Неутрал
У математици, неутрал (или неутрални елемент) је посебна врста елемента неког скупа у односу на бинарну операцију на том скупу. Неутрал се одликује тиме што друге елементе скупа оставља непромењеним када се са њима комбинује у тој операцији. Неутрали се користе у групама и повезаним концептима.
Нека је (S,*) скуп S са бинарном операцијом * дефинисаном на себи. Тада се елемент e скупа S назива леви неутрал ако e * a = a за свако a из S, а десни неутрал ако a * e = a за свако a из S. Ако је e уједно и леви и десни неутрал, онда се назива двостраним неутралом, или просто неутралом.
Неутрал у односу на сабирање се назива адитивним неутралом (често се означава са 0) а неутрал у односу на множење се назива мултипликативни инверз (често се означава са 1). Ова разлика се обично користи за скупове који имају обе ове бинарне операције, као што су прстени.
Примери
[уреди | уреди извор]| скуп | операција | неутрал |
|---|---|---|
| реални бројеви | + (сабирање) | 0 |
| реални бројеви | • (множење) | 1 |
| реални бројеви | ab (степеновање) | 1 (само десни неутрал) |
| m-са-n матрица | + (сабирање) | нула матрица |
| n-са-n квадратне матрице | • (множење) | јединична матрица |
| све функције из скупа M у самог себе | ∘ (композиција функција) | идентитета |
| све функције из скупа M у самог себе | * (конволуција) | δ (Диракова делта) |
| ниске карактера, листе | конкатенација | празна ниска, празна листа |
| проширени реални бројеви | минимум/инфинум | +∞ |
| проширени реални бројеви | максимум/супремум | -∞ |
| подскупови скупа M | ∩ (пресек) | M |
| скупови | ∪ (унија) | { } (празан скуп) |
| Булова логика | ∧ (логичко и) | ⊤ (тачно) |
| Булова логика | ∨ (логичко или) | ⊥ (нетачно) |
| само два елемента {e, f} | * дефинисана као e * e = f * e = e and f * f = e * f = f |
и e и f су леви неутрали, али не постоји десни или двострани неутрал |
Као што последњи пример показује, могуће је да има више левих неутрала. У ствари, сваки елемент може бити леви неутрал. Слично, може бити више десних неутрала. Међутим, ако постоји и лесни неутрал и леви неутрал, онда су једнаки и постоји само један двострани неутрал. Да би се ово видело, уочимо да ако је леви неутрал, а десни, онда . Специјално, није могуће да постоји више од једног двостраног неутрала. Када би постојала два, и f, онда би морало да буде једнако и и .
Литература
[уреди | уреди извор]- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..
