Obična diferencijalna jednačina

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

U matematici, obična diferencialna jednačina (ODE) je diferencijalna jednačina koja sadrži jednu ili više funkcija sa jednom nezavisnom promenljivom i izvodima tih funkcija.[1] Termin obična se koristi u kontrastu sa terminom parcijalna diferencijalna jednačina, koja može biti definsana u odnosu na više od jedne nezavisne promenljive.[2]

Diferencijalne jednačine[уреди]

Linearna diferencijalna jednačina je diferencijalna jednačina koja je definisana pomoću linearnog polinoma u nepoznatoj funkciji i njenim derivatima. Drugim rečima to je jednačina oblika

gde su , ..., i proizvoljne diferencijabilne funkcije koje ne moraju da budu linearne, a su sukcesivni derivati nepoznate funkcije y promenljive x.

Među običnim diferencijalnim jednadžbama, linearne diferencijalne jednačine igraju istaknutu ulogu iz više razloga. Većina elementarnih i specijalnih funkcija koje se susreću u fizici i primenjenoj matematici su rešenja linearnih diferencijalnih jednačina (pogledajte Holonomsku funkciju). Kada se fizički fenomeni modeluju nelinearnim jednačinama, oni se obično aproksimiraju linearnim diferencijalnim jednačinama radi lakšeg rešenja. Nekoliko nelinearnih ODE koje se mogu eksplicitno rešiti generalno se rešavju pretvaranjem jednačine u ekvivalentne linearne ODE (pogledajte, na primer, Rikatijevu jednačinu).

Neke ODE se mogu eksplicitno rešiti u smislu poznatih funkcija i integrala. Kada to nije moguće, jednačina za računanje Tejlorove serije rešenja može biti korisna. Za primenjene probleme, numerički metodi za obične diferencijalne jednačine mogu da daju približnu vrednost rešenja.

Zaleđina[уреди]

parabolic projectile motion showing velocity vector
Trajektorija projektila lansiranog iz topa sledi krivu određenu običnom diferencijalnom jednačinom koja je izvedena iz drugog Njutnovog zakona.

Obične diferencijalne jednačine (ODE) se javljaju u mnogim kontekstima matematike, i društvenih i prirodnih nauka. Matematički opisi promena koriste diferencijale i derivate. Razni diferencijali, derivati i funkcije postaju povezani putem jednačina, tako da je diferencijalna jednačina rezultat koji opisuje dinamički promenljive pojave, evoluciju i varijacije. Često se količine definišu kao brzina promene drugih količina (na primer, derivati premeštanja s obzirom na vreme), ili gradijenti količina, tako da se unose diferencijalne jednačine.

Specifična matematička polja uključuju geometriju i analitičku mehaniku. Naučna područja uključuju u znatnoj meri fiziku i astronomiju (nebesku mehaniku), meteorologiju (modelovanje vremenskih prilika), hemiju (stope reakcije),[3] biologiju (zarazne bolesti, genetske varijacije), ekologiju i modelovanje populacije (populaciono nadmetanje), ekonomiju (trendovi deonica, promene kamatnih stopa i tržišna ravnoteža promena cena).

Mnogi matematičari su izučavali diferencijalne jednačine i doprineli ovom polju, uključujući Njutna, Lajbnica, porodicu Bernuli, Rikatija, Klera, d'Alembera, i Ojlera.

Jednostavan primer je drugi Njutnov zakon kretanja — odnos između pomeranja x i vremena t objekta pod dejstvom sile F, dat je diferencijalnom jednačinom

što ograničava kretanje čestice konstantne mase m. Generalno, F je funkcija pozicije x(t) čestice u vremenu t. Nepoznata funkcija x(t) se javlja na obe strane ove diferencijalne jednačine, i to je naznačeno notacijom F(x(t)).[4][5][6][7]

Definicije[уреди]

Neka je y zavisna promenljiva i x nezavisna promenljiva, i y = f(x) nepoznata funkcija od x. Notacija za diferencijaciju varira u zavisnosti od autora i od toga koja je notacija najkorisnija za dati zadatak. U tom kontekstu, Lajbnicova notacija (dy/dx,d2y/dx2,...,dny/dxn) je korisnija za diferencijaciju i integraciju, dok je Lagranžova notacija (y′,y′′, ..., y(n)) podesnija za kompaktno predstavljanje derivata bilo kog reda, a Njutnova notacija se često koristi u fizici za predstavljanje derivata niskog reda s obzirom na vreme.

Opšta definicija[уреди]

Za dato F, funkciju od x, y, i derivate od y, jednačina oblika

se naziva eksplicitnom običnom diferencijalnom jednačinom reda n.[8][9]

Generalnije, implicitna obična diferencijalna jednačina reda n poprima formu:[10]

Postoje dalje klasifikacije:

Autonomna
Diferencijalna jednačina koja ne zavisi od x se naziva autonomnom.
Linearna
Za diferencijalnu jednačinu se kaže da je linearna, ako se F može napisati kao linearna kombinacija derivata od y:
gde su ai(x) i r(x) neprekidne funkcije u x.[8][11][12] Funkcija r(x) se naziva izvornim članom, što dovodi do dve dalje važne klasifikacije:[11][13]
Homogenena
Akoj je r(x) = 0, konsekventno jedno „automatcko” rešenje je trivijalno rešenje, y = 0. Rešenje linearne homogene jednačine je komplementarna funkcija, koja je ovde označena sa yc.
Nehomogena (ili inhomogenena)
Ako je r(x) ≠ 0. Dodatno rešenje komplementarne funkcije je partikularni integral, koji je ovde označen sa yp.

Opšte rešenje linearne jednačine se može napisati kao y = yc + yp.

Nelinearna
Diferencijalna jednačina koja se ne može napisati u vidu linearne kombinacije.

Sistem običnih diferencijalnih jednačina[уреди]

Više spregnutih diferencijalnih jednačina formira sistem jednačina. Ako je y vektor čiji su elementi funkcije; y(x) = [y1(x), y2(x),..., ym(x)], i F je vektorska funkcija od y i njenih derivata, onda je

eksplicitni sistem običnih diferencijalnih jednačina reda n i dimenzije m. U obliku kolonog vektora:

One nisu nužno linearne. Implicitni analog je:

gde je 0 = (0, 0, ..., 0) nulti vektor. U matričnom obliku

Za sistem oblika , neki izvori takođe zahtevaju da Jakobijan bude invertabilan da bi se sistem smatrao implicitnim ODE sistemom. Takav sistem koji zadovoljava uslov odsustva singularnosti Jakobijana se može transformisati u eksplicitni ODE sistem. U nekim izvorima, implicitni ODE sistemi sa singularnim Jakobijanom se nazivaju diferencijalnim algebrskim jednačinama (DAE). Ova razlika nije samo terminološka. DAE imaju suštinski različite karakteristike i uglavnom su više uključeni u rešavanje od (nesingularnih) ODE sistema.[14][15] Radi dodatnih derivata, pretpostavlja se da Hesijanska matrica i tako dalje nisu singularne prema ovoj šemi, mada treba imati u vidu da bilo koja ODE reda većeg od jedan može da bude [i obično se] izražava kao sistem ODE prvog reda,[16] što čini Jakobijev kriterijum singularnosti dovoljnim da ova taksonomija bude sveobuhvatna u svim redovima.

Ponašanje ODE sistema može se vizualizovati korišćenjem faznog portreta.

Rešenja[уреди]

Za datu diferencijalnu jednačinu

funkcija u: IRR se naziva rešenjem ili integralnom krivom za F, ako je u n-puta diferencijabilno na I, i

Unitar dva rešenja u: JRR i v: IRR, u se naziva ekstenzijom od v ako je IJ i

Rešenje koje nema ekstenziju se naziva maksimalno rešenje. Rešenje definisano na celokupnom R se naziva globalno rešenje.

Opšte rešenje jedne jednačine n-tog reda je rešenje koje sadrži n proizvoljnih nezavisnih konstanti integracije. Partikularno rešenje se izvodi iz opšteg rešenja usvajanjem partikularnih vrednosti konstanti, koje se obično biraju da zadovolje skup inicijalnih ili graničnih uslova.[17] Singularno rešenje je rešenje koje se ne može dobiti dodeljivanjem konačnih vrednosti proizvoljnim konstantama u opštem rešenju.[18]

Reference[уреди]

  1. ^ Dennis G. Zill (15. 3. 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7. 
  2. ^ „What is the origin of the term "ordinary differential equations"?”. hsm.stackexchange.com. Stack Exchange. Приступљено 2016-07-28. 
  3. ^ Mathematics for Chemists, D.M. Hirst, Macmillan Press, 1976, (No ISBN) SBN: 333-18172-7
  4. ^ Kreyszig (1972, стр. 64)
  5. ^ Simmons (1972, стр. 1,2)
  6. ^ Halliday & Resnick (1977, стр. 78)
  7. ^ Tipler (1991, стр. 78–83)
  8. 8,0 8,1 Harper (1976, стр. 127)
  9. ^ Kreyszig (1972, стр. 2)
  10. ^ Simmons (1972, стр. 3)
  11. 11,0 11,1 Kreyszig (1972, стр. 24)
  12. ^ Simmons (1972, стр. 47)
  13. ^ Harper (1976, стр. 128)
  14. ^ Uri M. Ascher; Linda R. Petzold (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM. стр. 12. ISBN 978-1-61197-139-2. 
  15. ^ Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Surveys in Differential-Algebraic Equations II. Springer. стр. 104—105. ISBN 978-3-319-11050-9. 
  16. ^ Uri M. Ascher; Linda R. Petzold (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM. стр. 5. ISBN 978-1-61197-139-2. 
  17. ^ Kreyszig (1972, стр. 78)
  18. ^ Kreyszig (1972, стр. 4)

Literatura[уреди]

Spoljašnje veze[уреди]