Homotopija

Ovaj članak je o topology. Za chemistry pogledajte stranicu Homotopic groups.

Dve isprekidane putanje prikazane iznad su homotopne u odnosu na njihove krajnje tačke. Animacija predstavlja jednu moguću homotopiju.

Dve podebljane linije na slici su homotopne. Tanke linije predstavljaju izokonture jedne moguće homotopije.

U topologiji, dve neprekidne funkcije koje preslikavaju jedan topološki prostor u drugi se nazivaju homotopnim (grčki homos = isti i topos = mesto) ako jedna od njih može biti neprekidno deformisana u drugu- Takva deformacija se naziva homotopija. Pojam homotopije je osnova za definisanje grupa homotopije i grupa kohomotopije, invarijanti u algebarskoj topologiji.

Formalna definicija

Homotopija šolje za čaj u krofnu (torus).

Formalno, dve neprekidne funkcije f i g koje slikaju topološki prostor X u topološki prostor Y su homotopne ukoliko postoji neprekidna funkcija H : X × [0,1] → Y tako da je za sve tačke x iz X, važi H(x,0)=f(x) i H(x,1)=g(x).

Ako posmatramo drugi parametar H kao vreme, onda H opisuje neprekidnu transformaciju funkcije f u g: u trenutku 0 imamo funkciju f, a u trenutku 1 imamo funkciju g.

Svojstva

Homotopija je relacija ekvivalencije na skupu svih neprekidnih funkcija iz X u Y. Ova relacija je u skladu sa kompozicijom funkcija : ako su f₁, g₁ : X → Y homotopne, i f₂, g₂ : Y → Z, onda su i f₂ o f₁ i g₂ o g₁ : X → Z takođe homotopne.

Primeri

• Ako je $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ dato sa $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ i $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$, onda je mapa $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ data sa $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ homotopija između njih.
• Uopštenije, ako je $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ konveksan podskup Euklidovog prostora i $f,g:[0,1]\to C$ su putanje sa istim krajnjim tačkama, onda postoji linearna homotopija (ili pravolinijska homotopija) data sa

  ${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$

• Neka je $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ funkcija identiteta na jediničnom n-disku; tj. skup $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$. Neka je $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ konstantna funkcija $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ koja šalje svaku tačku u početak. Onda je sledeća homotopija između njih:

  ${\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}$

Homotopska ekvivalencija

Za data dva topološka prostora X i Y, homotopska ekvivalencija između X i Y je par neprekidnih mapa f : X → Y i g : Y → X, tako da je g ∘ f homotopna mapi identiteta id_X i f ∘ g je homotopna prema id_Y. Ako takav par postoji, onda se za X i Y kaže da su homotopski ekvivalentni, ili istog tipa homotopije. Intuitivno, dva prostora X i Y su homotopski ekvivalentni ako se mogu transformisati jedan u drugi operacijama savijanja, skupljanja i širenja. Prostori koji su homotopijski ekvivalentni tački nazivaju se kontraktivnim.

Homotopska ekvivalencija naspram homeomorfizma

Homeomorfizam je poseban slučaj homotopske ekvivalencije, u kojem je g ∘ f jednako mapi identiteta id_X (ne samo homotopno njoj), a f ∘ g je jednako id_Y. Dakle, ako su X i Y homeomorfni onda su homotopski ekvivalentni, ali suprotno nije tačno. Neki primeri:

• Čvrsti disk je homotopski ekvivalentan jednoj tački, pošto se disk može deformisati duž radijalnih linija neprekidno do jedne tačke. Međutim, one nisu homeomorfne, pošto između njih ne postoji bijekcija (pošto je jedno beskonačan skup, dok je drugo konačan).
• Mebijusova traka i neupletena (zatvorena) traka su homotopski ekvivalentni, pošto se obe trake mogu kontinualno deformisati u krug. Međutim one nisu homeomorfne.

Primeri

• Prvi primer homotopijske ekvivalencije je $\mathbb {R} ^{n}$ sa tačkom, označenom $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$. Deo koji treba proveriti je postojanje homotopije $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ između $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ and $p_{0}$, projekcije $\mathbb {R} ^{n}$ na ishodište. Ovo se može opisati kao $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$.
• Postoji homotopska ekvivalencija između $S^{1}$ (1-sfera) i $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$.
  • Uopštenije, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$.
• Bilo koji snop vlakana $\pi :E\to B$ sa vlaknima $F_{b}$ homotopno ekvivalentnim tački ima homotopni ekvivalentan ukupni i bazni prostor. Ovo generalizuje prethodna dva primera pošto je $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ snop vlakana sa vlaknima $\mathbb {R} _{>0}$.
• Svaki vektorski snop je snop vlakana sa homotopijom vlakana ekvivalentnom tački.
• $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}$ za bilo koje $0\leq k<n$, pisanjem $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}$ kao ukupan prostor snopa vlakana $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$, a zatim primenjujući gornje homotopske ekvivalentnosti.
• Ako je podkompleks $A$ CW kompleksa $X$ je kontraktibilan, onda je količnik prostora $X/A$ homotopski ekvivalent $X$.
• Deformaciona retrakcija je homotopska ekvivalencija.

Nulta homotopija

Za funkciju f se kaže da je nulto-homotopna ako je homotopna konstantnoj funkciji. (Homotopija od f do konstantne funkcije se tada ponekad naziva nultom homotopijom.) Na primer, mapa f iz jediničnog kruga S¹ u bilo koji prostor X je nulto-homotopna upravo kada se može kontinuirano proširivati na mapu iz jediničnog diska D² u X koji se slaže sa f na granici.

Iz ovih definicija sledi da je prostor X kontraktibilan ako i samo ako je mapa identiteta iz X u sebe – koja je uvek homotopska ekvivalencija – nulto-homotopna.

Vidi još

• Homologija

Literatura

• Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Homotopy”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Isotopy (in topology)”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ur.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd izd.), The M.I.T. Press 
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ur.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.  (Provides a popular introduction to topology and geometry)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 
• Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
• Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages, European Math. Society, Zürich, 2011. . doi:10.4171/083.  MR2841564
• Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich .
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962 .
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989. 
• Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217. 
• Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd izd.). New York-Berlin: Springer-Verlag. str. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. 
• Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. str. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 
• Tait, Peter Guthrie (1. 2. 1883). „Johann Benedict Listing (obituary)”. Nature. 27 (692): 316—317. Bibcode:1883Natur..27..316P. doi:10.1038/027316a0 . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Johnstone, Peter T. (1983). „The point of pointless topology”. Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (1): 41—53. doi:10.1090/s0273-0979-1983-15080-2 . 
• Artin, Michael (1962). Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. Zbl 0208.48701. 
• Adams, Colin (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1. 
• Stadler, Bärbel M.R.; Stadler, Peter F.; Wagner, Günter P.; Fontana, Walter (2001). „The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change”. Journal of Theoretical Biology. 213 (2): 241—274. Bibcode:2001JThBi.213..241S. CiteSeerX 10.1.1.63.7808 . PMID 11894994. doi:10.1006/jtbi.2001.2423. 

Spoljašnje veze

• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Homotopija na sajtu Curlie
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topology Glossary
• Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.