Пређи на садржај

Formula pertle

С Википедије, слободне енциклопедије

Formula pertle, ili algoritam pretle, je matematicki algoritam koji se koristi za izračunavanje površine jednostavnog mnogougla čija temena su određena uređenim parom u ravni.[1] Ukrštenim množenjem odgovarajućih koordinata dobija se povrsina koja obuhvata mnogougao, i oduzme je od mnogougla koji ga okruzuje da bi se odredila površina mnogougla unutra. Zove se formula pertle zbog konstanog ukrštenog množenja za koordinate koje sastavljaju mnogougao, kao vezanje pertle.[1] Ponekad se zove i metod pertla. Takođe, poznata je i kao Gausova površinska formula, po Karl Fridrih Gausu. Koristi se u geometriji i šumarstvu,[2] između ostalih oblasti. Takođe je poznata i kao geometrova formula.[3]

Formula se moze prikazati na sledeći način:

gde

  • A je površina mnogougla,
  • n je broj stranica mnogougla, and
  • (xiyi), i = 1, 2,..., n su temena mnogougla.

Alternativno:[2][4][5]

gde xn+1 = x1 i x0 = xn, odnosno yn+1 = y1 i y0 = yn.

Ako su tačke označene suprotno od smera kazaljki na satu, onda iznad determinante su pozitivne i absolutne zagrade mogu biti izostavljene;[3] Ako su tačke označene u smeru kazaljki na satu, determinante će biti negativne. Ovo je zato što se formula može gledati kao poseban slučaj Grinove teoreme.

Moraju biti poznate tačke u Kartezijanovoj ravni. Na primer, gledamo trougao sa koordinatama {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Uzmemo prvu x-vrednost i pomnozimo je sa drugom y-vrednošću, onda uzmemo drugu x-vrednost i pomnozimo je sa trecom y-vrednošću, i ponovimo, i opet ponovimo, dok ne uradimo to za svaku tačku. Ovo se može definisati formulom:[6]

gde xi i yi predstavljaju vrednosti za respektivne koordinate. Ova formula je samo proširanje one koja je data gore za slučaj n = 3. Korišćenjem nje, može se videti da je površina trougla jednaka polovini apsolutne vrednosti od 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, što je jednako 3. Broj varijabla zavisi od broja strnica mnogougla. Na primer, petougao će biti definisan do x5 and y5:

Četvorougao će biti definisan do x4 and y4:

Kompleksniji primeri

[уреди | уреди извор]

Posmatramo mnogougao definisan tačkama (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), and (5,6), i ilustrovam u sledećem diagramu:

Figure of this example

Površina ovog mnogougla je:

Objašnjenje imena

[уреди | уреди извор]

Razlog zašto se ova formula zove formula pertle je zbog čestog načina koji se koristi za njeno izračunavanje. Ovaj način koristi matrice. Kao primer, gledamo trougao sa temenima (2,4), (3,−8), and (1,2). Onda konstruišemo sledeću matricu tako što “hodamo oko” trougla i zavrćavamo sa početnom tačkom.[7]

Prvo, nacrtamo dijagonalno dole i ka desno (kao što je prikazano),

  

i pomnožimo dva broja povezana dijagonalom, a onda dodamo sve proizvode: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Uradimo isto sa dijagonalama ka dole i levo (prikazano dole sa prethodnim dijagonalama):

  

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Onda, oduzmemo ova dva broja i uzmemo apsolutnu vrednost razlike: |−6 − 8| = 14. Kada podelimo ovo sa 2 dobijemo površinu: 7. Ovakvo organizovanje brojeva čini formulu lakšom za pamćenje i procenjivanje. Sa svim nacrtanim dijagonalama, matrica liči na cipelu sa pertlama, što je dovelo do ovakvog imena.

  1. ^ а б Dahlke, Karl. „Shoelace Formula”. Приступљено 9. 6. 2008. 
  2. ^ а б Pretzsch, Hans (2009). Forest Dynamics, Growth and Yield: From Measurement to Model. Springer Science & Business Media. стр. 232—. ISBN 978-3-540-88307-4. 
  3. ^ а б Braden, Bart (1986). „The Surveyor’s Area Formula” (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326—337. doi:10.2307/2686282. Архивирано из оригинала (PDF) 5. 11. 2003. г. 
  4. ^ Shoelace Theorem Архивирано на сајту Wayback Machine (14. мај 2014), Art of Problem Solving Wiki.
  5. ^ Weisstein, Eric W. „Polygon Area”. Wolfram MathWorld. Приступљено 24. 7. 2012. 
  6. ^ Rhoad, Richard; George Milauskas; Robert Whipple (1991). Geometry for Enjoyment and Challenge (new изд.). McDougal Littell. стр. 717–718. ISBN 0-86609-965-4. 
  7. ^ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi