Топологија

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
За друго значење, погледајте чланак Топологија (вишезначна одредница).
Мебијусова трака је један од објеката који се проучавају у топологији. Она је објекат који нема одвојену унутрашњу и спољашњу страну, већ има само једну страну и једну ивицу. Модел Мебијусове траке се лако може направити тако што се узме папирна трака, и заротира се по дужини за 180°, а затим се крајеви траке залепе.

Топологија (од грчког τόπoς „место“ и λόgoς „наука, знање, реч“) је грана математике која проучава глобалне (геометријске) структуре и тополошке просторе. Топологија је једна од најмлађих грана математике, која је надовезујући се на математичку анализу и теорију скупова, својим динамичним развојем током двадесетог века довела до решења неколико значајних класичних математичких проблема.[1]

Основни објекат у топологији је тополошки простор, који се дефинише као уређени пар (X, \tau) неког скупа X и подскупа његовог партитивног скупа у ознаци \tau.

Подела[уреди]

Топологија се дели на:

  1. општу топологију, која се бави самим тополошким просторима
  2. алгебарску топологију, у којој се проучавају тополошке инваријанте, односно особине тополошких простора које се не мењају при непрекидним пресликавањима. У оквиру алгебарске топологије се налазе још и

Историја[уреди]

Кенигзбершки мостови, чувени тополошки проблем.

Грана математике која се данас назива топологијом је настала изучавањем одређених геометријских питања. Ојлеров рад из 1736. о Кенигзбершким мостовима спада међу прве тополошке резултате.

Израз топологија је у немачки језик увео Јохан Бенедикт Листинг 1847, у раду Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Међутим, Листинг је већ десет година користио овај израз у препискама.

Модерна топологија се у великој мери заснива на теорији скупова, коју је развио Георг Кантор крајем деветнаестог века. Кантор је, осим што је поставио основне идеје теорије скупова, такође разматрао скупове тачака у Еуклидском простору, у склопу проучавања Фуријеових редова.

Анри Поенкаре је 1895. године објавио књигу Analysis Situs, у којој је увео концепте хомотопије и хомологије, који се данас сматрају делом алгебарске топологије.

Морис Фреше је, обједињујући рад Кантора, Волтере, Арцеле, Адамара, Асколија и других, 1906. увео метрички простор. Метрички простор се данас сматра посебним случајем општег тополошког простора. 1914, Феликс Хаусдорф је сковао израз тополошки простор и дао дефиницију за оно шта се данас назива Хаусдорфовим простором. У данашњем значењу, тополошки простор је благо уопштавање Хаусдорфових простора, које је 1922. дао Казимир Куратовски.

Тополошки простор и топологија[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Тополошки простор

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекцијом подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци \tau, који задовољавају следеће особине:

  1. празан скуп и X налазе се у \tau.
  2. унија свих колекција скупова из \tau је такође скуп у \tau.
  3. пресек сваке коначне колекције скупова из \tau је такође у \tau.

Колекција \tau се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Хомотопија[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Хомотопија
Шоља и крофна (торус) су у топологији међусобно еквивалентне структуре. На слици је приказана континуална деформација (хомотопија) између њих.

Хомотопија H две непрекидне функције f и g које сликају тополошки простор X у тополошки простор Y је непрекидна трансформација H : X × [0,1] → Y тако да је за све тачке x из X, важи H(x,0)=f(x) и H(x,1)=g(x).[2]

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић, приступљено: 17. октобар 2014.
  2. ^ Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5. 

Спољашње везе[уреди]