Пређи на садржај

Ојлерова карактеристика

С Википедије, слободне енциклопедије
(преусмерено са Euler's polyhedron formula)

У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика.[1] Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.[2][3][4][5]

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији

[уреди | уреди извор]
Троугао има Ојлерову карактеристику 1.

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму , где је T број темена фигуре, I број ивица а P број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет[6] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати[7], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).[8] Уопштено, за правилан полиедар са n „рупа” важи да му је карактеристика 2(1-n) (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Број темена
(T)
Број ивица
(I)
Број пљосни
(P)
Карактеристика
Тетраедар конвексан 4 6 6 2
Хексаедар
(коцка)
конвексан 8 12 6 2
Октаедар конвексан 6 12 8 2
Додекаедар конвексан 20 30 12 2
Икосаедар конвексан 12 30 20 2
Тетрахемихексаедар конкаван 6 12 7 1
Октахемиоктаедар конкаван 12 24 12 0
Мали звездасти додекаедар конкаван 12 30 12 -6
Велики звездасти додекаедар конкаван 20 30 12 2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Карактеристика
Сфера конвексан 2
Торус конкаван 0
Дупли (дворупи)
торус
конкаван -2
Трорупи торус конкаван -4

Ојлерова карактеристика у теорији графова

[уреди | уреди извор]
Пример планарног графа. Као и сви остали планарни графови, и овај је Ојлерове карактеристике 2.

Ојлерова карактеристика планарног графа G у теорији графова је резултат , где је V(G) скуп чворова графа G, E(G) скуп грана графа G, а f(G’) број области на које планарно утапање G’ графа G раздељује раван ℝ × ℝ својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема[9]). У општем случају ће важити, за произвољан граф G, , где је ω(G) број компоненти повезаности графа G.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Граф G Број чворова G
(|V(G)|)
Број грана G
(|E(G)|)
Број области G
(f(G'))
Број компоненти
повезаности G (ω(G))
Карактеристика G Напомена
6 6 2 1 2
12 18 8 1 2 Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).
21 27 10 3 4

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Friedman, Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. стр. 71. ISBN 978-3-319-72486-7. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. 
  2. ^ Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171. 
  3. ^ Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982. 
  4. ^ Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. CiteSeerX 10.1.1.716.3210Слободан приступ. doi:10.1137/130906556. 
  5. ^ Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018. 
  6. ^ „Euler's Formula”. Encyclopaedia Britannica. 
  7. ^ „Computational Geometry” (PDF). 
  8. ^ „Euler's Characteristic in Algebraic Topolgy”. San José State University. Архивирано из оригинала 25. 02. 2020. г. Приступљено 12. 02. 2020. 
  9. ^ „Euler's Formula”. 

Литература

[уреди | уреди извор]


Спољашње везе

[уреди | уреди извор]