Kvantil

Gustina verovatnoće normalne distribucije, sa prikazanim kvartilima. Površina ispod crvene krive je ista u intervalima (−∞,Q₁), (Q₁,Q₂), (Q₂,Q₃), and (Q₃,+∞).

U statistici i verovatnoći, kvantili su presečene tačke koje dele opseg distribucije verovatnoće na neprekidne intervale sa jednakim verovatnoćama, ili dele posmatranja u uzorku na isti način. Postoji jedan kvantil manje od broja kreiranih grupa. Uobičajeni kvantili imaju posebne nazive, kao što su kvartili (četiri grupe), decili (deset grupa) i percentili (100 grupa). Stvorene grupe se nazivaju polovine, trećine, četvrtine, itd., mada se ponekad termini za kvantil koriste za kreirane grupe, a ne za tačke preseka.

q-kvantili su vrednosti koje dele konačan skup vrednosti na q podskupova (skoro) jednakih veličina. Postoji q − 1 particija q-kvantila, po jedna za svaki ceo broj q koji zadovoljava 0 < q < q. U nekim slučajevima vrednost kvantila možda neće biti jednoznačno određena, kao što može biti slučaj sa medijanom (2-kvantil) uniformne distribucije verovatnoće na skupu parne veličine. Kvantili se takođe mogu primeniti na kontinuirane distribucije, obezbeđujući način da se generalizuje statistika ranga na neprekidne varijable (pogledajte percentilni rang). Kada je poznata kumulativna funkcija distribucije slučajne promenljive, q-kvantili su primena kvantilne funkcije (inverzna funkcija kumulativne funkcije raspodele) na vrednosti {1/q, 2/q, …, (q − 1)/q}.

Percentili

Percentili dele distribuciju rezultata na 100 delova, tj. svaki deo sadrži 1% rezultata distribucije. Percentili mogu biti bilo koji celi brojevi od 1 do 100. Određeni percentil odgovara tački na distribuciji koja daje odgovarajući procenat rezultata do te tačke, uključujući i taj rezultat. Na primer, ako neko ima 100IQ, on se nalazi na pedesetom percentilu, što znači da 50% populacije ima isti koeficijent inteligencije ili manji.

U literaturi se često kao sinonim za percentile koristi termin percentilni rang.

Pošto je medijana središnji rezultat u distribuciji, ona je jednaka 50. percentilu.

Percentili nisu isto što i procenti. Percentili predstavljaju određeni procenat rezultata u nekoj distribuciji koji su poređani od većeg ka manjem. Na primer, ako se nečiji rezultat testa nalazi na 60. percentilu, to znači da je 60% ispitanika taj test uradilo lošije, a ne da je ispitanik odgovorio tačno na 60% pitanja.

Da bi odredili koji rezultat se nalazi na nekom percentilu, moramo izračunati poziciju tog percentila u datoj distribuciji. Formula za izračunavanje pozicije i-tog percentila je:

i=P/100*n

gde je i pozicija traženog percentila u distribuciji, P traženi percentil i n ukupan broj rezultata u distribuciji.

Prvo je potrebno rezultate poređati od manjeg ka većem. Zatim se traženi percentil podeli sa sto i taj količnik pomnoži sa ukupnim brojem rezultata u distribuciji. Ako je dobijeni rezultat ceo broj, onda je pozicija traženog percentila u sredini između dobijenog rezultata i prvog većeg rezultata. Ako dobijeni rezultat nije ceo broj, tada se on zaokružuje na prvi veći ceo broj i on predstavlja ordinalnu poziciju traženog percentila.

Decili

Decili dele distribuciju rezultata na 10 delova, a svaki deo sadrži 10% rezultata distribucije. Decili mogu biti bilo koji celi brojevi od 1 do 10. Rezultat koji odgovara desetom percentilu pada na gornju granicu prvog decila distribucije, itd. Decili su poseban slučaj percentila. Zbog toga se pozicija decila računa prema formuli za poziciju odgovarajućeg percentil. Na primer:

D1=P10=10/100*n

D2=P20=20/100*n

Interdecilni rang je razlika između skora koji pada na 9. decil i skora koji pada na 1. decil. Interdecilni rang obuhvata središnjih 80% rezultata.

Kvartili

Kvartili dele distribuciju na četiri jednaka dela, a svaki deo sadrži 25% rezultata distribucije. Rezultat koji odgovara 50. percentilu pada na gornju granicu 2. kvartila i to je ujedno i medijana distribucije. Prvi kvartil se označava sa Q1, a treći sa Q3. Pozicija medijane tj. drugog kvartila se računa prema formuli opisanoj u tekstu o medijani. Kvartili su poseban slučaj percentila. Zbog toga se pozicija kvartila računa prema istoj formuli kao i za računanje pozicije percentila:

Q1=P25=25/100*n

Q3=P75=75/100*n

Izračunanje pozicije kvartila je objašnjeno kroz sledeći primer.

Interkvartilni rang je razlika između skora koji pada na 3. kvartil i skora koji pada na 1. kvartil. Navodi se uz medijanu, obuhvata središnjih 50% rezultata i ignoriše vrednosti ispod 1. kvartila i iznad 3. kvartila. Interkvartilni rang je korisna mera varijabilnosti ukoliko u nizu rezultata postoje ekstremne vrednosti i ako se sumnja da je raspodela asimetrična. Kod takvih distribucija on je bolja mera varijabiliteta od standardne devijacije.

Semi-interkvartilni rang se dobija kada se interkvartilni rang podeli sa dva. Na ovaj način se dobija 25% rezultata ispod i iznad medijane tj. ispod i iznad 2. kvartila. Semi-interkvartilni rang je posebno koristan kada se radi sa ordinalnim varijablama ili kada postoje ekstremne vrednosti sa obe strane medijane. Semi-interkvartilni rang se obično navodi uz medijanu.