Пређи на садржај

Ојлеров идентитет

С Википедије, слободне енциклопедије

Ојлеров идентитет[n 1] је у математици назив за формулу:

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), имагинара јединица комплексних бројева, а угао.[3][4][5]

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера „Introductio“ објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за .

За угао добија се идентитет

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета[6][7]

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.[8][9][10]

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Прва метода

[уреди | уреди извор]

Посматрамо функцију:

Именилац никада није нула, јер важи:

Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности .

Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод за све :

Знамо да је извод од :

Следи:

значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то :

Добили смо дакле жељени резултат.

Друга метода

[уреди | уреди извор]

Друга метода се користи редовима за , и . Знамо да ове три функције можемо написати као:

Из тога следи да можемо поделити:

За добијамо , што је наш тражени резултат.

Математичка лепота

[уреди | уреди извор]

Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте.[11] Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи:[12]

Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.

Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“.[16] Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“.[17]

Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“.[18] Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“.[19]

Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“.[20] У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.[21]

Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету:

  • Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011)[22]
  • Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017)[23]
  • Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).[24]

Напомене

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Термин „Ојлерова идентичност” (или „Ојлеров идентитет”) такође се другде користи за означавање других концепата, укључујући сродну општу формулу eix = cos x + i sin x,[1] и формулу Ојлеровог продукта.[2]

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Dunham, 1999, p. xxiv.
  2. ^ Stepanov, S. A. (7. 2. 2011). „Euler identity”. Encyclopedia of Mathematics. Приступљено 7. 9. 2018. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10. 
  4. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated изд.). Sterling Publishing Company. стр. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.  Extract of page 166
  5. ^ O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e. MacTutor History of Mathematics. 
  6. ^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035Слободан приступ 
  7. ^ Hines, Robert. „e is transcendental” (PDF). University of Colorado. Архивирано (PDF) из оригинала 2021-06-23. г. 
  8. ^ Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's DelightНеопходна слободна регистрација (на језику: енглески). Penguin. стр. 155. 
  9. ^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated изд.). Oxford University Press. стр. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9. 
  10. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated изд.). Prometheus Books. стр. 68. ISBN 978-1-59102-200-8. 
  11. ^ Gallagher, James (13. 2. 2014). „Mathematics: Why the brain sees maths as beauty”. BBC News Online. Приступљено 26. 12. 2017. 
  12. ^ Paulos, 1992, p. 117.
  13. ^ Weisstein, Eric W. „Identity Element”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2019-12-01. 
  14. ^ „Definition of IDENTITY ELEMENT”. www.merriam-webster.com. Приступљено 2019-12-01. 
  15. ^ „Identity Element”. www.encyclopedia.com. Приступљено 2019-12-01. 
  16. ^ Nahin, 2006, p. 1.
  17. ^ Nahin, 2006, p. xxxii.
  18. ^ Reid, chapter e.
  19. ^ Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
  20. ^ Wells 1990
  21. ^ Crease 2004
  22. ^ Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (на језику: енглески). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222. 
  23. ^ Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (на језику: енглески) (First изд.). Basic Books. ISBN 978-0465093779. 
  24. ^ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (на језику: енглески). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936. 

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]