Закон великих бројева

Из Википедије, слободне енциклопедије
Илустрација закона великих бројева на примеру бацања коцке. Ако се број бацања повећава, просечна вредност исхода се приближава вредности 3,5.

Закон великих бројева је фундаментална теорема из области теорије вероватноће и статистике.

У своме најједноставнијем облику овај закон тврди да се релативна вероватноћа случајног догађаја приближава вероватноћи овог догађаја када се случајни експеримент понавља велики број пута. Формалније, ради се о конвергенцији случајне променљиве у „јаком“ (скоро сигурна конвергенција) и „слабом“ смислу (конвергенција вероватноће).

Пример: бацање новчића[уреди]

Вероватноћа да бачени новчић покаже писмо или главу износи ½. Што се више понавља овај експеримент, то ће бити вероватније да ће број исхода када „падне глава“ (релативна вероватноћа исхода „глава“), бити близак вредности ½. Са друге стране, врло је вероватно да ће апсолутна разлика између броја исхода „глава“ и половине броја бацања новчића расти.

Постоји и укорењено погрешно схватање закона великих бројева. Овај закон не тврди да ће они исходи који се до сада нису појављивали, од сада појављивати чешће да би уравнотежили расподелу вероватноћа. То је честа грешка играча рулета и лотоа.

Нека је низ исхода бацања новчића: глава, грб, глава, глава. Исход „глава“ се појавио три пута, а исход „грб“ једанпут. „Глава“ се дакле појављивала са релативним учешћем ¾, док је ова вредност за „грб“ ¼. После нових 96 бацања новчића исход је био 49 „грбова“ и 51 „глава“. Апсолутна разлика глава и грбова је после 100 бацања остала иста и као после 4, али је релативна разлика знатно смањена. Тако долазимо до дефиниције Закона великих бројева – вредност релативног учешћа \textstyle\frac{51}{100} = 0{,}51 тежи очекиваној вредности 0,5.

Практичне импликације[уреди]

  • Индустрија осигурања: Закон великих бројева има велики практични значај за индустрију осигурања. Он омогућава да се направе дугорочне прогнозе износа одштетних захтева. Што је већи број осигураних особа и добара, и ако се подразумева да су сви изложени једнаком ризику, то је мањи утицај случаја. Овај закон, ипак, не може да да никакву прогнозу о томе ко ће конкретно уложити одштетни захтев.
  • Медицина: Када се проучава ефикасност медицинских третмана, помоћу овог закона се могу елиминистаи случајни споредни фактори.
  • Природне науке: Утицај несистематских грешки у мерењу се смањује понављањем мерења.
  • Информатика: Постоје информатичке технике код којих се примењује овај закон. Пример је Cloud Computing.

Слаби закон великих бројева[уреди]

За низ случајних променљивих X_1, X_2, X_3, \dots у \mathcal{L}^1 каже се да задовољава слаби закон великих бројева, када за \overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n и све позитивне бројеве \varepsilon важи:

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n\right|>\varepsilon\right)=0.

Постоји мноштво ситуација у којима се може применити Слаби закон великих бројева. На пример, он важи за низ случајних променљивих X_1, X_2, X_3, \dots које имају коначне варијансе \sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\dots, које су ограничене заједничком горњом границом, и нису међусобно корелисане: \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = 0 за i\neq j.[1]

Јаки закон великих бројева[уреди]

Каже се да низ случајних променљивих X_1, X_2, X_3, \dots у \mathcal{L}^1 задовољава јаки закон великих бројева, када за \overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n важи:

\operatorname{P}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}|\overline{X}_n|=0\right)=1.

Јаки закон великих бројева имплицира слаби закон великих бројева. Јаки закон великих бројева важи за, на пример, низ стохастички независних случајних променљивих које имају једнаку расподелу вероватноће. Један облик овог закона за независне случајне променљиве је ергодичност.

Референце[уреди]

  1. ^ H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004, S. 120 Satz (5.6) Schwaches Gesetz der großen Zahlen, \mathcal L^2-Version.

Види још[уреди]