Hilbertov prostor
Hilbertov prostor je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i euklidskog trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.
Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inženjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.
Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.
Definicija[uredi | uredi izvor]
Hilbertov prostor nad poljem F u oznaci H(F) je vektorski prostor (nad poljem F) sa skalarnim proizvodom, potpun u odnosu na metriku d2.[1]
Osobine[uredi | uredi izvor]
Hilbertov prostor H je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je H kompleksni vektorski prostor, to znači da u H postoji proizvod 〈x,y〉 koji paru elemenata x,y iz H, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:
- 〈y,x〉 je konjugovan kompleksan broj od 〈x,y〉:
- 〈x,y〉 je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve a i b,
- Proizvod je pozitivna bilinearna forma:
- gde znak jednakosti važi za x = 0.
Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.
Intenzitet vektora definiše se kao proizvod 〈•,•〉 u obliku realne funkcije:
a rastojanje između tačaka x,y u H definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:
Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po x i y, (2) da je rastojanje između x i x nula, a da su ostala rastojanja između x i y pozitivna, (3) da važi nejednakost trougla, što znači da dužina stranice a u trouglu xyz ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:
Poslednja osobina je posledica Koši-Švarcove nejednakosti koja tvrdi da:
gde znak jednakosti važi kada su x i y linearno zavisni.
Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao funkcija metrike, onda vektorski prostor postaje pre-Hilbertov prostor. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi apsolutno konvergira tako da
tada niz konvergira u H, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu H.
Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.
Apsolutna konvergencija[uredi | uredi izvor]
Niz koji se sastoji iz vektora u F3 (gde je F polje), apsolutno konvergira pod uslovom da konvergira , tj. da je Takav niz konvergira ka nekom vektoru L u prostoru nad poljem F, i to tako da važi: kada
Slaba konvergencija[uredi | uredi izvor]
Niz slabo konvergira ka vektoru ako za svako brojni niz konvergira ka .[1]
Euklidski prostor[uredi | uredi izvor]
Euklidski prostor (R3) je Hilbertov prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora u kome je definisan operator proizvoda. Operator proizvoda uzima dva vektora x i y kao argumente i kao rezultat daje realan broj x·y.
Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:
- Simetričan je u odnosu na x i y: x·y = y·x.
- Linearan je u odnosu na prvi argument: (ax'1 + bx'2)·y = ax'1·y + bx'2·y za bilo koje skalare a, b i vektore x1, x2 i y.
- To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore x, x·x ≥ 0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je x = 0.
Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva skalarno množenje vektora. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan skalarni proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||x||, i od ugla θ između vektora x i y. Ta zavisnost se izražava formulom:
Specijalno, ako su x i y predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:
Separabilan Hilbertov prostor[uredi | uredi izvor]
Teorema: Hilbertov prostor je separabilan akko sadrži prebrojivi ortonormirani skup.
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ a b Hilbertovi prostori i grupe, Milan Damnjanović Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. октобар 2014), приступљено: 19. октобар 2014.
Литература[uredi | uredi izvor]
- Bachman, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2000), Fourier and wavelet analysis, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98899-3, MR 1729490.
- Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1981), Partial differential equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2.
- Bourbaki, Nicolas (1986), Spectral theories, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1.
- Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
- Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2nd изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
- Brenner, S.; Scott, R. L. (2005), The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6.
- Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1998), One-dimensional variational problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, MR 1694383.
- Clarkson, J. A. (1936), „Uniformly convex spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (3): 396—414, JSTOR 1989630, doi:10.2307/1989630.
- Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience.
- Dieudonné, Jean (1960), Foundations of Modern Analysis, Academic Press.
- Dirac, P.A.M. (1930), Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Clarendon Press.
- Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Parts I and II, Wiley-Interscience.
- Duren, P. (1970), Theory of Hp-Spaces, New York: Academic Press.
- Folland, Gerald B. (2009), Fourier analysis and its application (Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992 изд.), American Mathematical Society Bookstore, ISBN 978-0-8218-4790-9.
- Folland, Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2.
- Fréchet, Maurice (1907), „Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1414—1416.
- Fréchet, Maurice (1904—1907), Sur les opérations linéaires.
- Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2.
- Grattan-Guinness, Ivor (2000), The search for mathematical roots, 1870–1940, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0, MR 1807717.
- Halmos, Paul (1957), Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co
- Halmos, Paul (1982), A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0.
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, New York: Springer-Verlag.
- Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang); von Neumann, John (1927), „Über die Grundlagen der Quantenmechanik”, Mathematische Annalen, 98: 1—30, doi:10.1007/BF01451579
- Kac, Mark (1966), „Can one hear the shape of a drum?”, American Mathematical Monthly, 73 (4, part 2): 1—23, JSTOR 2313748, doi:10.2307/2313748.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997), Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I, Graduate Studies in Mathematics, 15, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0819-1, MR 1468229.
- Kakutani, Shizuo (1939), „Some characterizations of Euclidean space”, Japanese Journal of Mathematics, 16: 93—97, MR 0000895.
- Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 (3rd изд.), Oxford University Press (објављено 1990), ISBN 978-0-19-506137-6.
- Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1970), Introductory Real Analysis (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) изд.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3.
- Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6.
- Lanczos, Cornelius (1988), Applied analysis (Reprint of 1956 Prentice-Hall изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4.
- Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), „On the complemented subspaces problem”, Israel Journal of Mathematics, 9 (2): 263—269, ISSN 0021-2172, MR 0276734, doi:10.1007/BF02771592.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abstract linear spaces”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
- Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars.
- B.M. Levitan (2001). „Hilbert space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104..
- Marsden, Jerrold E. (1974), Elementary classical analysis, W. H. Freeman and Co., MR 0357693.
- von Neumann, John (1929), „Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”, Mathematische Annalen, 102: 49—131, doi:10.1007/BF01782338.
- von Neumann, John (1932), „Physical Applications of the Ergodic Hypothesis”, Proc Natl Acad Sci USA, 18 (3): 263—266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, JSTOR 86260, PMC 1076204 , PMID 16587674, doi:10.1073/pnas.18.3.263.
- von Neumann, John (1932), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press (objavljeno 1996), ISBN 978-0-691-02893-4, MR 1435976.
- Prugovečki, Eduard (1981), Quantum mechanics in Hilbert space (2nd izd.), Dover (objavljeno 2006), ISBN 978-0-486-45327-9.
- Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 9780125850025.
- Riesz, Frigyes (1907), „Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1409—1411.
- Riesz, Frigyes (1934), „Zur Theorie des Hilbertschen Raumes”, Acta Sci. Math. Szeged, 7: 34—38.
- Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1990), Functional analysis, Dover, ISBN 978-0-486-66289-3.
- Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill.
- Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
- Saks, Stanisław (2005), Theory of the integral (2nd Dover izd.), Dover, ISBN 978-0-486-44648-6; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
- Schmidt, Erhard (1908), „Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63—77, doi:10.1007/BF03029116.
- Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 883081.
- Sobrino, Luis (1996), Elements of non-relativistic quantum mechanics, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2386-1, MR 1626401.
- Stewart, James (2006), Calculus: Concepts and Contexts (3rd izd.), Thomson/Brooks/Cole.
- Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08079-6.
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Streater, Ray; Wightman, Arthur (1964), PCT, Spin and Statistics and All That, W. A. Benjamin, Inc.
- Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5..
- Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions, part 1, Oxford University: Clarendon Press.
- Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press.
- Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
- Weidmann, Joachim (1980), Linear operators in Hilbert spaces, Graduate Texts in Mathematics, 68, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90427-6, MR 566954.
- Weyl, Hermann (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics (English 1950 izd.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1.
- Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- Hilbertov prostor na Mathworld
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Hilbert space”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao