Вектор

Из Википедије, слободне енциклопедије
(преусмерено са Интензитет)

Вектор је појам из математике, области линеарна алгебра, који је уведен првенствено да би се разликовале величине које се појављују у природи, а имају интензитет, правац и смер, те се као такве разликују од величина које имају само интензитет и зову се скалари.

Векторске величине су величине одређене са два или више параметара. Најпознатији су примери везани за геометрију у простору где се вектор одређује правцем, смером и интензитетом а представља стрелицом оријентисаном дуж правца, дужине пропорционалне интензитету, а чији врх показује смер на задатом правцу. Генерализовани вектор не мора бити ограничен на три димензије. Вектор у n-димензионалном простору описује се са n параметара.

Физичко тумачење вектора обично се своди на тродимензионални простор. Тако су векторске величине брзина, сила, убрзање, импулс, момент импулса... Скаларне су маса, температура, запремина...

Физичке величине чија векторска вредност зависи и од координате називају се тензорске. Оне се математички представљају матрицом, у најпростијем случају 3×3. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини рецимо код некубичних кристала. Тензорске величине су топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс преламања итд ...

Дефиниција[уреди]

Вектор може бити дефинисан уређеним паром тачака. Рецимо да су то A и B из Rn. Тада је:

, а

Вектор се може представити и са полазном тачком, јединичним вектором који одређује његов смер и интензитетом:

Ако овде ||AB|| заменимо са λ које може бити било који број из R дефинисали смо праву која пролази кроз тачку A а за вектор правца има вектор AB. Уколико је λ само не-негативно или само не-позитивно, дефинисана је полуправа, са почетком у тачки A.

Уколико је λ неки број различит од ||AB||, резултат је вектор који је са претходним колинеаран. Ако је нови вектор AB' ово значи да важи:

Нула-вектор[уреди]

Нула-вектор a0 је вектор чији је интензитет једнак нули. Обележава се као нула са назнаком за вектор.

Јединични вектор[уреди]

Јединични вектор (орт) је вектор чији је интензитет једнак јединици. За сваки не-нула вектор a се може одредити одговарајући јединични вектор v истог правца и смера.

Овај поступак се зове нормирање вектора.

Операције над векторима[уреди]

Над векторима, као и свим осталим елеметима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу K. На пример:

,

Је један n-димензионални вектор над пољем K. Појам n-димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу n скалара. Простор ових вектора се још назива Kn, а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној n-торки координате вектора. На пример a1 је прва координата вектора, a2 је друга координата вектора итд.

Следе основне операције над векторима, које се у принципу дефинишу над векторима истих димензија.

Интензитет вектора[уреди]

Интензитет вектора се у еуклидовој геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.




Множење вектора скаларом[уреди]

Множење вектора неким скаларом је дефинисано као множење сваке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је комутативна.

= = :

Сабирање вектора[уреди]

Сабирање вектора
Одузимање вектора

Узмимо два вектора :




Њихово сабирање се дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.


,
, где је

При чему ће вектор c бити из простора . Одузимање вектора би се вршило по сличном принципу:



При чему .

Скаларно множење вектора[уреди]

Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља K. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из Kn у ствари један скалар из K. Конкретно за два вектора a и b из Kn би производ k изгледао овако:



, где је

Овде треба приметити да је скаларни производ вектора такође једнак

при чему је ω угао између a и b.

Ово заправо значи и:



То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.

Векторски производ[уреди]

Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалне еуклидске просторе (E3) је векторски производ. Дефинише се на следећи начин:






Јер су , и : вектори канонске базе E3.

Код векторског производа је битно приметити следеће особине:

, тј. векторски производ два вектора је нормалан на њих саме.
, где је : угао између ова два вектора. Ово заправо значи да је интензитет векторског производа два вектора једнак површини паралелограма кога чине ови вектори.
, тј. векторски производ није комутативан.
, где је . Тј. векторски производ се лепо понаша према множењу скаларом слева.

Мешовити производ[уреди]

Мешовити производ вектора је тринарна математичка операција која уређену тројку вектора из E3 пресликава у скалар из E. Записује се са

А по дефиницији је:

 :

Што значи да је вредност мешовитог производа три вектора једнака запремини паралелопипеда конструисаног над њима. Следе нека основна својства мешовитог производа:

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за III разред средње школе. Завод за уџбенике. Београд. 2008.

Спољашње везе[уреди]