FPVisin(FPF) ........ (6)

gde su dva činioca na desnoj strani stvarni (prvi) i imaginarni deo FOP (uz napomenu da se FPF obično označava kao ugao). Oni mogu biti i grafički prikazani odvojeno, prvi kao kosinusna funkcija koja počinje sa 1 za dužinsku frekvenciju FOP jednakoj nuli, a drugi kao sinusna funkcija počinjući sa nulom za istu frekvenciju.

Slika desno prikazuje odnos između FOP i njenog imaginarnog i stvarnog dela. Kružnica - zvana jedinični talasni, ili fazni krug, čiji poluprečnik ima jediničnu vrednost - predstavlja FPF, odnosno bočni pomak slike sinusoida izražen kao promena u fazi u odnosu na položaj slike sa nultim pomakom. Za bilo koju vrednost FPF izuzev 0 i π, visina FOP (tj. FPV), data kao jedinična vrednost, ostaje nepromenjen i nezavisan od promena u stvarnom i imaginarnom delu. U ovom slučaju, FOP je jednaka kvadratnom korenu ѕbira kvadrata svog imaginarnog i stvarnog dela.

Ako je FPF, tj. bočni pomak slike, 0 ili π, imaginarni deo se svodi na nulu, a FOP se izjednačuje sa njenim stvarnim delom, tj. postaje stvarna funkcija. Iz svega ovog vidi se da izraz (6) koji opisuje FOP ne predstavlja zbir, mada sadrži znak plus, nego koordinate u faznom (talasnom) krugu, određene faznim pomakom FOP.

Ako FŠT ima bilo koji oblik simetrije oko linije koja je deli na dva dela, imaginarni deo nestaje (jer u tom slučaju fazni pomak može biti ili nula ili π, gde ovaj drugi može da prouzrokuje obrnuti kontrast, bez bočnog pomaka slike), i FOP se svodi na FOP = FPVcos(FPF). Ovo je slučaj sa defokusom, sfernom aberacijom i astigmatizmom, za bilo koju orijentaciju FŠT, a za komu samo za jednu orijentaciju, duž ose aberacije (za sve ostale orijentacija FŠT za komu, FOP se sastoji od oba dela funkcije, stvarnog i imaginarnog).

Prostorna svojstva FOP[uredi | uredi izvor]

Mada se FOP najčešće predstavlja kao dvodimenzionalan graf njenog dela koji predstavlja promenu visine signala sa učestalošću, tj. FPV, ona je u potpunosti opisana trodimenzionalnom figurom, koja proističe iz samog integracionog procesa kojim se dobija FOP. Ovaj proces se može izraziti na više različtih načina, a na trodimenzionalnu figuru neposredno ukazuje izraz u kome je FOP dobijena integracijom na površini preklapanja dva otvora istog prečnika, jednakog prečniku optičkog otvora za koji se FOP izračunava (matematički naziv za ovu operaciju je autokorelacija; u ovom slučaju, radi se o autokorelaciji optičkog otvora).

Integracija FOP autokorelacijom optičkog otvora[uredi | uredi izvor]

Integracija se vrši za raspon u razmaku centara dve kružnice od nula - kada se kružnice u potpunosti preklapaju i prenos visine je najveći mogući (1) - do razmaka jednakog prečniku kružnice, kad prenos pada na nulu. Razmak između centara je jednak učestalosti, i visina prenosa za svaki dati razmak je jednaka prenosu za tu učestalost.

Ovaj otvor predstavlja polje sile (tj. raspored amplitude svetlosnog zračenja) u ravni optičkog otvora. Za savršen optički otvor, amplituda je nepromenjena preko cele površine otvora, a visina prenosa FOP je srazmerna količniku površine preklapanja i površine celog otvora. Ovaj prenos je jediničn prenos prema kome se meri veličina prenosa, tj. FOP, nesavršenih optičkih otvora.

U slučaju nesavršenog optičkog otvora, sa neravnomernim rasporedom amplitude unutar ove ravni, bilo zbog prisustva aberacija ili zaklona, visina prenosa ne zavisi samo od površine preklapanja nego i od rasporeda amplitude. Ako je ovaj raspored radijalno simetričan, prenos ima istu visinu za svaki ugao preklapanja za datu učestalost. U slučaju neravnomernog rasporeda, visina se menja sa promenom ugla, što za posledicu ima asimetričnu trodimenzionalnu figuru FOP.

Slika desno prikazuje šemu ovog integralnog procesa. Za svaku datu učestalost signala (ν), koja se kreće u rasponu od 0 do 1 u jedinicama obrnute granične dužne učestalosti 1/λF, jedan od otvora opisuje pun krug oko drugog, središnjeg otvora (R na slici je radijus zakrivljenosti talasnog fronta, te je λRν za graničnu dužnu učestalost jednako prečniku otvora). Time se efektivno menja orijentacija linija Gausovske slike sinusoida u odnosu na FŠT optičkog otvora. Ovo znači da za svaku učestalost u rasponu od nule do 1/λF, integracioni proces može da se predstavi kružnom linijom čiji je poluprečnik srazmeran datoj učestalosti, a visina u svakoj tački zavisi od međusobnog položaja sinusoidnih linija i FŠT. Sve ove kružne linije, dodane jedna na drugu, stvaraju kupastu trodimenzionalnu figuru čija je osnova kružnica granične učestalosti, a vrh je tačka na nepromenjivoj jediničnoj visini za nultu učestalost.

Uobičajeni dvodimenzinalan oblik FOP je presek ove trodimenzionalne FOP u tangencijalnoj ravni FŠT. U slučajevima kad je FŠT radijalno simetrična (na primer, za defokus, sfernu aberaciju, ili u slučaju prstenastog otvora), odgovarajuća trodimenzionalna FOP je takođe radijalno simetrična, te je u potpunosti predstavljena njenim dvodimenzionalnim presekom.

Međutim, u slučaju radijalno asimetrične FŠT (na primer, u slučaju kome, astigmatizma, ili drugih asimetričnih aberacija), trodimenzionalna FOP je takođe radijalno asimetrična, i nijedan njen presek na daje punu sliku efekta te aberacije na kakvoću optičke slike.

Ovo je očekivana posledica činjenice da se raspored energije radijalno asimetrične FŠT duž linje njenog centralnog preseka menja sa radijalnim uglom tog preseka. Samim tim, različite orijentacije FŠT, tj. slike tačke koju ona predstavlja, u odnosu na niz paralelnih svetlih i tamnih linija koje se putem nje preslikavaju, pogađaju kakvoću slike ovih linija u različitoj meri (na primer, ako je presek FŠT duž kog je širenje energije najveće paralelan sa svetlim i tamnim lnijama, efekat na kvalitet slike je manji nego kad je taj presek FŠT postavljen poprečno u odnosu na njih).

Dvodimenzionalna i trodimenzionalna FOP[uredi | uredi izvor]

SLIKA 6: DVODIMENZIONALNA I TRODIMENZIONALNA FUNKCIJA PRENOSA VISINE (FPV)

Slika desno prikazuje uobičajenu dvodimenzonalnu FOP (pošto se radi o njenom delu koji izražava visinu prenosa, FPV, najčešće se tako i naziva), kao i odgovarajuću trodimenzionalnu FOP/FPV za savršen optički otvor, i za otvor sa značajnim nivoom optičke aberacije (tangencionalna ravan na slici je po pravilu uspravna ravan koja sadrži optičku osu i glavni zrak, presecajući ortognalnu na nju ravan slike duž ose aberacije; sagitalna ravan je ravan koja sadrži optičku osu, i normalna je na tangencionalnu ravan).

Za dati dvodimenzionalni presek FOP - koja je, kao što je napomenuto obično predstavljena njenim delom koji opisuje prenos visine signala, FPV - površina ispod linije OTF grafa za razmatranu FŠT, u odnosu na površinu ispod linje grafa za FŠT savršenog optičkog otvora, srazmerna je Strel raciu.

U slučaju radijalno simetrične FŠT, ovaj racio površina je isti za bilo koji presek FOP (tj. FPV), i bilo koji presek daje tačan prenos visine signala za celu FOP. U slučaju asimetrične FŠT, racio se menja sa presekom, moguće znatno. U ovom drugom slučaju, nivo kakvoće slike je predstavljen prosečnim odnosom ove dve površine, tj. prosečnim Strel raciom za sve FOP preseke.

Funkcija optičkog prenosa u širem okviru[uredi | uredi izvor]

Da bi se razumela priroda FOP, neophodno je sagledati na koji način je povezana sa najbitnijim optičkim pojmovima. Konkretno, sa objektom i njegovom fizičkom slikom, koja je sačinjena od fizičkih slika tački objekta - opisanih sa FŠT optičkog otvora - sa poljem svetlosnog zračenja i sa funkcijom optičkog otvora koje proizvode FŠT.

SLIKA 7: FUNKCIJA OPTIČKOG PRENOSA, ŠIRI OKVIR

Šema na slici desno pokazuje da je najbitnije svojstvo FOP u ovom okviru to što pripada domenu učestalosti (frekvencije), za razliku od objekta, FŠT i optičke slike, koji pripadaju prostornom domenu. FOP je racio visine preslikanog sinusoida i visine objekta-sinusoida, gde su obe predstavljene spektrumom učestalosti ova dva sinusoida.

Proces u kom se u domenu učestalosti preko FOP iz spektruma određenog svojstvima sinusoida-objekta dobija spektrum slike sinusoida, koji određuje svojstva ove slike, je paralelan procesu konvolucije sinusoida-objekta i FŠT u prostornom domenu, koji neposredno proizvodi sliku sinusoida. Drugim rečima, oba pristupa daju isti rezultat. Prednost korišćenja funkcije prenosa je u tome što je proces množenja spektruma jednostavniji od konvolucije, posebno u slučajevima kad su svojstva slike rezultat više elemenata za koje se proračun vrši odvojeno.

Šema počinje sa savršenim optičkim otvorom, ali je u osnovi nepromenjena i za optičke otvore sa aberacijama i/ili neravnomernostima u prenosu amplitude. U tom slučaju se menja polje u optičkom otvoru, tj. funkcija širenja amplitude, što dovodi do promene u FŠT i njenom Furijeovom paru, FOP. Promena FOP neposredno određuje promenu svojstva slike.

Višebojna (polihromatska) i jednobojna (monohromatska) FOP/FPV[uredi | uredi izvor]

S obzirom na to da FOP opisuje fizičku sliku stvorenu konvolucijom Gausovske slike i funkcije širenja tačke (FŠT) optičkog otvora, njen rezultat se menja sa veličinom FŠT, tj. sa talasnom dužinom svetlosti. U načelu, kraće talasne dužine, za koje je FŠT manja, imaju bolji prenos visine signala, i višu učestalost reza od dužih.

Slika desno pokazuje razliku između FOP (kao njenu veličinu, izraženu funkcijom prenosa visine signala) za višebojnu (polihromatsku) svetlost u rasponu 0.35 do 0.81 mikrona (350 do 810 nanometara), sa jedne, i za jednobojne svetlosti sa početka, kraja, i približno iz sredine ovog spektralnog raspona, sa druge strane (za savršen optički otvor).

Višebojna FOP je za ujednačenu osetljivost detektora; za fotopsko oko prenos visine je isti do središnje učestalosti i blago niži prema učestalosti reza.

U desnom gornjem uglu su prikazane funkcije širenja tačke za ove talasne dužine, kao grafikoni rasporeda energije, i kao fizičke slike.

U načelu, učestalost reza, na kojoj prenos visine signala pada na nulu, je za svetlost u širem spektralnom rasponu, tj. za višebojnu svetlost, viša od učestalosti najduže, i niža od učestalosti najkraće talasne dužine u rasponu. Pri ujednačenoj spektralnoj osetljivosti, ona je u sredini između ove dve. Učestalost reza za jednobojnu svetlost je obrnuto srazmerna talasnoj dužini - to viša što je talasna dužina kraća.

Primeri funkcije optičkog prenosa[uredi | uredi izvor]

Mada FOP može da se koristi za utvrđivanje efekta najrazličitijih činilaca na svojstva optičke slike, uobičajeno je da se koristi za procenu efekta optičkih aberacija, bilo u toku stvaranja optičkih sklopova, ili da bi se svojstva istih prikazala u udžbenicima i publikacijama. Uz efekat aberacija, takođe se koristi da pokaže uticaj zaklona u optičkom otvoru na kakvoću slike.

U slučaju niskog nivoa aberacija, najčešće se koristi samo deo FOP koji prikazuje apsolutnu veličinu prenosa oštrine slike, funkcija prenosa visine (FPV). Za visok nivo aberacija, FOP može dati potpuniji uvid u svojstva optičke slike.

Nizak nivo aberacija[uredi | uredi izvor]

SLIKA 9: Primeri funkcije optičkog prenosa za nizak nivo aberacija

Primeri desno su grafikoni FOP kako se najčešće predstavljaju: prenos oštrine slike je dat za optički otvor koji se razmatra (crvena linija) i, radi poređenja, za savršen optički otvor (crna linija). U načelu, što je linija prenosa optičkog sklopa niže u odnosu na liniju prenosa savršenog optičkog otvora, to je niža i oštrina njegove slike u odnosu na najveću moguću.

Uz svaki graf data je i odgovarajuća funkcija širenja tačke (FŠT), tj. fizička slika tačke kakvu stvara taj optički otvor. U slučaju središnjeg zaklona u optičkom otvoru, oštrina slike na desnoj strani grafa je viša nego za savršen optički otvor - to više što je veći zaklon u odnosu na optički otvor - jer anularni otvor proizvodi manji središnji vrh u slici tačke.

Posledice središnjeg zaklona na optičku sliku (gore desno) prikazane su za tri veličine zaklona, 0.2D, 0.33D i 0.5D, gde je D prečnik optičkog otvora. Četiri klasične aberacije (ispod) su na nivou tzv. difrakcione granice, 0.074λ RMS. Ni aberacije, ni zakloni ne dovode do promena u obliku slike u odnosu na objekt. Jedina posledica je, uopšteno, nešto slabija oštrina slike u odnosu na oštrinu u savršenom optičkom otvoru.

Za ovaj, srazmerno mali nivo pada prenosa oštrine slike, nema bitne razlike između funkcije optičkog prenosa, FOP, i jednog od njena dva sastavna dela, funkcije prenosa visine (signala), FPV. Zato se ovaj graf najčešće predstavlja kao graf funkcije prenosa visine, FPV (eng. Modulation transfer function, MTF).

Visok nivo aberacija[uredi | uredi izvor]

SLIKA 10: Primeri funkcije optičkog prenosa za visok nivo aberacija

Jedina razlika između FOP i FPV može da se pojavi kad su aberacije velike, u kom slučaju linija prenosa visine pada blizu nule, i ukoliko se fazna razlika promeni sa 0 na π, promena faze menja znak FOP i ona pokazuje negativan prenos visine, tj. linija prenosa se spušta ispod vodoravne skale grafa. Ovo ukazuje na tzv. obrnut kontrast, tj. svetle površine na objektu postaju tamne u njegovoj slici, a tamne postaju svetle. Pošto je FPV jednaka apsolutnoj vrednosti FOP, ona i ovaj deo prenosa pokazuje u pozitivnom delu grafa, tj. ne ukazuje na obrnuti kontrast.

Na slici desno prikazane su posledice visokog nivoa četiri klasične aberacije na sliku Simensove zvezde (eng. Siemens star), jednog od uobičajenih objekata za testiranje optike (slika je uvećana u odnosu na objekt zbog jasnoće). Aberacije su slične veličine, na nivou 0.5λ RMS, a razlika u V-D (vrh-dno) greška talasnog fronta je posledica različitih oblika odstupanja ovih aberacija od savršenog sfernog oblika.

Obrnut kontrast je prisutan kod defokusa, astigmatizma i kome, kao što FOP pokazuje, dok se to ne vidi po liniji prenosa FPV. Ovaj nivo aberacija je znatno iznad dozvoljenog nivoa za astronomske instrumente, te ovaj nedostatak FPV u ovom polju nije bitan. U slučaju fotografskih instrumenata, međutim, aberacije su, uopšteno govoreći, bitno veće, i FOP je bolji izbor kao mera kakvoće optičke slike.

FOP i CCD[uredi | uredi izvor]

Dok su aberacije talasnog fronta i zakloni u optičkom otvoru činioci koji utiču na oštrinu same optičke slike, svojstva detektora mogu dodatno da utiču na kakvoću konačne slike. U tom pogledu je od posebnog značaja kako na kontrast konačne slike utiče velična CCD piksela, jediničnog kvadratnog senzora ove široko korišćene vrste detektora. Prenos oštrine optičke slike na konačnu sliku ovde zavisi od veličine piksela u odnosu na veličinu središnjeg vrha fizičke slike tačke optičkog otvora, tj. njegove funkcije širenja tačke.

Ako je dužina strane piksela p, u jednicama λF, funkcija prenosa kontrasta, tj. FOP CCD detektora za savršen optički otvor je data sink funkcijom:

P_CCD = sinc(πpν) = sin(180pν)/πpν ........ (7)

(za ν=0 funkcija je nedefinisana, ali teži ka jedan, što predstavlja njenu graničnu vrednost).

Prenos kontrasta konačne, CCD slike je, saglasno opštem pravilu za funkciju prenosa, jednak proizvodu pojedinačnih prenosa, tj. proizvodu FOP optičkog sklopa i funkcije prenosa CCD detektora:

P_f = (P_CCD)(FOP) ........ (8)

Slika desno prikazuje prenos kontrasta CCD detektora za nekoliko veličina piksela (levo), i proizvod ovog prenosa i FOP savršenog otvora (desno, crna linja je FOP savršenog otvora). Za p=2, na primer, što za f/5 sklop i λ=0,5 mikrona odgovara pikselu sa stranom od 5 mikrona (pλF=5), prenos kontrasta pada na nulu za učestalost ν=0,5, a za ostatak raspona do učestalosti reza slika ima obrnut kontrast.

Uz to, kao što proizvod ovog prenosa i FOP savršenog otvora na desnoj strani pokazuje, prenos kontrasta za ovu veličinu piksela je na nivou dva puta manjeg otvora do ν=0,5, i samo mali deo prenosa savršenog otvora za ostatak raspona učestalosti do učestalosti reza. Da bi se izbegao obrnuti kontrast, potreban je dva puta manji piksel (p=1), ali da bi kontrast konačne (CCD) slike bio blizu kontrasta optičke slike, potreban je četiri puta manji (p=0,5).

Po Naikuistovom pravilu (eng. Nyquist criterion, izvorno u okviru digitalne detekcije analognog signala, navodeći da je za tačnu detekciju elektronskog signala neophodno da je učestalost detektora - određena veličnom njegove jedinice detekcije - bar dva puta veća od učestalosti signala), ova poslednja veličina piksela je gornja granica pri kojoj su dva tačkasta izvora svetlosti na rastojanju granične difrakcione razdvojne moći jasno razdvojena.

Pošto je prva nula sink funkcije u prenosu kontrasta za pν=1, prva nula proizvoda dva prenosa je na ušestalosti ν=1/p, bez obzira na FOP optičkog sklopa, kao što graf za p=3 i p=4 pokazuju. Dakle, očuvanje razdvojne moći optičke slike zahteva p=1, ili manji.

Nivo aberacija koji bi značajno snižavao prenos kontrasta optičkog sklopa bi takođe znatno ublažio zahtev za malim pikselom. U slučaju teleskopa na Zemlji, pre svih, tu je neizbežna atmosferska greška talasnog fronta, koja često dozvoljava veličine piksela i do nekolko puta veće od Naikuistove granice za savršen optički otvor. U praktičnim uslovima, gornja granica veličine piksela je veća za racio atmosferskog FWHM i λF.

FOP i funkcija prenosa kontrasta[uredi | uredi izvor]

Funkcija prenosa kontrasta (skr. FPK, eng. Contrast transfer function, CTF) je slična FOP, pošto se koristi domenom učestalosti da bi izrazila svojstva optičke slike. Glavna razlika je u tome što FPK kao objekt ima ne sinusoid, nego tzv. kvadratni talas, koji predstavlja beskrajan niz naizmeničnih paralelnih svetlih i tamnih linija bez postepenog prelaza jednih u druge, tj. sa ravnomernim visokim (svetlim) i niskim nivoom zračenja.

Slika desno prikazuje graf FPK i FOP za savršeni otvor (gore levo), kao i za FPK u prisustvu sferne aberacije (gore desno) i središnjeg zaklona (dole levo). U slučaju savršenog optičkog otvora, prenos visine signala FPK je bolji u celom rasponu učestalosti. Ovo je posledica toga što spektrum kvadratnog talasa, za razliku od sinusoida koji je opisan samo sa jednom učestalošću i amplitudom, za opis u domenu učestalosti zahteva beskrajan niz učestalosti sa opadajućom amplitudom (dole desno). Svaka od ovih amplituda se množi sa funkcijom prenosa visine FOP-a za svaku učestalost, i njihov zbir predstavlja prenos visine amplitude FPK-a za tu učestalost.

I pored razlike u osobinama objekta, nema bitne razlike između FPK i FOP u pogledu dejstva aberacija i zaklona na kakvoću optičke slike: relativna promena oštrine slike je vrlo slična u oba slučaja.