Топологија

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
За друго значење, погледајте чланак Топологија (вишезначна одредница).
Мебијусова трака, објекат са само једном страном и једном ивицом; овакви објекти се проучавају у топологији.

Топологија (од грчког τόπoς „место“ и λόgoς „наука, знање, реч“) је једна од најмлађих грана математике, која је својим динамичним развојем током двадесетог века довела до решења неколико значајних класичних математичких проблема.

Топологија није примарна математичка грана. За њено проучавање неопходно је поседовање основних знања из математичке анализе (укључујући теорију скупова) и алгебре (између осталог и из теорије категорија). Методе, језик и начин размишљања у топологији су за математичара са основним образовањем који им први пут приступа нови и другачији. Поједностављено речено, у топологији је најважније разумевање глобалних (геометријских) структура, док конкретна одстојања и конкретне реализације глобалних структура не играју улогу - квадрат веће и мање површине су тополошки еквивалентни (за тополога се не разликују), чак и било који квадрат и било који правоугаоник, заправо ма који многоугао и квадрат тополошки су еквивалентни, између њих се не прави разлика.

Континуална деформација (хомотопија) шоље у крофну (торус).

Сама топологија се дели на општу топологију, која се бави самим тополошким просторима и алгебарску топологију, у којој се проучавају инваријанте, односно особине тополошких простора које се не мењају при непрекидним пресликавањима. У оквиру алгебарске топологије се налазе још геометријска и диференцијална топологија, које се баве на пример многострукостима и диференцијалним пресликавањима.

Основни објект у топологији су тополошки простори, односно скупови с једном посебном структуром, која се као и читава дисциплина назива топологијом.

Историја[уреди]

Кенигзбершки мостови, чувени тополошки проблем.

Грана математике која се данас назива топологијом је настала изучавањем одређених геометријских питања. Ојлеров рад из 1736. о Кенигзбершким мостовима спада међу прве тополошке резултате.

Израз топологија је у немачки језик увео Јохан Бенедикт Листинг 1847, у раду Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Међутим, Листинг је већ десет година користио овај израз у препискама.

Модерна топологија се у великој мери заснива на теорији скупова, коју је развио Георг Кантор крајем деветнаестог века. Кантор је, осим што је поставио основне идеје теорије скупова, такође разматрао скупове тачака у Еуклидском простору, у склопу проучавања Фуријеових редова.

Анри Поенкаре је 1895. године објавио књигу Analysis Situs, у којој је увео концепте хомотопије и хомологије, који се данас сматрају делом алгебарске топологије.

Морис Фреше је, обједињујући рад Кантора, Волтере, Арцеле, Адамара, Асколија и других, 1906. увео метрички простор. Метрички простор се данас сматра посебним случајем општег тополошког простора. 1914, Феликс Хаусдорф је сковао израз тополошки простор и дао дефиницију за оно шта се данас назива Хаусдорфовим простором. У данашњем значењу, тополошки простор је благо уопштавање Хаусдорфових простора, које је 1922. дао Казимир Куратовски.

Математичка дефиниција[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Тополошки простор

Нека је X неки скуп, и нека је T фамилија подскупова скупа X. Тада је T топологија на X ако

  1. И празан скуп и X припадају T.
  2. Свака унија елемената из T је елемент T.
  3. Сваки пресек коначно много елемената из T је елемент T.

Ако је T топологија на X, онда се X заједно са T назива тополошким простором.

Скуп из T се назива отвореним скупом. Комплемент скупа из T се назива затвореним скупом. Ако ни скуп ни његов комплемент нису у T, онда скуп није ни отворен ни затворен.

Функција или пресликавање из једног тополошког простора у други се назива непрекидном ако је инверзна слика било ког отвореног скупа отворена. Ако функција слика реалне бројеве у реалне бројеве (оба простора са Стандардном топологијом), онда је ова дефиниција непрекидности еквивалентна дефиницији непрекидности која се јавља у анализи. Ако је непрекидна функција један-један и на и ако је и инверз те функције непрекидан, онда функцију називамо хомеоморфизмом, а скуп из којег функција пресликава је хомеоморфан скупу у који пресликава. Ако су два простора хомеоморфна, они имају идентична тополошка своства и тополошки се сматрају истим. Коцка и сфера су хомеоморфне, као и шољица за чај и крофна. Али круг није хомеоморфан крофни (торусу).

Спољашње везе[уреди]